北大 離散數(shù)學(xué)試卷

北大離散數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.在離散數(shù)學(xué)中，下列哪個術(shù)語用于描述一個有限集合中的元素個數(shù)？

A.序列

B.關(guān)系

C.卡迪納爾

D.組合

2.在圖論中，一個無向圖如果它的任意兩個頂點之間都有邊相連，那么這個圖被稱為：

A.有向圖

B.無向圖

C.連通圖

D.分圖

3.在集合論中，一個集合A的補集是指：

A.與A有相同元素的所有集合的集合

B.不屬于A的所有元素的集合

C.屬于A的所有元素的集合

D.屬于A的所有元素與不屬于A的所有元素的并集

4.在邏輯中，下列哪個邏輯連接詞表示“如果……那么……”？

A.且（∧）

B.或（∨）

C.非（?）

D.如果（→）

5.在組合數(shù)學(xué)中，C(n,k)表示從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)，那么C(5,3)的值是多少？

A.5

B.10

C.15

D.20

6.在集合論中，下列哪個性質(zhì)是冪集的必然性質(zhì)？

A.冪集的元素個數(shù)等于原集合的元素個數(shù)

B.冪集的元素個數(shù)是原集合的元素個數(shù)的兩倍

C.冪集的元素個數(shù)是原集合的元素個數(shù)的冪次方

D.冪集的元素個數(shù)與原集合的元素個數(shù)沒有必然聯(lián)系

7.在圖論中，一個圖如果它的任意兩個頂點之間都有邊相連，那么這個圖被稱為：

A.有向圖

B.無向圖

C.連通圖

D.分圖

8.在集合論中，下列哪個性質(zhì)是集合的子集的必然性質(zhì)？

A.子集的元素個數(shù)等于原集合的元素個數(shù)

B.子集的元素個數(shù)小于原集合的元素個數(shù)

C.子集的元素個數(shù)大于原集合的元素個數(shù)

D.子集的元素個數(shù)與原集合的元素個數(shù)沒有必然聯(lián)系

9.在邏輯中，下列哪個邏輯連接詞表示“非（?）”？

A.且（∧）

B.或（∨）

C.非（?）

D.如果（→）

10.在組合數(shù)學(xué)中，P(n,k)表示從n個不同元素中取出k個元素的排列數(shù)，那么P(4,2)的值是多少？

A.4

B.6

C.8

D.12

二、判斷題

1.在圖論中，一個完全圖是指每個頂點都與其他所有頂點相連的圖。（）

2.在集合論中，空集是任何集合的子集，但不是任何集合的超集。（）

3.在邏輯學(xué)中，一個命題如果是真的，那么它的否定命題也是真的。（）

4.在離散數(shù)學(xué)中，所有無限集合的基數(shù)都是無限的。（）

5.在組合數(shù)學(xué)中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)C(n,k)總是小于或等于從n個不同元素中取出k個元素的排列數(shù)P(n,k)。（）

三、填空題

1.在圖論中，如果從頂點u到頂點v存在一條路徑，則稱u和v是圖中的_______頂點。

2.在集合論中，如果A是B的_______，那么B是A的_______。

3.在邏輯學(xué)中，命題“所有的人都會死亡”的逆命題是“如果_______，那么_______”。

4.在離散數(shù)學(xué)中，一個有窮集合的_______表示該集合中元素的數(shù)量。

5.在組合數(shù)學(xué)中，從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)C(n,k)可以通過公式_______來計算。

四、簡答題

1.簡述圖論中圖的鄰接矩陣和鄰接表的區(qū)別及其在圖處理中的適用場景。

2.解釋集合論中冪集的概念，并舉例說明冪集在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

3.闡述邏輯學(xué)中的條件命題及其真值表，并說明如何判斷一個條件命題的真假。

4.簡化并解釋組合數(shù)學(xué)中的排列組合問題，并舉例說明其應(yīng)用。

5.描述離散數(shù)學(xué)中算法的概念，并說明算法設(shè)計中的關(guān)鍵要素。

五、計算題

1.計算從5個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)C(5,3)。

2.設(shè)圖G的鄰接矩陣如下，計算頂點1到頂點4的最短路徑長度（使用迪杰斯特拉算法）。

```

12345

101000

200110

300001

400000

500000

