初中數(shù)學圓形專題訓練50題-含參考答案

初中數(shù)學圓形專題訓練50題含參考答案

一、單選題

1.如圖，四邊形488內(nèi)接于。O,若NA:NC=5:7,則NC=()

A.210°B.150°C.105°D.75°

【答案】C

7

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得NCnlgOOXhFMlOS。.

5+7

【詳解】VZA+ZC=180°,ZA：ZC=5：7,

7

???ZC=180°x——=105°.

5+7

故選：C.

【點睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，關鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補.

2.如圖，P是。。外一點，心是。。的切線，A為切點，P0與。。相交于8點，已

知NBCA=34。，C為。。上一點，連接C4,CB,則NP的度數(shù)為()

A.34°B.56°C.22°D.28°

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得：/。4尸=90。，利用圓周角定理可得：/。=2乙4C8,

從而可求出結果.

【詳解】解：???依是。。的切線，A為切點，

???/0"=90。，

又???NBCA=34°,

/.ZO=2ZACB=68°,

???ZP=90°-ZAOB=900-68°=22°.

故選：c.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，掌握利用圓周角定理與切線的

性質(zhì)定理求解角的大小是解題的關鍵.

3.如圖，AB為。0直徑，CD為弦，AB_LCD于E,連接CO,AD,ZBAD=25°,

下列結論中正確的有（）

?CE=OE；?ZC=40°；?ACD=ADC?AD=2OE

C.@@?D.??③④

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系以及直角三角形邊的關

系進行判斷即可.

【詳解】解：???AB為。O直徑，CD為弦，AB1CDT-E,

:.CE=DE,BC=BD，ACB=ADB,

AZBOC=2ZA=40°,ACB+BC=ADB+BC?

ADC=ADC故③正確;

VZOEC=90°,ZBOC=40°,

/.ZC=50°,故②正確；

■:NC*NBOC,

???CE#)E,故①錯誤；

作OP〃CD,交AD于P,

VAB1CD,

AAE<AD,ZAOP=90°,

AOA<PA,OE<PD,

/.PA+PD>OA+OE

TOEVOA,

/.AD>2OE,故④錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握性質(zhì)

定理是解題的關鍵.

4.下列命題正確的是（）

A.相等的圓心角所對的弧是等弧B.等圓周角對等弧

C.任何一個三角形只有一個外接圓D.過任意三點可以確定一個圓

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角與弧的關系可判斷出各選項，注意在等圓中這個條件.

【詳解】A、缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧才相等；故

本選項錯誤；

B、缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧才相等；故本選項錯

誤；

C、任何一個三角形只有一個外接圓，故本選項正確；

D、缺少條件，過任意不共線的三點才可以確定一個圓，故本選項錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查命題與定理的知識，屬于基礎題，掌握相關的性質(zhì)定理是解題的關

鍵.

5.如圖，四邊形ABCD為的內(nèi)接四邊形，已知NBOD=UO。，則NBCD的度數(shù)

為（）

A.55°B.70°C.110°D.125°

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理求出/A,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即司;

【詳解】由圓周角定理得,NAJNBOD=55。,

???四邊形ABCD為OO的內(nèi)接四邊形，

ZBCD=1800-ZA=125°,

故選D

【點睛】此題考查圓周角定理及其推論，解題關鍵在于掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

6.如圖，點A,B,C均在圓O上，當NBOC=120。時，NBAC的度數(shù)是（)

A.65°B.60°C.55°D.50°

【答案】B

【分析】直接利用圓周角定理求解.

【詳解】???NBAC和NBOC都對弧BC,

JNBAC=|NBOC=1x120°=60°.

故選:B.

【點睛】此題主要考查圓周角定理的運用，熟練掌握，即可解題.

7.如圖，在。O中，所對的圓周角NACB=50。，。為AB上的點.若/40。=

35。，則NB。。的大小為（）

A.35°B.50°C.55°D.65°

【答案】D

【分析】在同圓中，由同弧所對的圓周角等于其圓心角的一半解答.

【詳解】解：ZACB=50°,

/.ZAOB=2x50°=100°

二NBOD=ZAOB-ZAOD=1(XJ0-35O=65°

故選；D.

【點睛】本題考查圓周角與圓心角的性質(zhì)，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

8.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，ND4B=140。，連接0C,點P是半徑0C上一

A.40°B.60°C.80°D.90°

【答案】D

【分析】連接OD、OB,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NDCB,根據(jù)圓周角定理求出

ZBOD,求出NBPD的范圍，即可解答.

【詳解】連接OD、OB,

???四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

.,.ZDCB=180°-ZDAB=40°.

由圓周角定理得，ZBOD=2ZDCB=80°,

A40o<ZBPD<80°,

???NBPD不可能為90。，

【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角

互補是解題的關鍵.

