高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正態(tài)分布》專項(xiàng)測(cè)試卷含答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正態(tài)分布》專項(xiàng)測(cè)試卷含答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單項(xiàng)選擇題1．為加強(qiáng)體育鍛煉，讓運(yùn)動(dòng)成為習(xí)慣，某學(xué)校進(jìn)行一次體能測(cè)試，這次體能測(cè)試滿分為100分，從高三年級(jí)抽取1000名學(xué)生的測(cè)試結(jié)果，已知測(cè)試結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(70，σ2)．若ξ在(50,70)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在90分以上取值的概率為()A．0.05B．0.1C．0.2D．0.42．(2024·河北邢臺(tái)模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X≤6)＝0.7，那么P(－2≤X≤6)＝()A．0.2 B．0.6C．0.4 D．0.83．(2024·安徽六安模擬)已知某批零件的長(zhǎng)度X(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(100,32)，從中隨機(jī)抽取一件，其長(zhǎng)度恰好落在區(qū)間[103,106]內(nèi)的概率約為()(附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)A．0.0456 B．0.1359C．0.2718 D．0.31744．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(ξ≥2)＝a，P(0<ξ≤1)＝1－3a，則P(ξ≤0)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)5．(2024·山東濰坊模擬)某學(xué)校共1000人參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，考試成績(jī)?chǔ)谓品恼龖B(tài)分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，則估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為()A．25 B．50C．75 D．1006．有5條同樣的生產(chǎn)線，生產(chǎn)的零件尺寸(單位：mm)都服從正態(tài)分布N(20，σ2)，且P(19<X≤21)＝eq\f(2,3).在每條生產(chǎn)線上各取一個(gè)零件，恰好有3個(gè)尺寸在區(qū)間(20,21]的概率為()A．eq\f(64,243)B．eq\f(80,243)C．eq\f(16,81)D．eq\f(40,243)二、多項(xiàng)選擇題7．(2024·云南昆明模擬)已知兩種不同型號(hào)的電子元件(分別記為X，Y)的使用壽命均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是()參考數(shù)據(jù)：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．P(μ1－σ1<X<μ1＋2σ1)≈0.8186B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D．對(duì)于任意的正數(shù)t，有P(X≤t)>P(Y≤t)8．(2024·山東泰安模擬)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)．某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高X(單位：cm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,10\r(,2π))eeq\s\up15(－eq\f(x－1002,200))，x∈(－∞，＋∞)，則下列說(shuō)法正確的是()A．該地水稻的平均株高為100cmB．該地水稻株高的方差為10C．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之間的概率一樣大9．(2024·廣東深圳模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，令g(x)＝P(X≤x)，若x>0，則()A．g(－x)＝1－g(x)B．g(2x)＝2g(x)C．g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)D．P(|X|≤x)＝2g(x)－110．(2024·湖南長(zhǎng)沙一中高三月考)醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層．內(nèi)層為親膚材質(zhì)(普通衛(wèi)生紗布或無(wú)紡布)，中層為隔離過(guò)濾層(超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層)，外層為特殊材料抑菌層(無(wú)紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層)．根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過(guò)濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過(guò)濾率X～N(0.9372,0.01392)．則下列結(jié)論正確的是(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)(σ>0)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973,0.9772550≈0.3164)()A．P(X≤0.9)<0.5B．P(X>0.9789)≈0.00135C．P(X<0.4)<P(X>1.5)D．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過(guò)濾率大于μ＋2σ的數(shù)量，則P(Y≥1)≈0.6836三、填空題與解答題11．一試驗(yàn)田中的某種作物一株生長(zhǎng)的果實(shí)個(gè)數(shù)x服從正態(tài)分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，從試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取10株，果實(shí)個(gè)數(shù)在[90,110]的株數(shù)記作隨機(jī)變量X，且X服從二項(xiàng)分布，則X的方差為________．12．(2024·山東濰坊模擬)設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X～N(0,1)，那么對(duì)于任意a，記φ(a)＝P(X<a)，已知φ(a)＝0.7，則P(|X|<a)＝________.13．(2024·遼寧沈陽(yáng)模擬)已知隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(9,a－x)(0<x<a)的最小值為________．14．(2024·江西贛州模擬)3D打印即快速成型技術(shù)的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)．中國(guó)的3D打印技術(shù)在飛機(jī)上的應(yīng)用已達(dá)到規(guī)模化、工程化，處于世界領(lǐng)先位置．