高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正、余弦定理的應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷含答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正、余弦定理的應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷含答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單項(xiàng)選擇題1．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A．30° B．45°C．60° D．75°2．岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一．其地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局．因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世．自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，則岳陽(yáng)樓的高度CD約為(eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)()A．18米 B．19米C．20米 D．21米3.第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”于2021年7月25日登陸舟山普陀區(qū)．如圖，A點(diǎn)正北方向的C市受到臺(tái)風(fēng)侵襲，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)前去實(shí)施救援，以24nmile/h的速度向正北航行，在A處看到S島在船的北偏東15°方向上，船航行eq\f(3,4)h后到達(dá)B處，在B處看到S島在船的北偏東45°方向上．此船從A點(diǎn)到C市航行過(guò)程中距離S島的最近距離為()A．9eq\r(2)nmile B．9(eq\r(2)－1)nmileC．9(eq\r(3)－1)nmile D．9(eq\r(3)－eq\r(2))nmile4．(2024·陜西咸陽(yáng)模擬)我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))，其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．若eq\f(1－\r(3)cosB,\r(3)sinB)＝eq\f(1,tanC)，b＝2，則△ABC面積S的最大值為()A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(2)5．小李在某大學(xué)測(cè)繪專業(yè)學(xué)習(xí)，節(jié)日回家，來(lái)到村頭的一個(gè)池塘(如圖陰影部分)，為了測(cè)量該池塘兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測(cè)點(diǎn)C，D外，他又選了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)P1，P2，且P1P2＝a，已經(jīng)測(cè)得兩個(gè)角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于條件不足，需要再觀測(cè)新的角，則利用已知觀測(cè)數(shù)據(jù)和下面三組新觀測(cè)的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的是()①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.A．①② B．①③C．②③ D．①②③6．(2024·四川綿陽(yáng)模擬)《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩(shī)書．”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，音域?qū)拸V、音色柔美清澈，表現(xiàn)力強(qiáng)．如圖是箜篌的一種常見(jiàn)的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A，B處分別作切線相交于點(diǎn)C，測(cè)得切線AC＝99.9cm，BC＝100.2cm，AB＝180cm，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為()A．0.62 B．0.56C．－0.56 D．－0.627．(2024·福建福州模擬)我國(guó)無(wú)人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面A處垂直上升的無(wú)人機(jī)P，對(duì)地面B，C兩受災(zāi)點(diǎn)的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝eq\f(1,3).已知地面上三處受災(zāi)點(diǎn)B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，則無(wú)人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測(cè)距離PD的長(zhǎng)度是()A．eq\r(2)km B．2kmC．eq\r(3)km D．4km二、多項(xiàng)選擇題8．(2024·重慶質(zhì)檢)某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好eq\r(,3)km，那么x的值可以是()A．eq\r(,3) B．2eq\r(,3)C．3 D．69．(2024·江蘇徐州模擬)如圖，某校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C，D(B，C，D不在同一條直線上)，測(cè)得CD＝s.測(cè)繪興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC三、填空題與解答題10．魏晉南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)在測(cè)量學(xué)取得了長(zhǎng)足進(jìn)展．劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國(guó)傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，通過(guò)多次觀測(cè)，測(cè)量山高谷深等數(shù)值，進(jìn)而使中國(guó)的測(cè)量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步．關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測(cè)量海島的高和遠(yuǎn)的問(wèn)題，故將《重差》更名為《海島算經(jīng)》．受此啟發(fā)，小明同學(xué)依照此法測(cè)量涇陽(yáng)縣崇文塔的高度(示意圖如圖所示)，測(cè)得以下數(shù)據(jù)(單位：米)：前表卻行DG＝1，表高CD＝EF＝2，后表卻行FH＝3，表間DF＝85.則塔高AB＝________米．11．(2024·江西南昌模擬)某高一學(xué)習(xí)小組為測(cè)出一綠化區(qū)域的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，最后將此綠化區(qū)域近似地看成如圖所示的四邊形，測(cè)得的數(shù)據(jù)如圖所示，AB＝2km，BC＝1km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，則該綠化區(qū)域的面積是________km2.