9.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AB是。O的直徑，EC與。O相切于點

C,ZECB=35°,則ND的度數(shù)是（）

A.145°B.125°C.90°D.80。

【答案】B

【詳解】解：連接0C

,JEC與1O相切,NECB=35，

/OCB=55，

OB=OC,

..ZOBC=ZOCB=55,

/.ZD=18()-ZOBC=18()-55=125.

故選：B.

10.如圖，AC是汽車擋風玻璃前的刮雨刷.如果AO=65c〃z,CO=\5cm,當刮雨刷

AC繞點。旋轉90時，則刮雨刷4C掃過的面積為（）

o

A.25冗cn￥

B.1000^-c/n2

C.25cm2

D.lOOOc/w2

【答案】B

【分析】易證三角形AOC與三角形A，OC全等，故刮雨刷AC掃過的面積等于扇形

AOA，的面積-扇形COC的面積.

【詳解】解：VOA=OAr,OC=OC\AC=AV

/.△AOC^AA,OC,

故刮雨刷AC掃過的面積=扇形AOA，的面積-扇形COC的面積=竺二巨兀=

4

1000兀cm?,

故選B.

【點睛】考查根據(jù)扇形面積公式計算扇形面積的能力.同是應注意利用面積相等將圖

形轉化為熟悉的面積計算.

11.一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分水面寬0.8米,

最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是（）

A.0.5B.1C.2D.4

【答案】B

【詳解】解：設半徑為r,過O作OE_LAB交AB于點D,連接OA、OB,

貝AD=^AB=^-x0.8=0.4米，

設OA=r,則OD=r-DE=r-0.2,

在RtAOAD中，

OA?=AD?+OD\

即3=0.42+(r-0.2)2,

解得r=0.5米，

故此輸水管道的直徑=2r=2x0.5=l米.

故選B.

12.如圖，圓錐的側面展開圖是半徑為3,圓心角為90。的扇形，則該圓錐的底面周長

為（）

3

D.

2

【答案】B

【詳解】試題分析：根據(jù)圓錐側面展開扇形的弧長等于底面圓的周長，可以求出底面

圓的半徑，從而求得圓錐的底面周長.

解：設底面圓的半徑為r,則:

兀

2nr90X3=3

180

3

1

...圓錐的底面周長為募3兀,

故選B.

考點：圓錐的計算.

13.如圖，AB為半圓0的直徑，C為半圓上一點，且弧AC為半圓的4，設扇形

0

AOC,ACOB,弓形BmC的面積分別為Si，S2,S3,則下列結論正確的是（）

A.SiVS2Vs3B.S2VS1VS3C.S2Vs3VsiD.SiVS2Vs3

【答案】B

【詳解】試題分析：首先根據(jù)△AOC的面積=△BOC的面積，得S?VSi.再根據(jù)題

意，知S1占半圓面積的所以S3大于半圓面積的

解：根據(jù)△AOC的面積=△BOC的面積，得S2<Si,

再根據(jù)題意，知S,占半圓面積的2

0

所以S3大于半圓面積的

0

因此S2VS1VS3.

故選B.

考點：扇形面積的計算.

14.如圖，在矩形A8CO中，45=2,BC=6,以點B為圓心，曲長為半徑畫弧,

交CD于點E,連接BE,則扇形84E的面積為（）

與r3%

A.C.D.—

54

【答案】C

【分析】解直角三角形求出NCBE=30。，推出NABE=60。，再利用扇形的面積公式

求解.

【詳解】解：四邊形A6CQ是矩形，

.-.ZABC=ZC=90°,

BA=BE=2,BC=g,

BE2

..NCBE=30°,

.?.ZAB￡=90°-30°=60°,

.60?乃"_2笈

■'品的=36G

故選：c.

【點睛】本題考查扇形的面積，三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是求出

NC8E的度數(shù).

15.下列事件中，是隨機事件的是()

A.。。的半一徑為5,OP=3,點尸在。。外

B.相似三角形的對應角相等

C.任意畫兩個直角三角形，這兩個三角形相似

D.直徑所對的圓周角為直角

【答案】C

【分析】根據(jù)隨機事件的定義進行分析解答即可.

【詳解】解；(1)點P一定在內(nèi)，A是不可能事件，故錯誤.

(2)相似三角形的對應角一定相等，是必然事件，8錯誤.

(3)任意畫兩個直角三角形，這兩個三角形不一定相似，C正確.

(4)直徑所對的圓周角一定為直角，D為必然事件,〃錯誤.

綜上選C.

【點睛】本題考查隨機事件的定義，熟悉掌握是解題關鍵.