我國(guó)某企業(yè)利用3D打印技術(shù)生產(chǎn)飛機(jī)的某種零件，8月1日質(zhì)檢組從當(dāng)天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測(cè)每個(gè)零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，得到檢測(cè)結(jié)果：質(zhì)量指標(biāo)[6，7)[7，8)[8，9)[9，10)[10，11)[11，12)[12，13]頻率0.020.090.220.330.240.080.02(1)根據(jù)頻率分布表，估計(jì)8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標(biāo)的平均值eq\x\to(x)和方差s2(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．(2)由頻率分布表可以認(rèn)為，該種零件的質(zhì)量指標(biāo)X～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2.①若P(X≥a)≈0.9772，求a的值；②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問(wèn)這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于7.06的件數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：eq\r(,6)≈2.45，若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.15．(2023·山東濰坊檢測(cè))2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球．已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ(單位：g)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出冠軍．積分規(guī)則如下(比賽采取5局3勝制)：比賽中以3∶0或3∶1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3∶2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分．第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為p(0<p<1)．(1)令η＝eq\f(ξ－μ,σ)，則η～N(0,1)且Φ(a)＝P(η≤a)，求Φ(－2)，并證明Φ(－2)＋Φ(2)＝1.(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)以3∶1取勝的概率為f(p)，求出f(p)的最大值點(diǎn)p0，并以p0作為p的值，解決下列問(wèn)題．(ⅰ)在第10輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為X，求X的分布列．(ⅱ)已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多)．若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.高分推薦題16．柯西分布是一個(gè)數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機(jī)變量X服從柯西分布為X～C(γ，x0)，其中當(dāng)γ＝1，x0＝0時(shí)的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概率密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,π1＋x2).已知X～C(1,0)，P(|X|≤eq\r(,3))＝eq\f(2,3)，P(1<X≤eq\r(,3))＝eq\f(1,12)，則P(X≤－1)＝()A．eq\f(1,6)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)解析版一、單項(xiàng)選擇題1．為加強(qiáng)體育鍛煉，讓運(yùn)動(dòng)成為習(xí)慣，某學(xué)校進(jìn)行一次體能測(cè)試，這次體能測(cè)試滿分為100分，從高三年級(jí)抽取1000名學(xué)生的測(cè)試結(jié)果，已知測(cè)試結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(70，σ2)．若ξ在(50,70)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在90分以上取值的概率為()A．0.05B．0.1C．0.2D．0.4解析：∵ξ服從正態(tài)分布N(70，σ2)，∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線x＝70，∴ξ在(70,100)內(nèi)取值的概率為0.5.∵ξ在(50,70)內(nèi)取值的概率為0.4，∴ξ在(70,90)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在90分以上取值的概率為0.5－0.4＝0.1.故選B．答案：B2．(2024·河北邢臺(tái)模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X≤6)＝0.7，那么P(－2≤X≤6)＝()A．0.2 B．0.6C．0.4 D．0.8解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(2，σ2)，P(X≤6)＝0.7，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，P(－2≤X≤6)＝1－2P(X≥6)＝1－2×0.3＝0.4.故選C．答案：C3．(2024·安徽六安模擬)已知某批零件的長(zhǎng)度X(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(100,32)，從中隨機(jī)抽取一件，其長(zhǎng)度恰好落在區(qū)間[103,106]內(nèi)的概率約為()(附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)A．0.0456 B．0.1359C．0.2718 D．0.3174解析：P(103≤X≤106)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359.答案：B4．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(ξ≥2)＝a，P(0<ξ≤1)＝1－3a，則P(ξ≤0)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性，知P(0<ξ≤1)＝P(1≤ξ<2)，又P(ξ≥1)＝eq\f(1,2)，P(ξ≥1)＝P(1≤ξ<2)＋P(ξ≥2)，所以eq\f(1,2)＝1－3a＋a，解得a＝eq\f(1,4)，從而P(ξ≤0)＝P(ξ≥2)＝eq\f(1,4).故選A．答案：A5．(2024·山東濰坊模擬)某學(xué)校共1000人參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，考試成績(jī)?chǔ)谓品恼龖B(tài)分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，則估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為()A．25 B．50C．75 D．100解析：由已知可得，μ＝100，所以P(ξ≥100)＝0.5.又P(80≤ξ≤100)＝0.45，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得P(100≤ξ≤120)＝0.45，所以P(ξ＞120)＝P(ξ≥100)－P(100≤ξ≤120)＝0.5－0.45＝0.05.所以，可估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為1000×0.05＝50.故選B．答案：B6．有5條同樣的生產(chǎn)線，生產(chǎn)的零件尺寸(單位：mm)都服從正態(tài)分布N(20，σ2)，且P(19<X≤21)＝eq\f(2,3).在每條生產(chǎn)線上各取一個(gè)零件，恰好有3個(gè)尺寸在區(qū)間(20,21]的概率為()A．eq\f(64,243)B．eq\f(80,243)C．eq\f(16,81)D．