(結(jié)果保留根號(hào))12．(2024·廣西南寧模擬)2022年4月16日，搭載著3名航天員的神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十三號(hào)載人飛行艙任務(wù)取得圓滿成功．假設(shè)返回艙D垂直下落于點(diǎn)C，某時(shí)刻地面上A，B觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)D的仰角分別為45°，75°，若A，B間距離為10千米(其中向量eq\o(CA,\s\up15(→))與eq\o(CB,\s\up15(→))同向)，試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離CD約為_(kāi)_______千米．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)13．在①a(sinA－sinC)＝(b－c)(sinB＋sinC)，②2bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,3)))＝a＋c，③向量m＝(1＋cosB，eq\r(3)sinC)與n＝(－c，b)，且m⊥n這三個(gè)條件中選一個(gè)填在下面試題的橫線上，并解答．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且________．(1)求角B的大??；(2)若△ABC是鈍角三角形，且b＝eq\r(3)，求a＋c的取值范圍．14．(2024·上海徐匯區(qū)模擬)如圖，某快遞小哥從A地出發(fā)，沿小路AB→BC送快件到C處，平均速度為20公里/時(shí)，已知BD＝10公里，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°.(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)(1)試問(wèn)快遞小哥能否在50分鐘內(nèi)將快件送到C處？(2)快遞小哥出發(fā)15分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問(wèn)題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路AD→DC追趕，若汽車平均速度為60公里/時(shí)，問(wèn)汽車能否先到達(dá)C處？高分推薦題15．拿破侖·波拿巴，十九世紀(jì)法國(guó)偉大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”，如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其中心依次為D，E，F(xiàn)，若DF＝2eq\r(3)，則eq\f(AB,AD)＝________，AB＋AC的最大值為_(kāi)_______．參考答案一、單項(xiàng)選擇題1．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：由已知，得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案：B2．岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一．其地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局．因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世．自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，則岳陽(yáng)樓的高度CD約為(eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)()A．18米 B．19米C．20米 D．21米解析：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，則AC＝eq\r(3)CD，在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，則BC＝CD，由AC－BC＝AB得eq\r(3)CD－CD＝14?CD＝eq\f(14,\r(3)－1)＝7(eq\r(3)＋1)≈19.124≈19(米)，CD約為19米．答案：B3.第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”于2021年7月25日登陸舟山普陀區(qū)．如圖，A點(diǎn)正北方向的C市受到臺(tái)風(fēng)侵襲，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)前去實(shí)施救援，以24nmile/h的速度向正北航行，在A處看到S島在船的北偏東15°方向上，船航行eq\f(3,4)h后到達(dá)B處，在B處看到S島在船的北偏東45°方向上．此船從A點(diǎn)到C市航行過(guò)程中距離S島的最近距離為()A．9eq\r(2)nmile B．9(eq\r(2)－1)nmileC．9(eq\r(3)－1)nmile D．9(eq\r(3)－eq\r(2))nmile解析：如圖，作SE⊥AB，在△ASB中，∠ABS＝135°，AB＝24×eq\f(3,4)＝18(nmile)，∠SAB＝15°，∠ASB＝180°－∠ABS－∠SAB＝30°，由正弦定理得eq\f(SA,sin∠ABS)＝eq\f(AB,sin∠ASB)，所以AS＝eq\f(ABsin135°,sin30°)＝18eq\r(2)(nmile)．所以船與S島的最近距離SE＝SA·sin∠SAB＝18eq\r(2)sin15°＝18eq\r(2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝9(eq\r(3)－1)(nmile)．答案：C4．(2024·陜西咸陽(yáng)模擬)我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))，其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．若eq\f(1－\r(3)cosB,\r(3)sinB)＝eq\f(1,tanC)，b＝2，則△ABC面積S的最大值為()A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(2)解析：因?yàn)閑q\f(1－\r(3)cosB,\r(3)sinB)＝eq\f(1,tanC)，所以tanC＝eq\f(\r(3)sinB,1－\r(3)cosB)，又tanC＝eq\f(sinC,cosC)，所以eq\f(\r(3)sinB,1－\r(3)cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，所以eq\r(3)sinBcosC＝sinC(1－eq\r(3)cosB)，所以eq\r(3)sinBcosC＝sinC－eq\r(3)sinCcosB，所以sinC＝eq\r(3)(sinBcosC＋cosBsinC)＝eq\r(3)sin(B＋C)＝eq\r(3)sinA，由正弦定理得c＝eq\r(3)a，因?yàn)閎＝2，所以△ABC的面積S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))＝eq\r(\f(1,4)[3a4－2a2－22])＝eq\r(\f(1,4)－a4＋8a2－4)，將a2看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)a2＝4即a＝2時(shí)，△ABC的面積S有最大值，最大值為eq\r(3).答案：A5．