題型22 5類(lèi)圓錐曲線解題技巧焦點(diǎn)三角形、阿基米德三角形、焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長(zhǎng)問(wèn)題（硬解定理-萬(wàn)能公式）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型225類(lèi)圓錐曲線解題技巧（焦點(diǎn)三角形、阿基米德三角形、焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長(zhǎng)問(wèn)題（硬解定理-萬(wàn)能公式)技法01技法01圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用及解題技巧技法02圓錐曲線中阿基米德三角形的應(yīng)用及解題技巧技法03圓錐曲線中焦點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧技法04圓錐曲線中中點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧技法05圓錐曲線中弦長(zhǎng)問(wèn)題（硬解定理-萬(wàn)能公式）的應(yīng)用及解題技巧技法01圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用及解題技巧圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形及其相關(guān)計(jì)算圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形及其相關(guān)計(jì)算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)遷移橢圓焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論在ΔPF1F2中,記∠F1PF2=θ,橢圓定義可知:

(1).PF1雙曲線焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論如圖,F1、F2是雙曲線的焦點(diǎn),設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn),記∠例1-1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【法一】因?yàn)?，所以，從而，所以．【法二】因?yàn)椋?，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．例1-2．（全國(guó)·高考真題）設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（

）A． B．2 C． D．1【法一】△PF1【法二】設(shè)，，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，，，，，的面積為.故選：D1．（上?！じ呖颊骖}）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=.2．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．3．（全國(guó)·高考真題）已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．84．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．30技法02圓錐曲線中阿基米德三角形的應(yīng)用及解題技巧阿基米德三角形問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算阿基米德三角形問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí).知識(shí)遷移橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做橢圓切線，交于Q點(diǎn)，稱(chēng)△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做雙曲線切線，交于Q點(diǎn)，稱(chēng)△ABQ為阿基米德三角形,則有:

拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)(若直線l方程為:ax+by+底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn),頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點(diǎn)I(不與A,B重合),過(guò)I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接例2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的切線，相交于點(diǎn)，又常被稱(chēng)作阿基米德三角形．的面積的最小值為（

）A． B． C． D．設(shè)，，由題意可得直線AB的斜率不為0,因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)，所以設(shè)直線AB的方程；聯(lián)立得，所以，由拋物線的性質(zhì)可得過(guò)點(diǎn)，的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立得，，即.點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.故選：C.1．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）（多選）若，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，，切點(diǎn)為，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的最小值為B．直線恒過(guò)定點(diǎn)C．的最小值為0D．當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于直線的斜率.（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線方程；（2）點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求面積的最小值.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證：.技法03圓錐曲線中焦點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧圓錐曲線的焦點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算圓錐曲線的焦點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí).知識(shí)遷移橢圓的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式(1)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)(或)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則(2)為橢圓的下、上焦點(diǎn)，過(guò)(或斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則雙曲線的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式(1)F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x2a2?y2b2(2)A，B在異支弦，AB=

(2)F1，F(xiàn)2為雙曲線C:y2a2?x2b2=1a>0,b>橢圓的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

(1)F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1傾斜角為θ的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，則AB=2ab2a2?雙曲線的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

(1)F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1傾斜角為θ的直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，則AB=2ab拋物線的的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

(1)焦點(diǎn)在x軸上,AB=2psin2例3-1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．由雙曲線得，又所以．例3-2．（山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=．【法一】先求出傾斜角，代入AB=【法二】解得

所以【法三】設(shè)，則,過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：1．（全國(guó)·高考真題）已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若,則k=A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形3．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則．技法04圓錐曲線中中點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧圓錐曲線的中點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算圓錐曲線的中點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí).知識(shí)遷移橢圓中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓xkAB.kOM=?b2a2=e2kAB.雙曲線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則

k3.拋物線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則kAB=py04.中點(diǎn)弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于短軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有點(diǎn)差法妙解中點(diǎn)弦問(wèn)題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為Ax將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。

（1）設(shè)點(diǎn):若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=化簡(jiǎn)可得y1+例4．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【法一】kAB.kOM=?b2a2，解得b2【法二】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)椋獾?1．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為．2．（江蘇·高考真題）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．5．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上（1）求的方程（2）直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.技法05圓錐曲線中弦長(zhǎng)問(wèn)題（硬解定理-萬(wàn)能公式）的應(yīng)用及解題技巧圓錐曲線的弦長(zhǎng)萬(wàn)能公式（硬解定理）及其相關(guān)計(jì)算圓錐曲線的弦長(zhǎng)萬(wàn)能公式（硬解定理）及其相關(guān)計(jì)算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí).知識(shí)遷移弦長(zhǎng)公式若直線與圓雉曲線相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)圓錐曲線弦長(zhǎng)萬(wàn)能公式（硬解定理）設(shè)直線方程為:y=kx+圓錐曲線的方程為:fx可化為ax設(shè)直線和曲線的兩交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,yAB

(2)若消去x,得aAB例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知斜率為1的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【法一】硬解定理直接計(jì)算即可【法二】由橢圓得，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(