浙江省金華第一中學2023-2024學年高二上學期11月期中數(shù)學試題（含答案）

金華一中2023學年第一學期期中考試高二數(shù)學一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.2.已知數(shù)列,,,則的值為A. B. C. D.3.若橢圓短軸的兩個端點與一個焦點構成一個正三角形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.4.“點到直線的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列是公差不為0的無窮等差數(shù)列，是其前項和，若存在最大值，則（）A.在中最大的數(shù)是B.在中最大數(shù)是C.在中最大的數(shù)是D.在中最大的數(shù)是7.設雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為F，右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A.B.C.D8.在棱長為1的正方體中，為線段的中點，是棱上的動點，若點為線段上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知雙曲線，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的焦距為4C.雙曲線的虛軸長為1 D.雙曲線的漸近線方程為10.已知直線，則下列說法正確的是（）A.直線過定點B.直線與直線不可能垂直C.若點與點關于直線對稱，則實數(shù)的值為D.直線被圓截得的最短弦長為11.已知拋物線上存在一點到其焦點的距離為3，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為為坐標原點．則（）A.拋物線的方程為 B.直線一定過拋物線的焦點C.線段長最小值為 D.12.在正方體中，點P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A當時，平面B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，△PBD的面積為定值D.當時，直線與所成角的取值范圍為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知等差數(shù)列滿足，則______．14.已知是橢圓的兩個焦點，點在該橢圓上，若，則的面積是______．15.已知球是直三棱柱的內(nèi)切球（點到直三棱柱各面的距離都相等），若球的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為______．16.設經(jīng)過拋物線焦點且斜率為1的直線，與拋物線交于兩點，拋物線準線與軸交于點，則______．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知動圓：.（1）當時，求經(jīng)過原點且與圓相切的直線的方程；（2）若圓與圓：內(nèi)切，求實數(shù)的值．18.如圖，為平行四邊形，是邊長為1的正方形，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19.如圖，已知拋物線與軸相交于點兩點，是該拋物線上位于第一象限內(nèi)的點．（1）記直線的斜率分別為，求證：為定值；（2）過點作，垂足為，若平分，求的面積．20.正項數(shù)列中，，對任意都有．（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）設，試問是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的；若不存在，請說明理由．21.在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，且、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）若直線與平面交點為，且，求截面與底面所成銳二面角的大?。?2.已知點與定點的距離和它到定直線的距離的比是．（1）求點的軌跡的標準方程；（2）設點，若點是曲線上兩點，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值．

金華一中2023學年第一學期期中考試高二數(shù)學一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設出該直線的方程，由點在該直線上，即可得出該直線方程.【詳解】設該直線方程為由點在該直線上，則，即即該直線方程為故選：C【點睛】本題主要考查了由兩直線垂直求直線方程，屬于中檔題.2.已知數(shù)列,,,則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將n=1和n=2代入遞推關系式，求解即可．【詳解】數(shù)列{an}，a2＝1，，可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1+a3＝4．故選A．【點睛】本題考查數(shù)列遞推關系式的應用，考查轉化思想以及計算能力.3.若橢圓短軸的兩個端點與一個焦點構成一個正三角形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)，建立的關系，從而求出離心率.【詳解】如圖，若橢圓短軸的兩個端點與一個焦點構成一個正三角形，則，所以橢圓的離心率為.故選：D.4.“點到直線距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用點到直線的距離公式，并結合充分條件、必要條件的定義即可解答.【詳解】若點到直線的距離相等，則，解得或.∴點到直線的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.若圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結合點到直線的距離公式進行求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，若圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則圓心為到直線的距離等于1，∴，解得.故選：B.6.已知數(shù)列是公差不為0無窮等差數(shù)列，是其前項和，若存在最大值，則（）A.