高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《直線、平面平行的判定及性質(zhì)》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《直線、平面平行的判定及性質(zhì)》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)定理與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題．一直線與平面平行1．直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．2．判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，,a?β，,α∩β＝b))?a∥b二平面與平面平行1．平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個平面叫做平行平面．2．判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∩b＝P，,a∥β，,b∥β))?α∥β性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))?a∥b常/用/結(jié)/論1．夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．2．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．3．如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．4．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．()(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.()(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)2．(2024·廣東深圳福田區(qū)統(tǒng)考)已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，有以下說法：①若m∥α，m⊥β，則α⊥β；②若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β；③若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥n；④若m?α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n.其中正確的說法是()A．①④ B．①②④C．①②③ D．②③④解析：對于①，由m∥α，則存在直線a?α，使得m∥a，∵m⊥β，∴a⊥β，則α⊥β，故①正確；對于②，假設(shè)m∥n時，存在α∩β＝b，m?α，n?β，m∥b，n∥b，且m?β，n?α，符合條件，但α與β相交，故②錯誤；對于③，由α⊥β，設(shè)α∩β＝c，當(dāng)m∥c∥n，且m?α，n?β時，m∥α，n∥β，故③錯誤；對于④，由m∥β，則任意直線d?β，直線d與直線m的位置關(guān)系為異面或平行，∵m?α，且α∩β＝n，∴m∥n，故④正確．故選A.答案：A3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn)，若A1C∥平面BC1D，則D為()A．棱AB的中點(diǎn) B．棱A1B1的中點(diǎn)C．棱BC的中點(diǎn) D．棱AA1的中點(diǎn)解析：如圖，當(dāng)D為棱A1B1的中點(diǎn)時，取AB的中點(diǎn)E，連接A1E，EC，易知A1E∥BD，DC1∥EC，又DC1∩BD＝D，A1E∩EC＝E，∴平面A1CE∥平面BC1D，又A1C?平面A1CE，則A1C∥平面BC1D.故選B.答案：B4．如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形題型線面平行的判定與性質(zhì)典例1(2023·全國乙卷，文)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝eq\r(6)，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，點(diǎn)F在AC上，BF⊥AO.本題的核心條件，特殊的位置關(guān)系，必有點(diǎn)F特殊的數(shù)量關(guān)系．(1)求證：EF∥平面ADO；(2)若∠POF＝120°，求三棱錐P-ABC的體積．此條件暗示△POF的特殊性，即平面POF⊥平面ABC.(1)證明：如圖，連接DE.設(shè)AF＝tAC，t∈[0,1]，則eq\o(BF,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(BA,\s\up15(→))＋teq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AO,\s\up15(→))＝－eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→)).由BF⊥AO，AB⊥BC，得eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(AO,\s\up15(→))＝[(1－t)eq\o(BA,\s\up15(→))＋teq\o(BC,\s\up15(→))]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(BA,\s\up15(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))＝(t－1)eq\o(BA,\s\up15(→))2＋eq\f(1,2)teq\o(BC,\s\up15(→))2＝4(t－1)＋4t＝0，以{eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))}為基底，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，從而求得點(diǎn)F的特殊數(shù)量關(guān)系.以上計算集中于△ABC中．解得t＝eq\f(1,2)，則F為AC的中點(diǎn)．另一種有意義的逆推：因?yàn)镻C∥平面DAO，若EF不平行于PC，且滿足EF∥平面DAO?平面PAC∥平面DAO，顯然錯誤！從而判斷EF∥PC.