高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列的概念及簡單表示》專項測試卷帶答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列的概念及簡單表示》專項測試卷帶答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．在數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是這個數(shù)列的()A．第16項 B．第24項C．第26項 D．第28項2．(2024·黑龍江牡丹江月考)在數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝eq\f(1,8)，則a7＝()A.eq\f(1,27)B.eq\f(1,47)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,8)3．觀察下列各圖，并閱讀圖形下面的文字．像這樣，10條直線相交，交點的個數(shù)最多是()…A．40 B．45C．50 D．554．(2024·河北衡水模擬)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，則an＝()A．22n－1 B．2n－1C．4n－1 D．2n5．(2024·山西太原模擬)已知數(shù)列{an}滿足a2＝2a1＝1，且an＋1an－1＝an(n≥2)，則eq\f(a2020,2020)＝()A.eq\f(1,4040)B.eq\f(1,2020)C.eq\f(1,1010)D.eq\f(1,505)6．觀察后面的算式：1?1,1?2,2?1,1?3，2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，則式子3?5是第()A．22項 B．23項C．24項 D．25項7．(2024·四川成都聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}中的a3，a2017是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，則logeq\f(1,4)a1010的值為()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)二、多項選擇題8．“克拉茨猜想”又稱“3n＋1猜想”，是德國數(shù)學(xué)家洛薩·克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3加1，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數(shù)m經(jīng)過6次運算后得到1，則m的值可以為()A．10 B．32C．64 D．969．(2024·山東濰坊模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－2，n<4，,6－an－a，n≥4，))若對任意的n∈N*都有an<an＋1成立，則整數(shù)a的值可以為()A．1 B．2C．3 D．4三、填空題與解答題10．(2024·河北保定模擬)若數(shù)列{an}滿足eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，n∈N*，則an＝________.11．已知數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)an，則eq\f(an,an－1)的最大值為________．12．(2024·河北衡水武邑中學(xué)模擬)我們稱一個數(shù)列是“有趣數(shù)列”，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列滿足以下兩個條件：①所有的奇數(shù)項滿足a2n－1<a2n＋1，所有的偶數(shù)項滿足a2n<a2n＋2；②任意相鄰的兩項a2n－1，a2n滿足a2n－1<a2n.根據(jù)上面的信息完成下面的問題：(1)數(shù)列1,2,3,4,5,6________“有趣數(shù)列”(填“是”或“不是”)；(2)若an＝n＋(－1)neq\f(2,n)，則數(shù)列{an}________“有趣數(shù)列”(填“是”或“不是”)．13．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1這兩個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并解答．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{an}滿足________．(1)求a2，a3；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．高分推薦題14．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，記bn＝eq\f(an,n2)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，則T2025＝________.解析版一、單項選擇題1．在數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是這個數(shù)列的()A．第16項 B．第24項C．第26項 D．第28項解析：設(shè)題中數(shù)列為{an}，則a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26.故選C.答案：C2．(2024·黑龍江牡丹江月考)在數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝eq\f(1,8)，則a7＝()A.eq\f(1,27)B.eq\f(1,47)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,8)解析：因為am＋n＝am＋an，a1＝eq\f(1,8)，所以a2＝2a1＝eq\f(1,4)，a4＝2a2＝eq\f(1,2)，a3＝a1＋a2＝eq\f(3,8)，a7＝a3＋a4＝eq\f(7,8).故選D.答案：D3．觀察下列各圖，并閱讀圖形下面的文字．像這樣，10條直線相交，交點的個數(shù)最多是()…A．40 B．45C．50 D．55解析：方法一：最多交點個數(shù)的規(guī)律是1,1＋2,1＋2＋3，…，1＋2＋3＋…＋n，….∴10條直線交點個數(shù)最多是1＋2＋…＋9＝45.方法二：設(shè)n條相交直線的交點個數(shù)最多為an(n≥2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a2＝2，,a4－a3＝3，,…,a10－a9＝9.))累加得a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.答案：B4．(2024·河北衡水模擬)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，則an＝()A．22n－1 B．2n－1C．4n－1 D．2n解析：因為數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，所以log2an＋1＝2log2an?eq\f(log2an＋1,log2an)＝2，所以{log2an}是公比為2的等比數(shù)列，所以log2an＝2n－1log2a1?an＝22n－1.答案：A5．(2024·山西太原模擬)已知數(shù)列{an}滿足a2＝2a1＝1，且an＋1an－1＝an(n≥2)，則eq\f(a2020,2020)＝()A.eq\f(1,4040)B.eq\f(1,2020)C.eq\f(1,1010)D.eq\f(1,505)解析：由an＋1an－1＝an(n≥2)，得an＋6＝eq\f(an＋5,an＋4)＝eq\f(1,an＋3)，eq\f(1,an＋3)＝eq\f(an＋1,an＋2)＝an，所以an＋6＝an，則數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，因為a2＝2a1＝1，所以a3＝2，a4＝2，所以a2020＝a336×6＋4＝a4＝2，所以eq\f(a2020,2020)＝eq\f(1,1010).