16.如圖，AC是。O的直徑，弦BD_LAO于E,連接BC,過點0作OFJ_BC于F,

若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長度是()

A

B.x/6cmC.2.5cmD.x/5cm

【答案】D

【詳解】分析：根據(jù)垂徑定理得出0E的長，進而利用勾股定理得出BC的長，再利用

相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

詳解：連接OB,

丁AC是。O的直徑，弦BD_LAO于E,BD=8cm,AE=2cm.

在RtaOEB中，OE2+BE2=OB2,gpOE2+42=(OE+2)2

解得：OE=3,

AOB=3+2=5,

，EC=5+3=8.

在RtAEBC中，BC=y/BE2+EC2=V42+82=4石.

VOF1BC,

???ZOFC=ZCEB=90°.

???zc=zc,

/.△OFC^ABEC,

?OF=OC即”=￡

''BEBC’446'

解得：0F二百.

故選D.

點睛：本題考查了垂徑定理，關鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長.

17.我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬

曲線除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1）,它

是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓

弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形.圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖.有

如下四個結論：

①勒洛三角形是中心對稱圖形：

②在圖1中，等邊三角形的邊長為2,則勒洛三角形的周長為2元；

③在圖2中，勒洛三角形的周長與圓的周長相等；

④使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發(fā)生上下抖動；

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念、弧長公式、圓的周長公式、等邊三角形的性質(zhì)以

及圓的性質(zhì)，進行判斷即可.

【詳解】解：①勒洛三角形不是中心對稱圖形，故①錯誤，不符合題意；

②在圖1中，等邊三角形的邊長為2,則勒洛三角形的周長為"累處'3=2幾，故②

1oO

正確，符合題意；

③在圖2中，設勒洛三角形中等邊三角形的邊長為則圓的直徑為。，

所以勒洛三角形的周長為空符X3=M,圓的周長為師，

180

故在圖2中，勒洛三角形的周長與圓的周長相等，故③正確，符合題意；

④夾在平行線之間的勒洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變,

如在圖1中，點A到8c上任意一點的距離都相等，故使用截面是勒洛三角形的滾木來

搬運東西，不會發(fā)生上下抖動，故④正確，符合題意；

故上述結論中，所有正確結論的序號是：②③④；

故選：D.

【點睛】此題是新定義題，主要考查了平行線間的距離、等邊三角形與圓的性質(zhì)、中

心對稱、弧長公式等知識，正確理解新定義和熟練掌握相關概念與性質(zhì)是解答此題的

關鍵.

18.如圖，點E是△45C的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點O.連接

BD,BE,CE,若NCBO=33°,則NBEC=()

A.66°B.114°C.123°D.132°

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角定理可求/CAD=33。，再根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可求NBAC,再

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)心的定義可求NEBC+NECB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理可求NBEC的度數(shù).

【詳解】在。。中，???NC8Q=33。，

VZCAD=33°,

???點E是AABC的內(nèi)心，

JZBAC=66°,

/./EBC+/ECB=(180°-66°)+2=57°,

/.NBEC=180°-57°=123°.

故選C.

【點睛】考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，關鍵是得

至UNEBC+/ECB的度數(shù).

19.如圖，四邊形ABCO為正方形，。為AC、8力的交點，&DCE為&△,

【答案】B

【分析】過點O作OMJLCE于M,作ON_LDE交ED的延長線于N,因為

ZCOD=ZCED=90°,可得出O、C、E、D四點共圓，所以NCEO=NCDO=45。，己知

OE=2V2,可求出ON=NE=2,

可得四邊形OMEN是正方形，ZMON=90°,再求出/COM=NDON,根據(jù)正方形的

性質(zhì)可得OC=OD；然后利用AAS證明ACOM和ADON全等，從而得到CM二DN,所

以DE+CE=NE-ND+ME+CM=NE+ME=4,設DE=a,CE=b,得出a+b=4,已知ab=5,

可求得C?，進而求得正方形ABCD的面積.

【詳解】如圖，過點O作OM1CE于M,作ONJ_DE交ED的延長線N

'：ZCOD=ZCED=90°

???O、C、E、D四點共圓

???ZCEO-ZCDO-45n

???ZDEO=45°

VOE=2x/2

2NE2=OE2=(2>/2)2=8

AON=NE=2

???四邊形OMEN是正方形，

ZMON=90°

■:ZCOM+ZDOM=ZDON+ZDOM,

ZCOM=ZDON

丁四邊形ABCD是正方形，

.e.OC=OD

VIACOMWADON中

/.COM=ADON

<ZCMO=NN

OC=OD

：.ACOM^ADON,

ACM=DN,

DE+CE=NE-ND+ME+CM=NE+ME=4

設DE=a,CE=b

:.a+b=4

VCE?DE=5

ACD2=a2+b2=(a+b)2-2ah=42-2x5=6

**?S正方彩ABCD=CD2=6

故選：B

【點睛】本題考查了四點共圓的判定及圓周角定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，

正方形的判定及性質(zhì)定理，全等三角形的判定及性質(zhì).