```

3.給定一個集合A={1,2,3,4,5}，求集合A的所有非空子集的個數(shù)。

4.使用二分查找算法，在以下有序數(shù)組中查找元素5。

```

[1,2,4,5,6,7,8,9,10]

```

5.設(shè)有一個遞歸函數(shù)f(n)定義為：f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)+2^n，對于n≥2。計算f(5)的值。

六、案例分析題

1.案例背景：

假設(shè)你正在為一個電子商務(wù)平臺設(shè)計一個推薦系統(tǒng)，該系統(tǒng)需要根據(jù)用戶的歷史購買記錄和瀏覽行為來推薦商品。用戶數(shù)據(jù)包括用戶ID、購買的商品列表和瀏覽過的商品列表。

案例分析：

（1）請描述如何使用集合論中的概念來表示用戶的歷史購買記錄和瀏覽行為。

（2）如何利用圖論中的概念來建模用戶之間的關(guān)聯(lián)，以及商品之間的關(guān)聯(lián)。

（3）簡述如何結(jié)合用戶的歷史數(shù)據(jù)，利用組合數(shù)學(xué)中的原理來優(yōu)化推薦算法。

2.案例背景：

在一個社交網(wǎng)絡(luò)平臺上，用戶可以通過發(fā)送消息來建立聯(lián)系。平臺希望設(shè)計一個算法來識別和阻止垃圾消息的傳播。

案例分析：

（1）請解釋如何使用圖論中的概念來表示用戶之間的消息傳遞網(wǎng)絡(luò)。

（2）如何利用集合論中的概念來識別消息的發(fā)送者和接收者。

（3）簡述如何結(jié)合算法設(shè)計中的邏輯和數(shù)據(jù)分析技術(shù)來檢測和阻止垃圾消息。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：

假設(shè)你正在設(shè)計一個密碼生成器，要求生成的密碼必須包含至少一個大寫字母、一個小寫字母、一個數(shù)字和一個特殊字符。請設(shè)計一個算法，使用戶輸入一個任意的字符串（例如用戶名），然后基于這個字符串生成一個符合上述要求的密碼。

2.應(yīng)用題：

某公司的項目管理系統(tǒng)使用圖來表示項目之間的依賴關(guān)系。圖中的頂點代表項目，邊代表項目之間的依賴?，F(xiàn)在，你需要編寫一個算法來檢測圖中是否存在環(huán)（即循環(huán)依賴），如果存在，請指出所有形成環(huán)的項目。

3.應(yīng)用題：

一個圖書館需要根據(jù)讀者的借閱記錄來優(yōu)化書架的布局。圖書館有一個包含書籍ID和讀者ID的二維數(shù)組，其中每一行代表一次借閱事件。編寫一個算法，找出所有被同一讀者借閱超過兩次的書籍，并輸出這些書籍的ID列表。

4.應(yīng)用題：

一個在線教育平臺提供了多種課程，每個課程都有一定的學(xué)分。學(xué)生需要完成一定數(shù)量的學(xué)分才能畢業(yè)。編寫一個算法，根據(jù)學(xué)生選課的情況（課程ID和學(xué)分），計算每個學(xué)生的總學(xué)分，并輸出一個學(xué)生ID和對應(yīng)總學(xué)分的列表。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.C

2.C

3.B

4.D

5.B

6.B

7.C

8.B

9.C

10.D

二、判斷題答案：

1.√

2.×

3.×

4.√

5.√

三、填空題答案：

1.鄰接

2.子集，超集

3.所有的人，都會死亡

4.卡迪納爾

5.n!/(k!(n-k)!)

四、簡答題答案：

1.鄰接矩陣是一個二維數(shù)組，其中第i行第j列的元素表示頂點i和頂點j之間是否有邊相連。鄰接表是一個列表，其中每個列表元素包含一個頂點和該頂點相連的所有頂點列表。鄰接矩陣適用于稀疏圖，而鄰接表適用于稠密圖。

2.冪集是一個集合，包含原集合的所有子集，包括空集和原集合本身。冪集在數(shù)學(xué)中用于討論集合的包含關(guān)系和集合的基數(shù)。

3.條件命題的形式為“如果P，則Q”，其真值表如下：

P|Q|P→Q

--|---|-----

T|T|T

T|F|F

F|T|T

F|F|T

4.排列組合問題涉及從一組元素中選取元素的不同方式。排列是指按照一定順序選取元素，組合是指不考慮順序選取元素。例如，從5個不同的數(shù)字中選取3個數(shù)字進行排列，有5*4*3種排列方式。

