題型21 3類對稱與4類切線解題技巧（點對稱、直線對稱、圓對稱及圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的切線問題）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納（解析版）

題型213類對稱與4類切線解題技巧（點對稱、直線對稱、圓對稱及圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的切線問題）技法01技法01點對稱問題解題技巧技法02直線對稱問題解題技巧技法03圓對稱問題解題技巧技法04圓中的切線問題解題技巧技法05橢圓中的切線問題解題技巧技法06雙曲線中的切線問題解題技巧技法07拋物線中的切線問題解題技巧技法01點對稱問題解題技巧合理利用點關(guān)于直線對稱求對稱點的公式能更快的求解對稱點坐標，需記憶公式，強化練習(xí)合理利用點關(guān)于直線對稱求對稱點的公式能更快的求解對稱點坐標，需記憶公式，強化練習(xí).知識遷移點x,y關(guān)于直線Ax例1．點關(guān)于直線的對稱點的坐標是．直線中，,所以，所以，答案為：.1．（2024上·階段練習(xí)）點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出垂直于直線且過點的表達式，求出交點坐標，即可得出關(guān)于直線的對稱點.【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點為，由，解得：，∴,∴點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，即，故選：C.2．（2024上·階段練習(xí)）已知點關(guān)于直線對稱，則對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)點的坐標，根據(jù)斜率間關(guān)系及中點在對稱直線上列方程求解計算即得.【詳解】設(shè)對稱點坐標，由題意知直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為-1，所以，化簡得，①再由的中點在直線上，，化簡得，②聯(lián)立①②，可得，所以對稱點的坐標為.故選：A.3．（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線恒過定點P，則點P關(guān)于直線的對稱點的坐標是．【答案】【分析】首先化簡直線方程，求出定點的坐標，再代入點關(guān)于直線對稱的點的計算公式，即可求解.【詳解】由直線化為，令，解得，于是此直線恒過點．設(shè)點P關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，∴．故答案為：技法02直線對稱問題解題技巧直線對稱問題可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題，從而用公式可快速求解，需強化練習(xí)直線對稱問題可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題，從而用公式可快速求解，需強化練習(xí)例2．已知直線，直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程為A． B．C． D．【法一】x的y系數(shù)絕對值為1:1型，可反解，，代入，即.【法二】轉(zhuǎn)化為例1，先求交點坐標，再線任取異于交點的坐標，用公式求出對稱點坐標，再求出直線方程【法三】在上任取一點，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，所以，解得，代入，得：，所以直線的方程為.1．（2022上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出直線和直線的傾斜角，再求出直線與直線的夾角，再根據(jù)對稱性即可得出答案.【詳解】解：直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則直線與直線的夾角為設(shè)直線與直線的夾角為，則，所以直線的傾斜角為.故選：B.2．（2022上·廣東佛山·高二佛山一中?？计谥校┲本€關(guān)于直線的對稱直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出為所求直線上一點，找出其關(guān)于的對稱點，代入直線即可求出.【詳解】設(shè)為所求直線上一點，它關(guān)于的對稱點為，則可得，由題可得在直線上，所以，整理可得所求的對稱直線方程為.故答案為：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【分析】由于兩條直線平行，所以可設(shè)，利用對稱的性質(zhì)，可求得，進而求得直線方程為.【詳解】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：技法03圓對稱問題解題技巧圓對稱問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱，點關(guān)于直線的對稱問題，利用中點坐標公式和對稱公式求解即可圓對稱問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱，點關(guān)于直線的對稱問題，利用中點坐標公式和對稱公式求解即可.例3．（2023下·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．圓的圓心坐標為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，用例1公式求解，解得，所以圓的標準方程為.1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得圓的圓心坐標和半徑，再求得關(guān)于的對稱點，得到圓的圓心坐標，進而求得圓的方程.【詳解】由題意知,圓的圓心與關(guān)于直線對稱，且兩圓半徑相等，因為圓，即，所以圓心，半徑為，設(shè)圓關(guān)于直線對稱點為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.2．（2023上·四川成都·高二期末）圓關(guān)于直線對稱后的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知圓的圓心求出關(guān)于直線對稱的圓的圓心，求出半徑，即可得到所求結(jié)果.【詳解】因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.3．（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點的坐標，求其中點坐標以及斜率，根據(jù)對稱軸與兩對稱點連接線段的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意得，，則的中點的坐標為，直線的斜率.由圓與圓關(guān)于對稱，得的斜率.因為的中點在上，所以，即.故選：C.技法04圓中的切線問題解題技巧圓中的切線問題圓中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強加練習(xí)知識遷移圓中切線問題已知圓方程為:,若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:已知圓方程為:,若已知切點在圓上,則該圓過點的切線方程為;已知圓方程為圓:.