20.如圖，AB是。O的直徑，弦CDJ_AB于點G,點F是CD上一點，且滿足

蕓=:，連接AF并延長交。。于點E,連接AD、DE,若CF=2,AF=3.給出下

列結論：①△ADFsZ\AED；②FG=2；③tan/E=在：④SADEF=46.其中正確

2

的是結論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】分析：①由垂徑定理記得NAD/=NAEO；②由垂徑定理:正得OG=CG；

?ZE=ZADG,在MZkAOG中，求“zNAOG；④先S4AQR由

求得SAADE；

詳解：①??泡8是。。的直徑，弦CD工AB,；.DG=CG,

???弧40=弧AC,NADF=NAED,

,/ZFAD=/DAE,/.

CF1

?V-=-,CF=2,:,FD=6,

FD3

???CO=O尸+C尸=8,：.CG=DG=4t

:,FG=CG-CF=2；

③R/4FG中，Ar=3,FG=2,由勾股定理得AG=百，

R/AQG中，tanZADG=—=—.

DG4

VZE=ZADG,所以正.

4

④心ZkAOG中，AG=小,DG=4,由勾股定理得40=^,

SADF=亞亞.

AIDFAG=1x6x=3

???/AOF=NE,ZDAF=ZEAD,：./\AFD^AADE,

絲］,即止二（三丫，則SdAOE=76.

S.ADEXADJ.ADE\>/2T/

,/SDEF=SAADE-SAFD,：.SDEF=下-亞布,

AAA73=4

所以正確的結論是①@④.

故選C.

點睛：當不能直接求一個三角形的面積時，可求另一個與它相似的三角形的面積，利

用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解.

二、填空題

21.如圖，有4個圓IA,B,C,。，且圓A與圓8的半徑之和等于圓。的半徑，圓

3與圓。的半徑之和等于圓。的半徑，現(xiàn)將圓A,B,C擺放如圖甲，圓8,C,D

擺放如圖乙.若圖甲和圖乙的陰影部分面積分別為44和12乃.則圓。面積為.

【答案】284

【分析】根據(jù)題意得到圓A的半徑為2,設圓B的半徑為b,則圓C的半徑為b+2,

故圓D的半徑為2b+2,根據(jù)乙圖得到方程求出b的關系，再根據(jù)圓D的面積與b的

關系即可求解.

【詳解】???圖甲陰影部分面積分別為4不，即圓A的面積為4乃，

，圓A的半徑為2,

設圓B的半徑為b,則圓C的半徑為b+2,故圓D的半徑為2b+2,

根據(jù)乙圖可得乃（2。+2產(chǎn)=12點+加？+兀（8+2）2

化簡得從+2b=6>

，圓D的面積為）3+2尸=4乃（6+力）+4乃=284，

故填：28兄

【點睛】此題主要考查圓的面積求解，解題的關鍵是根據(jù)圖形找到等量關系進行列方

程求解.

22.圓的有關概念：

（1）圓兩種定義方式：

Q）在一個平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉

所形成的圖形叫做圓，固定的端點。叫做線段OA叫做

S圓是所有點到定點O的距離一定長，的點的集合.

（2）弦：連接圓上任意兩點的_叫做弦.（弦不一定是直徑，直徑一定是弦，直徑是

圓中最長的弦）；

（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫—（弧的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)，等

于這條弧所對圓周角的兩倍）

（4）等?。涸谕瑘A與等圓中，能夠—的弧叫等弧.

（5）等圓：能夠一的兩個圓叫等圓，半徑一的兩個圓也叫等圓.

【答案】圓心半徑等于線段弧完全重合完全重合相等

【分析】根據(jù)圓、弦、弧、等弧、等圓的定義即可作答.

【詳解】（1）圓兩種定義方式：

（。）在一個平面內(nèi)線段。4繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉

所形成的圖形叫做圓，固定的端點。叫做圓心.線段OA叫做半徑.

圓是所有點到定點。的距離等于定長，?的點的集合.

<2）弦；連接圓上任意兩點的線段叫做弦,（弦不一定是直徑，直徑一定是弦，直徑

是圓中最長的弦）；

（3）?。簣A上任意兩點間的部分叫?。ɑ〉亩葦?shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)，等

于這條弧所對圓周角的兩倍）

（4）等?。涸谕瑘A與等圓中，能夠完全重合的弧叫等弧.

（5）等圓：能夠完全重合的兩個圓叫等圓，半徑相等的兩個圓也叫等圓.