在中最大的數(shù)是B.在中最大的數(shù)是C.在中最大的數(shù)是D.在中最大的數(shù)是【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，由是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即可判斷AB，由可得在中最大的數(shù)是不確定的，即可判斷CD.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，由存在最大值可知，，因為，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差等差數(shù)列，且，則是遞減數(shù)列，所以在中最大的數(shù)是，故A正確，B錯誤；在中最大的數(shù)是不確定的，比如，由，可得，所以，即為最大值，故CD錯誤；故選：A7.設雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為F，右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上，設，則由得：，因為到直線的距離小于，所以，即，所以雙曲線漸近線斜率，故選A．8.在棱長為1的正方體中，為線段的中點，是棱上的動點，若點為線段上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，得出點在平面中，問題轉化為在平面內(nèi)直線上取一點，求點到定點的距離與到定直線的距離的和的最小值問題，建立平面直角坐標系，問題轉化為點關于直線到直線的距離，從而可得結果.【詳解】如上圖示，連接則，點在平面中，且，，，在△中，以為x軸，為y軸，建立平面直角坐標系，如下圖示，則，，，設點關于直線的對稱點為，而直線為①，所以，故直線為②，聯(lián)立①②，解得，故直線與的交點，所以對稱點，則，最小值為到直線的距離為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：將立體幾何問題轉化為平面問題，結合將軍飲馬模型，求點到直線上動點距離最小.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知雙曲線，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的焦距為4C.雙曲線的虛軸長為1 D.雙曲線的漸近線方程為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可確定的值，即可求得雙曲線離心率、焦距、虛軸長以及漸近線方程，即得答案.【詳解】由題意知雙曲線，設雙曲線實半軸長為a，虛半軸長為b，焦距為2c，則，故雙曲線的離心率為，A錯誤；雙曲線焦距為，B正確；雙曲線的虛軸長為，C錯誤；雙曲線的漸近線方程為，即，D正確，故選：BD10.已知直線，則下列說法正確的是（）A.直線過定點B.直線與直線不可能垂直C.若點與點關于直線對稱，則實數(shù)的值為D.直線被圓截得的最短弦長為【答案】AC【解析】【分析】對于A，當時，,對于B，當時，結合直線的平行條件，即可判斷，對于C，求出點與點的直線方程，根據(jù)對稱，即可求出，對于D，直線被圓截得的最短弦長，根據(jù)幾何關系和勾股定理，即可求出【詳解】解：對于A，當時，，故A正確，對于B，當時，直線與直線互相垂直,故B錯誤，對于C，由題意知直線AB與直線垂直,且線段AB的中點在直線上，所以，且，解得，故C正確，對于D，圓的圓心為，半徑為，當圓心到直線的距離最大時，直線被圓截得的弦長最短，此時圓心到直線的距離，解得，所以直線被圓截得的最短弦長為，故D錯誤.故選：AC11.已知拋物線上存在一點到其焦點的距離為3，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為為坐標原點．則（）A.拋物線的方程為 B.直線一定過拋物線的焦點C.線段長的最小值為 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，求得拋物線的方程，可判定A正確；設，得出和的方程，聯(lián)立方程組，結合，得到是方程的兩個不等式的實數(shù)根，再由韋達定理和，可判定D正確；由，得出直線，結合直線的點斜式的形式，可判定B不正確，再由圓錐曲線的弦長公式，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定C正確.【詳解】由拋物線，可得焦點坐標，準線方程為，因為拋物線上存在一點到其焦點的距離為，由拋物線的定義可得，可得，所以拋物線的方程為，所以A正確；設，顯然直線的斜率存在且不為0，設斜率為，可得的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因為是拋物線的切線，所以，即，且點的縱坐標為，代入拋物線方程，可得橫坐標為，即，設直線的斜率存在且不為0，設斜率為，同理可得：，且，所以是方程的兩個不等式的實數(shù)根，所以，因為，所以，所以D正確；由，且，可得，則直線的方程為，即，又由，可得，所以，即，所以直線一定過定點，該點不是拋物線的焦點，所以B不正確.由直線的斜率不為0，設直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，當且僅當時，等號成立，即的最小值為，所以C正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：解決直線與拋物線有關問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．2、涉及直線與拋物線綜合問題：通常設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結合根與系數(shù)的關系，合理進行轉化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導數(shù)在解答中的應用.12.在正方體中，點P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，平面B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，△PBD的面積為定值D.當時，直線與所成角的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，確定點在面對角線上，通過證明面面平行，得線面平行；對于B選項，確定點在棱上，由等體積法，說明三棱錐的體積為定值；對于C選項，確定點在棱上，的底不變，高隨點的變化而變化；對于D選項，通過平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.