5.算法是一系列解決問題的步驟。算法設(shè)計中的關(guān)鍵要素包括算法的正確性、效率、可讀性和健壯性。

五、計算題答案：

1.C(5,3)=5!/(3!(5-3)!)=(5×4×3)/(3×2×1)=10

2.使用迪杰斯特拉算法，頂點1到頂點4的最短路徑長度為5。

3.集合A的所有非空子集的個數(shù)為2^5-1=31。

4.使用二分查找算法，元素5在數(shù)組中的位置為5。

5.f(5)=f(4)+f(3)+2^5=(f(3)+f(2)+2^4)+(f(2)+f(1)+2^3)+32=(2^3+2^2+2^4)+(2^2+2^1+2^3)+32=80

六、案例分析題答案：

1.（1）使用集合論中的概念，用戶的歷史購買記錄可以表示為集合A，其中包含用戶購買的書籍ID。瀏覽行為可以表示為集合B，其中包含用戶瀏覽過的書籍ID。

（2）使用圖論中的概念，可以構(gòu)建一個有向圖，其中頂點代表用戶，邊代表用戶之間的消息傳遞。

（3）結(jié)合用戶的歷史數(shù)據(jù)，可以使用組合數(shù)學(xué)中的原理來計算每個用戶的潛在興趣，并根據(jù)這些興趣推薦商品。

2.（1）使用圖論中的概念，可以構(gòu)建一個有向圖，其中頂點代表消息，邊代表消息的發(fā)送者和接收者。

（2）使用集合論中的概念，可以識別消息的發(fā)送者和接收者，并將它們添加到圖中。

（3）結(jié)合算法設(shè)計中的邏輯和數(shù)據(jù)分析技術(shù)，可以使用圖論中的算法來檢測圖中是否存在環(huán)，并標(biāo)記出形成環(huán)的消息。

七、應(yīng)用題答案：

1.算法步驟：

a.獲取用戶輸入的字符串。

b.隨機選擇一個字符作為密碼的開頭，確保它是大寫字母、小寫字母、數(shù)字或特殊字符之一。

c.對剩余的密碼長度進行循環(huán)，每次循環(huán)隨機選擇一個大寫字母、小寫字母、數(shù)字或特殊字符，并添加到密碼字符串中。

d.如果密碼長度大于等于4，則返回生成的密碼；否則，回到步驟b。

2.算法步驟：

a.初始化一個空圖。

b.對于每個項目，將其添加到圖中作為頂點。

c.對于每個項目，檢查其依賴關(guān)系，如果存在依賴，則在圖中添加相應(yīng)的有向邊。

d.使用拓?fù)渑判蛩惴z查圖中是否存在環(huán)。

3.算法步驟：

a.初始化一個空字典，用于存儲每個書籍ID的借閱次數(shù)。

b.遍歷二維數(shù)組，對于每個借閱事件，增加相應(yīng)書籍ID的借閱次數(shù)。

c.遍歷字典，輸出借閱次數(shù)超過兩次的書籍ID列表。

4.算法步驟：

a.初始化一個空字典，用于存儲每個學(xué)生ID和對應(yīng)的總學(xué)分。

b.遍歷學(xué)生選課數(shù)據(jù)，對于每個學(xué)生，將其選課的學(xué)分累加到字典中對應(yīng)的學(xué)生ID下。

c.遍歷字典，輸出每個學(xué)生ID和對應(yīng)的總學(xué)分列表。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識點總結(jié)：

-集合論：集合、子集、超集、冪集、集合的基數(shù)。

-圖論：頂點、邊、連通圖、路徑、最短路徑、環(huán)。

-邏輯學(xué)：命題、邏輯連接詞、真值表、條件命題。

-組合數(shù)學(xué)：排列、組合、排列組合問題、算法設(shè)計。

-算法設(shè)計：算法、正確性、效率、可讀性、健壯性。

各題型考察的學(xué)生知識點詳解及示例：

-選擇題：考察學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和記憶，例如集合論中的概念、圖論中的術(shù)語。

-判斷題：考察學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和判斷能力，例如邏輯學(xué)中的命題真假