故答案為：圓心，半徑；等于；線段；?。煌耆睾?；完全重合；相等.

【點睛】本題主要考查了圓、弦、弧的定義，牢記相關定義是解答本題的關鍵.

23.如圖，在矩形A8CD中，AB=8,4）=6,以頂點。為圓心作半徑為/?的圓，若

要求另外三個頂點A、仄C中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點不在圓內(nèi)，則r

【分析】先根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理求出80,再根據(jù)點與圓的位置關系結合圖形即可

得出結論.

：.CD=AB=StNA=90，

在用中，4）=6,

由勾股定理得：BD=>jAb2+AB2=V62+82=10?

，?,點A、B、C中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點不在圓內(nèi)，且

AD<CD<BD,

6<r<10,

故答案為：6<r<10.

【點睛】本題考查點與圓的位置關系、勾股定理和矩形的性質(zhì)，解答關鍵是熟知點與

圓的位置關系：設圓半徑為八點與圓心的距離為d,當dVr時，點在圓內(nèi)；當d寸

時，點在圓上；當＞時，點在圓外.

2

24.如圖內(nèi)接于0O,半徑為6,sinZA=-,則5。的長為.

【答案】8

【分析】通過作輔助線構成直角三角形，再利用三角函數(shù)知識進行求解.

【詳解】解：作一。的直徑8,連接則8=2x6=12.

，NC5O=90,ZD=ZA，

：.?C=CDsinD=CDsin4=12x-=8,

3

故答案為：8.

【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，作出直徑構建直角

三角形是解本題的關鍵.

25.如圖，PA、PB分別切。。于A、B,并與。0的另一條切線分別相交于D、C兩

點，已知PA=6,則△PCD的局長=.

【詳解】試題分析：切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相

等，這一點和圓心的連線，平分兩條切線的夾角.

〈PA、PB分別是。。的切線，且切點為A、B

APA=PB=6

同理可得DE=DA,CE=CB

則^PCD的周長=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=I2.

考點：切線長定理

26.如圖，若BC是。0的弦，ODJ_BC于D,且/BOD=50。，點A在。O上（不與

B、C重合），貝IJNBAC=.

【答案】50?；?30。.

【詳解】試題解析：連接0C,則NBOC=2NBOD=100。,

①當△ABC是銳角三角形時，ZA=^ZBOC=50°；

②當△ABC是鈍角三角形時，ZA=180°-50°=130°.

因此NBAC的度數(shù)為50?；?30°.

考點：1.圓周角定理；2.垂徑定理.

27.若圓錐的底面積為16兀cm2,母線長為12cm,則它的側面展開圖的圓心角為

【答案】120°

【分析】根據(jù)圓錐的母線長等于展開圖扇形的半徑，求出圓錐底面圓的周長，也即是展開

圖扇形的弧長，然后根據(jù)弧長公式可求出圓心角的度數(shù).

【詳解】由題意得，圓錐的底面積為1671cm2,

故可得圓錐的底面圓半徑為:件=4,底面圓周長為2仆4=8兀,

設側面展開圖的圓心角是n。,根據(jù)題意得：=1舞二8開,

1oO

解得:n=120.

故答案為120.

【點睛】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系

是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑,1員I錐的底面圓周長是扇形的弧長.

28.如圖，在等腰直角三角形A8C中，AB=BC=4,點M是A8的中點，將“BC

繞點M旋轉至AA&U的位置，使A3_LAC,其中點C的運動路徑為弧CC,連接

CM,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】手+3.

【分析】連接MC,由48J.AC可證得△A，MH為等腰直角三角形，進而可求得

AH,CH,MH的長，再利用旋轉角相等求得NCMC的度數(shù)，最后利用扇形的面積公

式計算即可.

【詳解】解:如圖，連接MC,

???在等腰直角三角形ABC中，AB=8C=4,點M是48的中點,

AZA=45°,AM=BM=2,AC=4近，

???旋轉,

.?.ZA'=ZA=45°,A'C'=AC=4&，A'M=AM=2,

又;AB±AfC,

.-.△A,MH為等腰直角三角形，

JAH=MH=巫AM=Vi，ZA'MH=45°,

2

，CH=AC-AH=40-夜=36，

:.SAMHC=—xV2x3>/2=3

2

在RIAMHC中，MC'=>JMH2+HC'2="(何+(3何=2后,

又「ZC'MC=ZA'MH=45°,

.c454x(2石產(chǎn)5

??3顯影CMC=------------------------=—71

3602

???陰影部分面積為S&w/c+S國形CMC=3+：乃.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及判定，勾股定理以及扇形的面積公式,

連接MC是解決本題的關鍵.