答案：C6．觀察后面的算式：1?1,1?2,2?1,1?3，2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，則式子3?5是第()A．22項 B．23項C．24項 D．25項解析：兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3?5是和為8的第3項，所以是第24項，故選C.答案：C7．(2024·四川成都聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}中的a3，a2017是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，則logeq\f(1,4)a1010的值為()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)解析：由題易得f′(x)＝3x2－12x＋4，因為a3，a2017是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，所以a3，a2017是方程3x2－12x＋4＝0的兩個不等實數(shù)根，所以a3＋a2017＝4.又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a3＋a2017＝2a1010，即a1010＝2，從而logeq\s\do8(\f(1,4))a1010＝logeq\s\do8(\f(1,4))2＝－eq\f(1,2)，故選B.答案：B二、多項選擇題8．“克拉茨猜想”又稱“3n＋1猜想”，是德國數(shù)學(xué)家洛薩·克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3加1，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數(shù)m經(jīng)過6次運算后得到1，則m的值可以為()A．10 B．32C．64 D．96解析：如果正整數(shù)m按照上述規(guī)則經(jīng)過6次運算得到1，則經(jīng)過5次運算后得到的一定是2，經(jīng)過4次運算后得到的一定是4，經(jīng)過3次運算后得到的為8或1(不合題意)，經(jīng)過2次運算后得到的一定是16.經(jīng)過1次運算后得到的是5或32.所以開始時的數(shù)為10或64.所以正整數(shù)m的值為10或64.故選AC.答案：AC9．(2024·山東濰坊模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－2，n<4，,6－an－a，n≥4，))若對任意的n∈N*都有an<an＋1成立，則整數(shù)a的值可以為()A．1 B．2C．3 D．4解析：因為對任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,6－a>0，,a<6－a×4－a，))解得1<a<4.故選BC.答案：BC三、填空題與解答題10．(2024·河北保定模擬)若數(shù)列{an}滿足eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，n∈N*，則an＝________.解析：當(dāng)n＝1時，eq\f(1,3)a1＝4，∴a1＝12；當(dāng)n≥2時，∵eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，n∈N*，∴eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n－1)an－1＝3(n－1)＋1，兩式相減，得eq\f(1,3n)an＝3，∴an＝3n＋1(n≥2)．∵a1＝12不滿足上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2))11．已知數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)an，則eq\f(an,an－1)的最大值為________．解析：∵Sn＝eq\f(n＋2,3)an，∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，可化為eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)＝1＋eq\f(2,n－1)，由函數(shù)y＝eq\f(2,x－1)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，可得當(dāng)n＝2時，eq\f(2,n－1)取得最大值2.∴eq\f(an,an－1)的最大值為3.答案：312．(2024·河北衡水武邑中學(xué)模擬)我們稱一個數(shù)列是“有趣數(shù)列”，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列滿足以下兩個條件：①所有的奇數(shù)項滿足a2n－1<a2n＋1，所有的偶數(shù)項滿足a2n<a2n＋2；②任意相鄰的兩項a2n－1，a2n滿足a2n－1<a2n.根據(jù)上面的信息完成下面的問題：(1)數(shù)列1,2,3,4,5,6________“有趣數(shù)列”(填“是”或“不是”)；(2)若an＝n＋(－1)neq\f(2,n)，則數(shù)列{an}________“有趣數(shù)列”(填“是”或“不是”)．解析：(1)若數(shù)列為1,2,3,4,5,6，則該數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足“有趣數(shù)列”的定義，故數(shù)列1,2,3,4,5,6是“有趣數(shù)列”．(2)若an＝n＋(－1)neq\f(2,n)，則a2n－1＝2n－1－eq\f(2,2n－1)，a2n＋1＝2n＋1－eq\f(2,2n＋1)，a2n＝2n＋eq\f(2,2n)，a2n＋2＝2n＋2＋eq\f(2,2n＋2).所以a2n－1－a2n＋1＝－2－eq\f(2,2n－1)＋eq\f(2,2n＋1)＝－2－eq\f(4,4n2－1)<0，故a2n－1<a2n＋1.又a2n－a2n＋2＝－2＋eq\f(4,2n2n＋2)＝－2＋eq\f(1,nn＋1)≤－2＋eq\f(1,2)<0，故a2n<a2n＋2.因為a2n－1－a2n＝2n－1－eq\f(2,2n－1)－2n－eq\f(2,2n)＝－1－eq\f(2,2n－1)－eq\f(2,2n)<0，故a2n－1<a2n.綜上，數(shù)列{an}是“有趣數(shù)列”．答案：(1)是(2)是13．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1這兩個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并解答．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{an}滿足________．(1)求a2，a3；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：(1)選擇①：a2－2a1＝1×2，則a2＝4.2a3－3a2＝2×3，則a3＝9.選擇②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.(2)選擇①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，得eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以eq\f(an,n)＝eq\f(an,n)－eq\f(an－1,n－1)＋eq\f(an－1,n－1)－eq\f(an－2,n－2)＋…＋eq\f(a2,2)－a1＋a1＝n－1＋1＝n，所以an＝n2.選擇②：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1，不符合上式，故{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(