小李在某大學(xué)測(cè)繪專業(yè)學(xué)習(xí)，節(jié)日回家，來(lái)到村頭的一個(gè)池塘(如圖陰影部分)，為了測(cè)量該池塘兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測(cè)點(diǎn)C，D外，他又選了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)P1，P2，且P1P2＝a，已經(jīng)測(cè)得兩個(gè)角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于條件不足，需要再觀測(cè)新的角，則利用已知觀測(cè)數(shù)據(jù)和下面三組新觀測(cè)的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的是()①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析：根據(jù)題意，由正弦定理可以求出△P1P2D的三個(gè)角和三個(gè)邊，選①，在△DCP1中，eq\f(CD,sin∠DP1C)＝eq\f(DP1,sin∠DCP1)，故CD＝eq\f(DP1sin∠DP1C,sin∠DCP1)，故①可以求出CD；③與①條件等價(jià)．選②，在△P1P2C中，eq\f(P1P2,sin∠P1CP2)＝eq\f(P1C,sin∠P1P2C)，故P1C＝eq\f(asin∠P1P2C,sin∠P1CP2)，在△P1CD中，利用余弦定理求解CD即可．答案：D6．(2024·四川綿陽(yáng)模擬)《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩(shī)書．”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，音域?qū)拸V、音色柔美清澈，表現(xiàn)力強(qiáng)．如圖是箜篌的一種常見(jiàn)的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A，B處分別作切線相交于點(diǎn)C，測(cè)得切線AC＝99.9cm，BC＝100.2cm，AB＝180cm，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為()A．0.62 B．0.56C．－0.56 D．－0.62解析：由題意，∠OAC＝∠OBC＝90°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，切線AC＝99.9cm，BC＝100.2cm，由切線長(zhǎng)定理，不妨取AC＝BC＝100cm，又AB＝180cm，由余弦定理，有cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(1002＋1002－1802,2×100×100)＝－0.62，cos∠AOB＝cos(180°－∠ACB)＝－cos∠ACB＝0.62.故選A．答案：A7．(2024·福建福州模擬)我國(guó)無(wú)人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面A處垂直上升的無(wú)人機(jī)P，對(duì)地面B，C兩受災(zāi)點(diǎn)的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝eq\f(1,3).已知地面上三處受災(zāi)點(diǎn)B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，則無(wú)人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測(cè)距離PD的長(zhǎng)度是()A．eq\r(2)km B．2kmC．eq\r(3)km D．4km解析：方法一：由題意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD．設(shè)PD＝xkm，記∠PBD＝α，∠PCD＝β，∴tanα＝eq\f(x,2)，tanβ＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝eq\f(x－\f(x,2),1＋x·\f(x,2))＝eq\f(x,x2＋2)＝eq\f(1,3)，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.方法二：由題意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD．設(shè)PA＝xkm，則PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝eq\f(1,3)，可得cos∠BPC＝eq\f(3\r(10),10)，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2eq\r(x2＋5)·eq\r(x2＋2)·eq\f(3\r(10),10)，解得x2＝3，進(jìn)而PD＝eq\r(x2＋1)＝2(km)．答案：B二、多項(xiàng)選擇題8．(2024·重慶質(zhì)檢)某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好eq\r(,3)km，那么x的值可以是()A．eq\r(,3) B．2eq\r(,3)C．3 D．6解析：如圖，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(,3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得AC2＝x2＋32－2x×3cos30°＝3，整理得x2－3eq\r(,3)x＋6＝0，即x＝2eq\r(,3)或eq\r(3).故選AB．答案：AB9．(2024·江蘇徐州模擬)如圖，某校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C，D(B，C，D不在同一條直線上)，測(cè)得CD＝s.測(cè)繪興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解析：對(duì)于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形內(nèi)角和為180°可求得∠CBD＝π－∠BDC－∠BCD，利用正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)即可求AB；對(duì)于B，在△BCD中，已知一邊CD，一角∠BCD，無(wú)法求解三角形，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，無(wú)法求解三角形，在△ACD中，已知一邊CD，一角∠ACD，無(wú)法求解三角形；對(duì)于C，在△ACD中，已知一邊CD，兩角∠ACD，∠ADC，由三角形內(nèi)角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知兩角∠ACB，∠ABC＝90°，一邊AC，利用sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)，可求得AB；對(duì)于D，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，邊CD，AB表示的AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AC表示BC，利用余弦定理可建立關(guān)于AB的方程，即可求出AB．故選ACD．答案：ACD三、填空題與解答題10．魏晉南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)在測(cè)量學(xué)取得了長(zhǎng)足進(jìn)展．劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國(guó)傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，通過(guò)多次觀測(cè)，測(cè)量山高谷深等數(shù)值，進(jìn)而使中國(guó)的測(cè)量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步．關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測(cè)量海島的高和遠(yuǎn)的問(wèn)題，故將《重差》更名為《海島算經(jīng)》．