29.如圖，-ABC內(nèi)接丁。0,若ZOAB=30,貝【JZC=

【答案】600

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出NAO8,根據(jù)圓周角定理解

答.

【詳解】OA=OB,

ZOBA=ZOAB=30，

/.ZAOB=180-30-30=120，

由圓周角定理得，NC=g/AOB=60,

故答案為60.

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓周角定理

是解題的關鍵.

30.如圖，8。為。。的直徑，弦AO_L8C于點E,直線/切。。于點C,延長。。交/

于點F,若AE=2,ZABC=22.5°t則C尸的長度為

B

【答案】20

【分析】根據(jù)垂徑定理求得AC=CQ，AE=DE=2f即可得到NCOD=2N45C=45。，則

△OEO是等腰直角三角形，得出。。="凝=2夜，根據(jù)切線的性質(zhì)得到8C_LC凡

得到AOC尸是等腰直角三角形，進而即可求得CF=OC=OD=2y/2.

【詳解】解：???8C為。。的直徑，弦AD_LBC于點E,

AC=CD，AE=DE=2,

NA8U22.5。，

/.NCOD=2NABC=45。，

???△OEO是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

：?OD=亞言=2五,

???直線/切。0于點C,

:,BC工CF,

???△OC/是等腰直角三角形，

:?CF=OC,

?：OC=OD=2五,

:,CF=2五,

故答案為：2&.

【點睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關系，切線的性質(zhì)，勾

股定理的應用，求得。尸=。。=0。是解題的關鍵.

31.用一張圓形的紙剪一個邊長為4cm的正六邊形，則這個圓形紙片的半徑最小應為

_______cm.

【答案】4

【分析】要剪一張圓形紙片完全蓋住這個正六邊形，這個圓形紙片的邊緣即為其外接

圓，根據(jù)正六邊形的邊長與外接圓半徑的關系即可求出.

【詳解】???正六邊形的邊長是4cm,.?.正六邊形的半徑是4cm,.?.這個圓形紙片的最

小半徑是4cm,故答案為4cm.

【點睛】此題主要考查了正多邊形與圓的知識，注意正六邊形的外接圓半徑與邊長相

等，這是一個需要謹記的內(nèi)容.

32.如圖，A8與。。相切于點A,B0與。0相交于點C,點。是。。上一點，ZB=

【分析】根據(jù)圓周角定理求出/COA,根據(jù)切線性質(zhì)求出NOA8=90。，所以由“直角

三角形的兩個銳角互余''的性質(zhì)可以求得/4OB=52。；然后利用圓周角定理來求NO

的度數(shù).

【詳解】解：???AB與。。相切于點A,

：.OA±ABt即NOA8=90。.

又=ZB=38°,

/.NAO8=90°-38。=52。，

：.ZD=^ZAOB=26°.

故答案是：26°.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識點，關鍵

是求出NAOB的度數(shù).

33.把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知￡尸=。

=12cm,則球的半徑為cm.

【答案】7.5

【分析】首先找到EF的中點M,作MN_LAD于點M,取MN上的球心O,連接

OF,設OF=x,則0M是(12-x)cm,MF=6cm,然后在直角三角形MOF中利用勾

股定理求得OF的長即可.

【詳解】解：EF的中點M,作MNJ_AD于點M,取MN上的球心0,連接OF,

iD

?1

\Q：

____SL"_

BVC

???四邊形ABCD是矩形，

AZC=ZD=90°,

J四邊形CDMN是矩形，

/.MN=CD=12cm

設OF=xcm,則ON=OF,

/.OM=MN-ON=(12-x)cm,MF=6cm,

在直角三角形OMF中，ONP+MPMOF2,

即：(12-x)2+62=x2,

解得：x=7.5,

故答案為：7.5.

【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關鍵是正確的作出輔助線構

造直角三角形.

34.已知Ri3ABe中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,以。為圓心，4.8cm長

度為半徑畫圓，則直線與。。的位置關系是.

【答案】相切

【分析】過點。作COJ_A8于D,在RSA8C中，根據(jù)勾股定理48二

>JAC2+BC2=^/67+87=loem,利用面積得出CQAB二ACBC,即1036x8,求出

CZ>4.8cm,根據(jù)CD二『4.8cm,得出直線A3與OO的位置關系是相切.

【詳解】解：過點C作COL4B于O,

在RSABC中，根據(jù)勾股定理止，化+叱=扃*=105,

ASAABC=CDAB=yAGBC,即108=6x8,

解得CD=4.8cm,

，CZ)=『4.8cm,

???直線AB與0。的位置關系是相切.

故答案為：相切.

【點睛】本題考查勾股定理，直角三角形面積，圓的切判定，掌握勾股定理，直角三

角形面積，圓的切判定是解題關鍵.