eq\f(40,243)解析：由題知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x＝20，又因?yàn)镻(19<X≤21)＝eq\f(2,3)，故P(20<X≤21)＝eq\f(1,3).故在每條生產(chǎn)線上各取一個(gè)零件，恰好有3個(gè)尺寸在區(qū)間(20,21]的概率為P＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(40,243).故選D．答案：D二、多項(xiàng)選擇題7．(2024·云南昆明模擬)已知兩種不同型號(hào)的電子元件(分別記為X，Y)的使用壽命均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是()參考數(shù)據(jù)：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．P(μ1－σ1<X<μ1＋2σ1)≈0.8186B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D．對(duì)于任意的正數(shù)t，有P(X≤t)>P(Y≤t)解析：對(duì)于A，P(μ1－σ1＜X＜μ1＋2σ1)≈(0.6827＋0.9545)×eq\f(1,2)＝0.8186，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線，可知μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線，可知σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)于任意的正數(shù)t，由圖象知P(X≤t)表示的面積始終大于P(Y≤t)表示的面積，所以P(X≤t)＞P(Y≤t)，D選項(xiàng)正確．答案：ABD8．(2024·山東泰安模擬)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)．某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高X(單位：cm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,10\r(,2π))eeq\s\up15(－eq\f(x－1002,200))，x∈(－∞，＋∞)，則下列說(shuō)法正確的是()A．該地水稻的平均株高為100cmB．該地水稻株高的方差為10C．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之間的概率一樣大解析：正態(tài)密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(,2π)σ)eeq\s\up15(－eq\f(x－μ2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)，由題意知μ＝100，σ2＝100，所以該地水稻的平均株高為100cm，方差為100，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝100對(duì)稱，所以P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故C正確；P(100<X<110)＝P(90<X<100)>P(80<X<90)，故D錯(cuò)誤．故選AC．答案：AC9．(2024·廣東深圳模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，令g(x)＝P(X≤x)，若x>0，則()A．g(－x)＝1－g(x)B．g(2x)＝2g(x)C．g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)D．P(|X|≤x)＝2g(x)－1解析：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，選項(xiàng)C正確；∵g(x)＝P(X≤x)(x>0)，∴根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得g(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－g(x)，選項(xiàng)A正確；g(2x)＝P(X≤2x)，2g(x)＝2P(X≤x)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2g(－x)＝1－2[1－g(x)]＝2g(x)－1，選項(xiàng)D正確．故選ACD．答案：ACD10．(2024·湖南長(zhǎng)沙一中高三月考)醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層．內(nèi)層為親膚材質(zhì)(普通衛(wèi)生紗布或無(wú)紡布)，中層為隔離過(guò)濾層(超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層)，外層為特殊材料抑菌層(無(wú)紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層)．根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過(guò)濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過(guò)濾率X～N(0.9372,0.01392)．則下列結(jié)論正確的是(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)(σ>0)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973,0.9772550≈0.3164)()A．P(X≤0.9)<0.5B．P(X>0.9789)≈0.00135C．P(X<0.4)<P(X>1.5)D．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過(guò)濾率大于μ＋2σ的數(shù)量，則P(Y≥1)≈0.6836解析：由題意，可知正態(tài)分布的μ＝0.9372，σ＝0.0139.對(duì)于A，因?yàn)?.9<μ，所以P(X≤0.9)<P(X≤μ)＝0.5，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)镻(X>0.9789)＝P(X>μ＋3σ)，且P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，所以P(X>0.9789)≈eq\f(1－0.9973,2)＝0.00135，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閨μ－0.4|<|1.5－μ|,0.4<μ<1.5，所以P(X<0.4)>P(X>1.5)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)橐恢豢谡值倪^(guò)濾率小于或等于μ＋2σ的概率約為0.9545＋eq\f(1－0.9545,2)＝0.97725，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)≈1－0.9772550≈0.6836，故D正確．故選ABD．答案：ABD三、填空題與解答題11．一試驗(yàn)田中的某種作物一株生長(zhǎng)的果實(shí)個(gè)數(shù)x服從正態(tài)分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，從試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取10株，果實(shí)個(gè)數(shù)在[90,110]的株數(shù)記作隨機(jī)變量X，且X服從二項(xiàng)分布，則X的方差為________．解析：因?yàn)閤～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，所以P(x>110)＝0.2，所以P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，所以X～B(10,0.3)，X的方差為10×0.3×(1－0.3)＝2.1.答案：2.112．