高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正、余弦定理的應(yīng)用舉例》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正、余弦定理的應(yīng)用舉例》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點會運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．解三角形應(yīng)用舉例中的基本概念1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．圖1圖22．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點B的方位角為α(如圖2)．3．方向角相對于某一正方向的水平角(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向(如圖3)；(2)北偏西β，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)β到達目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似．圖3圖44．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)；(2)坡度：坡面的垂直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡度)．坡度又稱為坡比．常/用/結(jié)/論1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)若A，B兩點都在河的對岸(不可到達)，可在A，B兩點的對岸選定一點C作為測量基點，從而求出A，B兩點間的距離．()(2)當(dāng)視線在水平線下方時，視線與水平線所夾的銳角或直角稱為俯角．(√)(3)方位角是從指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角．()(4)東北方向指北偏東45°方向．(√)2．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.則可以計算出A，B兩點的距離為()A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)mC．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m解析：由三角形內(nèi)角和定理，可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?eq\f(AB,\f(\r(2),2))＝eq\f(50,\f(1,2))?AB＝50eq\r(2).答案：D3．如圖，在救災(zāi)現(xiàn)場，搜救人員從A處出發(fā)沿正北方向行進x米到達B處，探測到一個生命跡象，然后從B處沿南偏東75°行進30米到達C處，探測到另一個生命跡象，如果C處恰好在A處的北偏東60°方向上，那么x＝()A．10eq\r(2) B．10eq\r(3)C．10 D．10eq\r(6)解析：依題意，得C＝180°－A－B＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以eq\f(30,\f(\r(3),2))＝eq\f(x,\f(\r(2),2))，解得x＝10eq\r(6).答案：D4．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m.解析：連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，解得OC＝50eq\r(7).則該扇形的半徑為50eq\r(7)m.答案：50eq\r(7)題型有關(guān)距離的測量典例1(1)如圖所示，某旅游景點有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花兩個小時的時間進行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時1250m，請問：兩位登山愛好者能否在兩個小時內(nèi)徒步登上山峰？主要在于計算哪段長度呢？(即從B點出發(fā)到達C點)(2)若本例(1)條件“BD＝1km，AC＝3km”變?yōu)椤癇D＝200m，DC＝300m”，其他條件不變，則這條索道AC的長為________．(1)解：在△ABD中，由題意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1km，因為∠ABD＝120°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，正弦定理解△ABD，其實是頂角為120°的等腰三角形，底邊＝eq\r(3)·腰長，熟記！解得AD＝eq\r(3)km，在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos150°，本例是典型的多個三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，先解△ABD，再解△ACD，兩個三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化．即9＝3＋CD2＋2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝eq\f(\r(33)－3,2)km(負值舍去)，所以BC＝BD＋CD＝eq\f(\r(33)－1,2)(km)，兩個小時小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500(m)，即2.5km，而eq\f(\r(33)－1,2)<eq\f(\r(36)－1,2)＝eq\f(5,2)＝2.5，估算比較大?。詢晌坏巧綈酆谜呖梢栽趦蓚€小時內(nèi)徒步登上山峰．(2)解析：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因為∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以eq\f(200,sin30°)＝eq\f(AD,sin120°)，所以AD＝eq\f(200×sin120°,sin30°)＝200eq\r(3)(m)．