35.如圖，一次函數(shù)曠=-石.丫+>/5的圖像與X軸、y軸交于A、B兩點,P為一次函數(shù)

y=x的圖像上一點，以尸為圓心能夠畫出圓與直線4B和），軸同時相切，則

/BPO=

【答案】30?；?20°

【分析】分兩種情況，分成點P在AB的左側和右側兩種情況進行討論，利用切線的

判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理即可求解

【詳解】分兩種情況:

（1）當NA8O的平分線與丁=工相交時，點P即為圓心.如圖,

令），=0,則ml,令戶0,則產(chǎn)G，即AO=1,BO=43

；.；。=處=；=6

BO63

:.ZABO=30°

1'BP為NABO的平分線

工N0BP=150

又N4OP=45°

J180°-45°-15°=120°

(2)當NAB。的外角平分線與丁=工相交時，點尸即為圓心.

如圖，

同理可求/。8戶=30。+75。=105。

工ZBPO=180o-450-105o=30°

故答案為：30?；?20。

【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和的應

用，正確的對點P的位置進行分類是解題的關鍵.

36.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,點E在AB的延長線上，BF〃AC,AB=BC,

ZADC=130°,貝|JNFBE=

【答案】65

【詳解】連接BD,如圖所示:

VZADB和NACB是弧AB所對的圓周角，ZBDC和NBAC是弧BC所對的圓周

角，

AZADB=ZACB,ZBDC=ZBAC,

又?.?NBDC+/ADB-NADC,ZADC-1300,

/.ZBAC+ZACB=130°,

XVAB=BC,

???NBAC=NACB=65。，

又???BF〃AC,

/.ZFBE=ZBAC=65°；

故答案是：65.

37.如圖，點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為26,以原點。為圓心，0A為半徑作優(yōu)弧A8,

4

使點8在。右下方，且tan乙=§.在優(yōu)弧A8上任取一點P,且能過P作直線

/〃0B交數(shù)軸于點Q,設。在數(shù)軸上對應的數(shù)為■連接0P.

(1)若優(yōu)弧48上一段AP的長為13乃，則NAOP的度數(shù)為,x的值為

(2)x的最小值為,此時直線/與弧AB所在圓的位置關系為

【答案】90。##90度y―相切

【分析】⑴由嗤0=”萬，解得〃=90。，即/POQ=90。，在RLAPOQ中，根據(jù)

180

40P

tanZ.PQO=tan/.QOB=-=—,即可得出工的值；

(2)當直線/與弧AB所在圓相切時，工的值最小，根據(jù)/〃OB,可.得

NOQP=ZAOB,在Rt^OPQ中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解.

【詳解】解：(1)如圖1,

圖1

,njrx26

由一^=.，

解得：〃=90。,

；?ZPOC=90n,

???PQ//OB,

：.ZPQO=/BOQ,

4OP

:.tanNPQO=tanNQOB=-=—t

4_26

即an丁的

39

???OQ=-

?x-史

2

故答案為：90°：y

(2)如圖，當直線/與弧A3中在圓相切時，x的值最小,

???ZOPQ=ZPOB=90°t

：.ZOQP-ZAOB,

在RSOPQ中,

OP4

tanNOQP=—=tanZAOB=-

PQ3

設OP=4a,PQ=3a,

:.OQ=5a,

4

,sinZOQP=-,

：.OQ=°F=竺

sinZ.OQP2

即x的最小值為卷.

故答案為：一竽，相切

【點睛】本題考查弧長計算，勾股定理，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握弧長

公式，銳角三角函數(shù).

38.如圖，在RI/XA8C中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cmt以8C邊所在的直線為

軸，將,ABC旋轉一周得到的圓錐側面積是一；此圓錐展開的側面扇形的圓心角為

【分析】先利用勾股定理求出A8的長，然后根據(jù)圓錐側面積公式和弧長公式求解即

可.

【詳解】解：，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

工AB=y/AC2+BC2=5cm?

:.BC邊所在的直線為軸，將二ABC旋轉一周得到的圓錐側面積是江x3x5=15衣n?,

;此圓錐展開的側面扇形的扇形弧長是底面圓周長，

生q=216。

，此圓錐展開的側面扇形的圓心角度數(shù)為三至一,

180°

故答案為：15/rcm2、216°.

【點睛】本題考查了勾股定理，圓錐的計算；得到幾何體的組成是解決本題的突破

點；圓錐的側面積FX底面半徑X母線長.

39.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-@x+4的圖象與x軸、)，軸交

3

于4、8點，點C在線段04上，點。在直線48上，且。=2,△DEC是直角三角

形(ZEDC=90°),DE=￡DC,連接Ab則4E的最大值為.