【詳解】對于A選項，如下圖，當時，點在面對角線上運動，又平面，所以平面，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對于B選項，當時，如下圖，點在棱上運動，三棱錐的體積為定值，B正確；對于C選項，當時，如圖，點在棱上運動，過作于點，則，其大小隨著的變化而變化，C錯誤；對于D選項，如圖所示，當時，，，三點共線，因為且,所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補角是直線與所成角，在正中，取值范圍為，D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知等差數(shù)列滿足，則______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，且，所以，解得.故答案為：14.已知是橢圓的兩個焦點，點在該橢圓上，若，則的面積是______．【答案】【解析】【分析】利用橢圓定義結合題設求得，可判斷，即可求得的面積.【詳解】由題意知是橢圓的兩個焦點，則，不妨取，則，又，結合可得，則，即，故，故答案為：15.已知球是直三棱柱的內(nèi)切球（點到直三棱柱各面的距離都相等），若球的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為______．【答案】##【解析】【分析】由題意求出直棱柱內(nèi)切球半徑，即可求得棱柱的高，將直棱柱分割為5個小棱錐，根據(jù)等體積法求得棱柱的底面積，再根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案.【詳解】設直三棱柱的高為h，設，內(nèi)切球的半徑設為r，則，球的表面積為，則，則；又的周長為4，即，連接，則直三棱柱被分割為5個小棱錐，即以內(nèi)切球球心為頂點，以三棱錐的兩個底面和三個側面為底面的5個棱錐，根據(jù)體積相等可得，即，即得，故三棱錐的體積為,故答案為：16.設經(jīng)過拋物線焦點且斜率為1的直線，與拋物線交于兩點，拋物線準線與軸交于點，則______．【答案】【解析】【分析】得到直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，求出的坐標，得到，利用余弦定理求出答案.【詳解】由題意得，，直線的方程為，聯(lián)立得，，設，不妨設在第一象限，解得，故，故，故，，，由余弦定理得.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知動圓：.（1）當時，求經(jīng)過原點且與圓相切的直線的方程；（2）若圓與圓：內(nèi)切，求實數(shù)的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）時圓心為，半徑為2．當過原點的直線斜率不存在時恰好與此圓相切，此時切線方程為；當過原點的直線斜率存在時設直線方程為，當直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑2，可求得的值，從而可得切線方程．（2）圓的圓心，半徑為；圓的圓心，半徑為4．當兩圓內(nèi)切時兩圓心距等于兩半徑的差的絕對值，從而可得的值．【詳解】（1）當直線的斜率不存在時，方程為,當直線的斜率存在時,設方程為，由題意得所以方程為.（2）,由題意得，兩邊平方解得.18.如圖，為平行四邊形，是邊長為1的正方形，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證，轉化只需證明平面，只需證明、即可；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量和向量的坐標，轉化為利用向量和法向量所成的角，即可求解直線與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】因為，由余弦定理得，從而，∴，又，故．又，平面，所以底面，而底面，可得，因為平面，∴平面，平面，故.【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，可取，設直線與平面所成的角為．故.19.如圖，已知拋物線與軸相交于點兩點，是該拋物線上位于第一象限內(nèi)的點．（1）記直線的斜率分別為，求證：為定值；（2）過點作，垂足為，若平分，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設點的坐標為，再利用兩點間的斜率公式即可證明.（2）由平分，可知，再由求出，再利用相交求出，即可求出的面積.【小問1詳解】由題意得點的坐標分別為．設點的坐標為，且，則，所以為定值．【小問2詳解】由直線的位置關系知：．因為，所以，解得，因為是第一象限內(nèi)的點，所以，則．聯(lián)立直線與的方程，解得．所以的面積．20.正項數(shù)列中，，對任意都有．（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）設，試問是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的；若不存在，請說明理由．【答案】（1），（2）存在，或或【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到，從而判斷得是等差數(shù)列，從而利用公式法即可得解；（2）假設存在，利用中等中項公式即可得解.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，又，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．所以的通項公式為，前項和.【小問2詳解】存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，由（1）得，假設存在正整數(shù)，傳得成等差數(shù)列，則，即，當時，得，顯然不成立，所以，得，為整數(shù)，，故，即，對應的，所以存在滿足要求的，或或.21.在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，且、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）若直線與平面的交點為，且，求截面與底面所成銳二面角的大小．【答案】（1）證明見