受此啟發(fā)，小明同學(xué)依照此法測(cè)量涇陽(yáng)縣崇文塔的高度(示意圖如圖所示)，測(cè)得以下數(shù)據(jù)(單位：米)：前表卻行DG＝1，表高CD＝EF＝2，后表卻行FH＝3，表間DF＝85.則塔高AB＝________米．解析：由題意可知，△EFH∽△ABH，△CDG∽△ABG，所以eq\f(EF,AB)＝eq\f(FH,BH)，eq\f(CD,AB)＝eq\f(DG,BG)，又EF＝CD＝2，DG＝1，F(xiàn)H＝3，DF＝85，所以eq\f(2,AB)＝eq\f(3,BD＋88)，eq\f(2,AB)＝eq\f(1,BD＋1)，則eq\f(3,BD＋88)＝eq\f(1,BD＋1)，解得BD＝eq\f(85,2)，所以AB＝2BD＋2＝87.答案：8711．(2024·江西南昌模擬)某高一學(xué)習(xí)小組為測(cè)出一綠化區(qū)域的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，最后將此綠化區(qū)域近似地看成如圖所示的四邊形，測(cè)得的數(shù)據(jù)如圖所示，AB＝2km，BC＝1km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，則該綠化區(qū)域的面積是________km2.(結(jié)果保留根號(hào))解析：如圖，連接AC，由余弦定理可知AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cosB)＝eq\r(3)(km)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°.由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(AD,sin∠DCA)，即AD＝eq\f(AC×sin∠DCA,sin∠ADC)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq\f(3\r(2)－\r(6),2)(km)，故S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)－\r(6),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(6－\r(3),4)(km2)．答案：eq\f(6－\r(3),4)12．(2024·廣西南寧模擬)2022年4月16日，搭載著3名航天員的神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十三號(hào)載人飛行艙任務(wù)取得圓滿成功．假設(shè)返回艙D垂直下落于點(diǎn)C，某時(shí)刻地面上A，B觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)D的仰角分別為45°，75°，若A，B間距離為10千米(其中向量eq\o(CA,\s\up15(→))與eq\o(CB,\s\up15(→))同向)，試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離CD約為_(kāi)_______千米．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)解析：在△ADC中，A＝45°，∠ABD＝180°－75°＝105°，∠ADB＝30°，由正弦定理得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(AD,sin105°)，則AD＝20sin105°＝20sin(60°＋45°)＝20(sin60°cos45°＋cos60°sin45°)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))(千米)，所以CD＝AD×eq\f(\r(2),2)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝5eq\r(3)＋5≈14(千米)．答案：1413．在①a(sinA－sinC)＝(b－c)(sinB＋sinC)，②2bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,3)))＝a＋c，③向量m＝(1＋cosB，eq\r(3)sinC)與n＝(－c，b)，且m⊥n這三個(gè)條件中選一個(gè)填在下面試題的橫線上，并解答．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且________．(1)求角B的大?。?2)若△ABC是鈍角三角形，且b＝eq\r(3)，求a＋c的取值范圍．解：(1)若選條件①，根據(jù)正弦定理得a(a－c)＝(b＋c)(b－c)，則a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理可得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，又B∈(0，π)，則B＝eq\f(π,3).若選條件②，由正弦定理得，2sinB·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosC＋\f(\r(3),2)sinC))＝sinA＋sinC，則sinBcosC＋eq\r(3)sinBsinC＝sin(B＋C)＋sinC，化簡(jiǎn)得eq\r(3)sinBsinC＝sinCcosB＋sinC，因?yàn)镃∈(0，π)，所以sinC≠0，于是eq\r(3)sinB－cosB＝1，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，結(jié)合B∈(0，π)，可得B＝eq\f(π,3).若選條件③，由m⊥n，則m·n＝0＝－c(1＋cosB)＋eq\r(3)bsinC，由正弦定理得，－sinC(1＋cosB)＋eq\r(3)sinBsinC＝0，因?yàn)镃∈(0，π)，則sinC≠0，于是eq\r(3)sinB－cosB＝1，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，結(jié)合B∈(0，π)，可得B＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理得，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))，得a＝2sinA，c＝2sinC，又△ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)A是鈍角，又A＋C＝eq\f(2π,3)，于是eq\f(π,2)<A<eq\f(2π,3)，則有eq\f(2π,3)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，于是a＋c＝2sinA＋2sinC＝2sinA＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝3sinA＋eq\r(3)cosA＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))∈(eq\r(3)，3)，即a＋c∈(eq\r(3)，3)．14．(2024·上海徐匯區(qū)模擬)如圖，某快遞小哥從A地出發(fā)，沿小路AB→BC送快件到C處，平均速度為20公里/時(shí)，已知BD＝10公里，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°.(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)(1)試問(wèn)快遞小哥能否在50分鐘內(nèi)將快件送到C處？(2)快遞小哥出發(fā)15分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問(wèn)題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路AD→DC追趕，若汽車平均速度為60公里/時(shí)，問(wèn)