【答案】2"+2

【分析】以CO為邊作等邊三角形。CG,以G點為圓心，DG為半徑作。G,利用圓

周角定理說明點A在OG上，得AG=OG=￡>C=2,再在△￡/〃？中，求EG,當A、G、E

三點共線時，八七最大，即可求解.

【詳解】解：如圖，以8為邊作等邊三角形。CG,以G點為圓心，QG為半徑作

◎G,

在直線y=*x+4中，當x=0時，），=4,

當y=0時，x=46,

，A點坐標為（4>/3?0）,8點坐標為（0,4）,

在mAAOB中，。4=46，。3=4,

：.tanZDAC=—,

3

工ZDAC=30°,

???點A在OG上，

：.AG=DG=DC=2,

???DEC是直角三角形(NEOC=90。)，DE=^DC,

：.ZDEC=30°,DE=2B

在RAOGH中，NHDH=30。,

:?DE=6GH=1,

在RIAEHG中,EG=^EH2+GH2=7(2\/3+V5)2+12=2>/7,

當A、G、E三點共線時，AE最大，最大值為2萬+2.

【點睛】本題考查了定邊對定角模型的建立，圓周角定理，勾股定理，一次函數(shù)圖象

上點的特征，解題關鍵是線段最值問題時看三角形，已知兩邊，第三邊的最大值就是

三點共線時.

40.在邊長為1的正十二邊形中放置了四個正方形(如圖所示)，則圖中Nl+N2=

______度，陰影四邊形的面積為

【答案】105°林105度+

【分析】作出如圖的輔助線，記明是等邊三角形，△84;是等腰直角三角形，

可求得4+N2=105。；求得=繼而求得4。二避二!■,BC=DE=^^~,利用

22

分割法，分別求得矩形8G/V的面積和其空白部分的面積，即可求解.

【詳解】解：過點A、。作直線8G的垂線，垂足分別為C、E,連接尸G、BI,

??,正十二邊形每個內(nèi)角為二180。'(12-2)+12=150。，

:.Z2=150o-90°=60°,

???△8/〃是等邊三角形，

AZBM=150o-60°=90°,BI=IA,

:.△B47是等腰直角三角形，

/.Zl=45°,

，Zl+Z2=45o+60°=105°；

,??ABD90?,AB=BD,

:.ZABC+NBAC=90°=ZABC+NDBE,

:.ZBAC=ZDBE,

:.△BAC^ADBE(AAS),

AC=BE,BC=DE,

,/△B4是等腰直角三角形，

***AB=#+1?=V2>N/8K=30°，

，BK=2IK,

由勾股定理得卜=正，AK="昱,

33

同理AC=或二1,則8E=更二L

22

由勾股定理得BC=DE=且擔，

2

由圖形的對稱性質(zhì)知PG=1+2AC=I+X/5-I=G，

:.矩形BGFJ的面積為FGXBG=6,

點。到直線R/的距離就是班的長，即息］，

2

點O到直線打的距離就是AG-OE=AC的長，即立二1,

2

矩形皮加/中的空白部分的面積為j：x6xW^+gxlx存卜2=1,

???陰影四邊形的面積為G-1.

H

故答案為：105。；6-1.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，利用圖形的對稱性質(zhì)，以及把圖形分割成可計算面積的四個三角形是解題的關

鍵.

三、解答題

41.如圖，在。。中，直徑4B與弦CO相交于點E,連接AC、BD.

B

⑴求證：AAECSAPEB；

(2)連接AO,若40=3,ZC=30°,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析

(2)。0的半徑為3

【分析】(1)利用4O=AO，同弧所對的圓周角相等，得到NC=/8,再結合對頂角

相等，即可證明；

(2)利用NC=NA,得至l」NA=30。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到

ZADB=90°,再利用直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得。

。的半徑.

【詳解】(1)證明：在。。中，

AD=AD^

:.NC=NB,

又?：ZAEC=4DEB,

：.^AECs國EB.

(2)解：VZC=30°,

由(1)可知，ZB=ZC=30°,

???直徑48,

:.ZADB=90°,

，在MAD5中，AP=3,ZB=30°,

AAB=2AD=6,

OA=-AB=3,

2

即。。的半徑為3.

【點睛】本題考查圓的基本知識，相似三角形的判定，以及含30。角的直角三角形.主

要涉及的知識點有同弧所對的圓周角相等；兩個角對應相等的兩個三角形相似；直徑

所對的圓周角是直角；直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

42.如圖，在0O中，AB為直徑，AC為弦.過BC延長線上一點G,作GD_LAO于

點D,交AC于點E,交00于點尸，M是GE的中點，連接CF,CM.

(1)判斷CM與00的位置關系，并說明理由；

(2)