(2024·山東濰坊模擬)設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X～N(0,1)，那么對(duì)于任意a，記φ(a)＝P(X<a)，已知φ(a)＝0.7，則P(|X|<a)＝________.解析：由題可知，P(|X|<a)＝P(－a<X<a)＝1－2P(X>a)＝1－2[1－φ(a)]＝1－2×(1－0.7)＝0.4.答案：0.413．(2024·遼寧沈陽(yáng)模擬)已知隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(9,a－x)(0<x<a)的最小值為________．解析：由隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，知正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為直線ξ＝1，又因?yàn)镻(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，所以1＋(a－3)＝2，所以a＝4，當(dāng)0<x<4時(shí)，有eq\f(1,x)＋eq\f(9,4－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,4－x)))×eq\f(x＋4－x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(4－x,x)＋\f(9x,4－x)))×eq\f(1,4)≥eq\f(10＋2\r(9),4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4－x,x)＝eq\f(9x,4－x)，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，故最小值為4.答案：414．(2024·江西贛州模擬)3D打印即快速成型技術(shù)的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)．中國(guó)的3D打印技術(shù)在飛機(jī)上的應(yīng)用已達(dá)到規(guī)?；?、工程化，處于世界領(lǐng)先位置．我國(guó)某企業(yè)利用3D打印技術(shù)生產(chǎn)飛機(jī)的某種零件，8月1日質(zhì)檢組從當(dāng)天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測(cè)每個(gè)零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，得到檢測(cè)結(jié)果：質(zhì)量指標(biāo)[6，7)[7，8)[8，9)[9，10)[10，11)[11，12)[12，13]頻率0.020.090.220.330.240.080.02(1)根據(jù)頻率分布表，估計(jì)8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標(biāo)的平均值eq\x\to(x)和方差s2(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．(2)由頻率分布表可以認(rèn)為，該種零件的質(zhì)量指標(biāo)X～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2.①若P(X≥a)≈0.9772，求a的值；②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問(wèn)這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于7.06的件數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：eq\r(,6)≈2.45，若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)由題意可得：eq\x\to(x)＝6.5×0.02＋7.5×0.09＋8.5×0.22＋9.5×0.33＋10.5×0.24＋11.5×0.08＋12.5×0.02＝9.5，s2＝(6.5－9.5)2×0.02＋(7.5－9.5)2×0.09＋(8.5－9.5)2×0.22＋(9.5－9.5)2×0.33＋(10.5－9.5)2×0.24＋(11.5－9.5)2×0.08＋(12.5－9.5)2×0.02＝1.5.(2)由(1)可得μ＝eq\x\to(x)＝9.5，σ2＝1.5，σ＝eq\r(,1.5)＝eq\f(3,\r(,6))≈1.22，即X～N(9.5,1.5)．①因?yàn)镻(X≥μ－2σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9772，所以a＝μ－2σ＝9.5－2×1.22＝7.06.②由①可知P(X≥7.06)≈0.9772，設(shè)這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于7.06的件數(shù)為Y，則Y～B(500,0.9772)，可得P(Y＝k)＝Ceq\o\al(k,500)×0.9772k×(1－0.9772)500－k，k＝0,1，…，500，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PY＝k≥PY＝k＋1，,PY＝k≥PY＝k－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,500)×0.9772k×1－0.9772500－k≥,C\o\al(k＋1,500)×0.9772k＋1×1－0.9772499－k，,C\o\al(k,500)×0.9772k×1－0.9772500－k≥,C\o\al(k－1,500)×0.9772k－1×1－0.9772501－k，))解得488.5772≤k≤489.5772，且k∈N，則k＝489，即當(dāng)k＝489時(shí)，概率最大，所以這500件零件中質(zhì)量指標(biāo)不少于7.06的件數(shù)最有可能是489.15．(2023·山東濰坊檢測(cè))2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球．已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ(單位：g)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出冠軍．積分規(guī)則如下(比賽采取5局3勝制)：比賽中以3∶0或3∶1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3∶2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分．第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為p(0<p<1)．(1)令η＝eq\f(ξ－μ,σ)，則η～N(0,1)且Φ(a)＝P(η≤a)，求Φ(－2)，并證明Φ(－2)＋Φ(2)＝1.(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)以3∶1取勝的概率為f(p)，求出f(p)的最大值點(diǎn)p0，并以p0作為p的值，解決下列問(wèn)題．(ⅰ)在第10輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為X，求X的分布列．(ⅱ)已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多)．若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)由題意知η＝eq\f(ξ－270,5)，所以Φ(－2)＝P(η≤－2)＝P(ξ≤260)，又P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，所以Φ(－2)＝P(ξ≤260)≈0.5－eq\f(0.9545,2)＝0.5－0.47725＝0.02275.Φ(－2)＝P(η≤－2)，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性得P(η≤－2)＝P(η≥2)，即Φ(－2)＝P(η≥2)．又Φ(2)＝P(η≤2)＝1－P(η>2)，所以Φ(－2)＋Φ(2)＝1.(2)f(p)＝Ceq\o\al(2,3)