先解△ABD求AD．在△ADC中，DC＝300m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC用余弦定理解△ADC求AC．兩個三角形由此及彼的思路.對于多個三角形，常集中條件解其中一個三角形，將此三角形的邊角信息轉(zhuǎn)移至相鄰三角形中．＝(200eq\r(3))2＋3002－2×200eq\r(3)×300×cos150°＝390000，所以AC＝100eq\r(39)m.故這條索道AC的長為100eq\r(39)m.故答案為100eq\r(39)m.距離問題的解題思路這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當(dāng)準確；②選取的三角形及正、余弦定理的運用要恰當(dāng)．對點練1(2024·河北廊坊模擬)如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，eq\r(7)≈2.646)()A．39米 B．43米C．49米 D．53米解析：連接AC(圖略)，在△ACB中，AB＝60米，BC＝60米，∠ABC＝60°，所以AC＝60米．在△CDA中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos60°＝602＋402－2×60×40×eq\f(1,2)＝2800，所以AD＝20eq\r(7)≈53(米)．答案：D題型有關(guān)高度的測量典例2(2024·河北衡水考前模擬)佛宮寺釋迦塔(如圖1所示)建于公元1056年，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”.2016年，釋迦塔被吉尼斯世界紀錄認定為世界最高的木塔．小張為測量釋迦塔AB的高度，設(shè)計了如下方案：在木塔所在地面上取一點M，并垂直豎起一根高度為1m的標(biāo)桿MN，從點N處測得木塔頂端A的仰角為60°，再沿BM方向前進92m到達C點，并垂直豎立一高度為2.5m的標(biāo)桿CD，再沿BC方向前進2m到達點E處，若小張的眼睛F到地面的距離EF＝1.5m，則此時點A，D，F(xiàn)在一條直線上，示意圖如圖2所示．則小張用此法測得的釋迦塔的高度AB約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)()本例精髓是用AB表示出BM，AP的長，根據(jù)對應(yīng)成比例列出方程．圖1圖2A．64.5m B．67.8mC．70.2m D．72.4m解析：如圖，過點N作NQ⊥AB于點Q，過點F作FP⊥AB于點P，交CD于點G，則四邊形BMNQ，BCGP，BEFP都是矩形．所以BQ＝MN＝1m，BM＝QN，BP＝CG＝EF＝1.5m，F(xiàn)G＝CE＝2m，所以DG＝CD－EF＝2.5－1.5＝1(m)．在Rt△AQN中，QN＝eq\f(AQ,tan∠ANQ)＝eq\f(AB－1,tan60°)＝eq\f(AB－1,\r(3))，所以FP＝BM＋MC＋CE＝eq\f(AB－1,\r(3))＋94，由已知得△DFG∽△AFP，所以eq\f(FG,DG)＝eq\f(FP,AP)，這個比例關(guān)系是列方程的基礎(chǔ).本題也體現(xiàn)了方程思想，前邊的計算都是為這個方程的數(shù)量關(guān)系做的準備活動．即eq\f(2,1)＝eq\f(\f(AB－1,\r(3))＋94,AB－1.5)，解得AB＝eq\f(581＋95\r(3),11)≈eq\f(581＋95×1.732,11)≈67.8(m)．故選B．處理高度問題的注意事項(1)在處理有關(guān)高度問題時，正確理解仰角、俯角是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．對點練2(2024·山東青島模擬)如圖1，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設(shè)計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．如圖2，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測得CD的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點共線)．該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h約為()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)圖1圖2A．11米 B．20.8米C．25.4米 D．31.8米解析：由題意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，則∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°，在Rt△ABE中，AE＝eq\f(AB,sin75°)＝eq\f(60,sin75°)，在△ACE中，由正弦定理得eq\f(AE,sin∠ACE)＝eq\f(CE,sin∠CAE)，所以CE＝eq\f(20\r(6),sin75°)，所以CD＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(10\r(6),sin75°)，又sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以CD＝eq\f(40\r(6),\r(6)＋\r(2))＝60－20eq\r(3)≈60－20×1.73＝25.4(米)．答案：C題型有關(guān)角度的測量典例3(2024·廣東佛山模擬)某沿海四個城市A，B，C，D的位置如圖所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝(40＋30eq\r(3))nmile，CD＝250eq\r(6)nmile，D位于A的北偏東75°方向．現(xiàn)在有一艘輪船從城市A出發(fā)以50nmile/h的速度向城市D直線航行，60min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行，設(shè)收到關(guān)鍵在于計算輪船此時的位置．指令時城市C對于輪船的方位角是南偏西θ，則sinθ＝________.解析：設(shè)輪船行駛至F時收到指令，則AF＝50nmile.