(1)過圓上的點的切線方程為.(2)過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為.例4-1．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）經(jīng)過點且與圓相切的直線方程為．代入求解即可，答案為：例4-2．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過圓上點的切線方程為．代入求解即可，答案為：例4-3．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）過點作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB方程是.過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為，代入求解即可答案為:1．（2021·河南鄭州·統(tǒng)考三模）已知圓過點、、，則圓在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓的一般方程為，將點、、的坐標代入圓的方程，可求得、、的值，可得出圓心的坐標，求出所在直線的斜率，可求得切線的斜率，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，由題意可得，解得，所以，圓的方程為，圓心為，直線的斜率為，因此，圓在點處的切線方程為，即.故選：A.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨立等式．2．（2022·天津北辰·天津市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測）過點與圓相切的直線是．【答案】【分析】由點在圓上，可得切線的斜率為圓心與點連線斜率的負倒數(shù)，從而根據(jù)點斜式即可求解.【詳解】解：由題意，因為，所以點在圓上，所以過點與圓相切的直線的斜率，所以切線方程為，即，故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個圓的方程，兩方程作差后計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.技法05橢圓中的切線問題解題技巧橢圓橢圓中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強加練習(xí)知識遷移設(shè)Px0,y0設(shè)Px0,y0為橢圓x2a2+y例5．（2022上·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程.代入切線方程為:xx01．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓上點P(1,1)處的切線方程是．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程.【詳解】∵橢圓，∴y>0時，，∴，∴x＝1時，，即切線斜率，∴橢圓上點P(1,1)處的切線方程是，即．故答案為：．2．（2023下·天津·模擬）圓在點處的切線方程為，類似地，可以求得橢圓在點處的切線方程為.【答案】【分析】類比得到在點處的切線方程為，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】在點處的切線方程為，類比得到在點處的切線方程為，故橢圓在點處的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查了類比推理，意在考查學(xué)生的推理能力和計算能力.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓在點處的切線方程為類似地,可以求得橢圓在點(4,2)處的切線方程為【答案】【分析】把寫成，切線方程寫成，根據(jù)圓方程與其切線方程的結(jié)構(gòu)形式可以得到橢圓相應(yīng)的切線方程.【詳解】圓的方程可寫成,圓在點處的切線方程為,類似地,因橢圓方程為：，故橢圓在點處的切線方程為即，故答案為：.技法06雙曲線中的切線問題解題技巧雙曲線雙曲線中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強加練習(xí)知識遷移設(shè)Px0,y過Px0,y例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作雙曲線：的兩條切線，切點分別為，求直線的方程．代入切點弦方程為xx01．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作雙曲線：的兩條切線，切點分別為A，B，求直線AB的方程．【答案】【分析】設(shè)，求得直線的方程為，同理的方程為，通過在切線上，可得到直線的方程【詳解】解：設(shè)，易得兩條切線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則，聯(lián)立方程，消去可得：，整理可得：，因為與雙曲線相切，所以，，即，，代入可得：，即，所以，即，同理，切線的方程為，在切線上，所以有，滿足直線方程，而兩點唯一確定一條直線，直線AB的方程為2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為．【答案】/【分析】依題意，注意到點在橢圓上，由此得到橢圓在點處的切線方程；再結(jié)合上述性質(zhì)得到橢圓與雙曲線在其公共點處的斜率間的關(guān)系，進而求出雙曲線在點處的切線的斜率．也可以利用結(jié)論6直接得到答案．【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點處的切線的斜率為．故答案為：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線：上點．求雙曲線在點處的切線的方程．【答案】.【分析】將雙曲線在某點的切線方程轉(zhuǎn)化為曲線在某點的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出在某點的切線斜率，進一步求出切線的方程.【詳解】由可得，根據(jù)題目條件，可知求曲線在點P處的切線的方程，∴曲線在點P處的切線斜率為∴曲線在點P處的切線方程為化簡得∴雙曲線C在點P處的切線的方程為．技法07拋物線中的切線問題解題技巧拋物線拋物線中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強加練習(xí)知識遷移設(shè)Px0,y設(shè)Px0,y例7．（2023·高三階段練習(xí)）拋物線在處的切線方程為．代入切線方程為yy01．（2023·高三階段練習(xí)）拋物線在點處的切線方程為．【答案】/y＝2x－2【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，∴在（1,0）處切線為：，即.故答案為：.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的一條切線方程為，則的準線方程為．【答案】【分析】由，消去