連接AC，CF，過A作AE⊥BC于E，則AE＝ABsin60°＝40eq\r(3)(nmile)，BE＝ABcos60°＝40(nmile)，CE＝BC－BE＝30eq\r(3)(nmile)，AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝50eq\r(3)(nmile)，所以cos∠ACE＝eq\f(3,5)，sin∠ACE＝eq\f(4,5)，所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),10)＝eq\f(AC,CD)，所以∠CAD＝90°，△ACD中恰好有這樣的數(shù)量關(guān)系cos∠ACD＝eq\f(AC,CD)，才推得AC⊥AD．因為AF＝50nmile，AC＝50eq\r(3)nmile，可得∠AFC＝60°，△AFC為直角三角形，eq\f(AC,AF)＝eq\r(3)，易知∠AFC＝60°.所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sinθ＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).故答案為eq\f(\r(6)－\r(2),4).解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦定理與余弦定理的“聯(lián)袂”使用．對點練3(2024·江蘇南通模擬)圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面．已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻(太陽直射點的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2dm的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為2.98dm，則該地的緯度約為北緯(參考數(shù)據(jù)：tan34°≈0.67，tan56°≈1.48)()圖1圖2A．23°26′ B．32°34′C．34° D．56°解析：如圖所示，由圖1可得tanα＝eq\f(2,2.98)≈0.67，又tan34°≈0.67，所以α≈34°，所以由圖2知∠MAN≈90°－34°＝56°，所以β≈56°－23°26′＝32°34′，所以該地的緯度約為北緯32°34′.答案：B題型結(jié)構(gòu)開放型題典例4在①a(sinA－sinC)＝(b－c)(sinB＋sinC)，②(2a－c)cosB＝eq\f(a2＋b2－c2,2a)，條件①為正弦齊次式，轉(zhuǎn)化為只關(guān)于邊的關(guān)系更方便，此時應(yīng)結(jié)合余弦定理.條件②中cosB也應(yīng)化邊比較好，學(xué)生更容易接受．③sin(B＋C)＝eq\f(a,b)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))這三個條件中選一個，補充在下面問題中，并解答．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且________．(1)求角B的大?。?2)若b＝eq\r(13)，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝eq\f(4\r(3),5)，求△ABC的面積．此三角形有三個條件，如何把角平分線的長度利用好，是關(guān)鍵．解：(1)選擇條件①：根據(jù)正弦定理，可得a(a－c)＝(b－c)(b＋c)，∴a2＋c2－b2＝ac.根據(jù)余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2).∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).選擇條件②：根據(jù)余弦定理，得(2a－c)cosB＝eq\f(a2＋b2－c2,2a)＝eq\f(2abcosC,2a)＝bcosC．這個轉(zhuǎn)化很有新意，把eq\f(a2＋b2－c2,2a)化為邊角關(guān)系．根據(jù)正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC．利用正弦定理化邊為角．整理，得2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，又sinA≠0，可得cosB＝eq\f(1,2).又B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).選擇條件③：∵A＋B＋C＝π，∴由sin(B＋C)＝eq\f(a,b)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinA＝eq\f(a,b)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).分式為邊的齊次式，可以采用邊化角的策略．根據(jù)正弦定理，可得sinA＝eq\f(sinA,sinB)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB．整理，得tanB＝eq\r(3).化切求值．又B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).三個不同的條件，都推得B＝eq\f(π,3).(2)根據(jù)題意，可得S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，可得eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),5)csineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),5)·asineq\f(π,6).由面積關(guān)系，得到ac的第一個方程，把角平分線的長度利用到代數(shù)式中．整理，得a＋c＝eq\f(5,4)ac.根據(jù)余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，余弦定理得到第二個方程．可得13＝a2＋c2－ac，即(a＋c)2－3ac＝13.可得25(ac)2－48ac－208＝0，解得ac＝4或ac＝－eq\f(52,25)(舍去)，故S△AB