由D，E，O，F(xiàn)分別為PB，PA，BC，AC的中點(diǎn)，可得DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB，OF∥AB，OF＝eq\f(1,2)AB，即DE∥OF，DE＝OF，則四邊形ODEF為平行四邊形，所以EF∥DO，又EF?平面ADO，DO?平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)解：過P作PM垂直FO的延長線交于點(diǎn)M.因?yàn)镻B＝PC，O是BC的中點(diǎn)，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB＝eq\r(6)，BO＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(6－2)＝2.因?yàn)锳B⊥BC，OF∥AB，所以O(shè)F⊥BC.又PO∩OF＝O，PO，OF?平面POF，所以BC⊥平面POF.可推得平面POF⊥平面ABC，從而作PM⊥平面ABC時點(diǎn)M在FO的延長線上．又PM?平面POF，所以BC⊥PM.又BC∩FM＝O，BC，F(xiàn)M?平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱錐P-ABC的高為PM.因?yàn)椤螾OF＝120°，所以∠POM＝60°，所以PM＝POsin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PM＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(2\r(6),3).判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行定義的逆定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．對點(diǎn)練1(1)(2024·四川成都模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，△BCD為等邊三角形，∠DAB＝120°，AD＝AB＝PD＝PB＝2，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)．證明：BE∥平面PAD.(2)(2024·福建廈門雙十中學(xué)月考)如圖1所示，在四邊形ABCD中，BC⊥CD，E為BC上一點(diǎn)，AE＝BE＝AD＝2CD＝2，CE＝eq\r(,3)，將四邊形AECD沿AE折起，使得BC＝eq\r(,3)，得到如圖2所示的四棱錐．若平面BCD∩平面ABE＝l，證明：CD∥l.圖1圖2(1)證明：如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接EM，BM，∵E為PC中點(diǎn)，∴EM∥PD，又EM?平面PAD，PD?平面PAD，∴EM∥平面PAD.∵△BCD為等邊三角形，∴MB⊥CD，∵∠DAB＝120°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°，∴AD⊥CD，∴MB∥AD.又MB?平面PAD，AD?平面PAD，∴MB∥平面PAD.∵EM∩MB＝M，EM，MB?平面EMB，∴平面EMB∥平面PAD，∵EB?平面EMB，∴EB∥平面PAD.(2)證明：連接DE(圖略)，因?yàn)镃E⊥CD，CE＝eq\r(,3)，CD＝1，所以DE＝2，sin∠CDE＝eq\f(\r(,3),2)，又∠CDE∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠CDE＝eq\f(π,3)，因?yàn)镈E＝2，AE＝AD＝2，所以△ADE是等邊三角形，所以∠DEA＝eq\f(π,3)，故CD∥AE.又AE?平面ABE，CD?平面ABE，所以CD∥平面ABE，因?yàn)镃D?平面BCD，平面BCD∩平面ABE＝l，所以CD∥l.題型面面平行的判定與性質(zhì)典例2(2024·四川綿陽中學(xué)月考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.思考判定定理，即需要兩組平行線的關(guān)系．證明：(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．兩條平行線確定一個平面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1綉AB，∴A1G∥EB，A1G＝eq\f(1,2)A1B1＝eq\f(1,2)AB＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.應(yīng)用判定定理.平面A1EF內(nèi)兩條相交直線A1E，EF都平行于平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．(6)向量法：證明兩平面的法向量平行．對點(diǎn)練2(2024·四川達(dá)州一診)如圖所示，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，P是棱AD上一點(diǎn)，且AP＝eq\f(a,3)，過B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝()A.eq\f(2\r(,2),3)aB.eq\f(\r(,2),3)aC.eq\f(\r(,2),2)aD.eq\f(2\r(,3),3)a解析：如圖，連接BD，PD1，PB1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四邊形DD1B1B是平行四邊形，∴B1D1∥BD.又∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，∴PQ∥BD，∴∠PQD＝∠BDC，又∵∠PDQ＝∠BCD＝90°，∴△PDQ∽△BCD，∴eq\f(PQ,BD)＝eq\f(PD,BC).又∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，∴BC＝a，PD＝AD－AP＝a－eq\f(a,3)＝eq\f(2a,3)，BD＝eq\r(,2)a，∴PQ＝eq\f(PD·BD,BC)＝eq\f(\f(2a,3)×\r(,2)a,a)＝eq\f(2\r(,2),3)a.故選A.答案：A題型平行關(guān)系的綜合應(yīng)用典例3(2024·河北邯鄲一中模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝3，CD＝2，PD＝AD＝5，E是PD上的一點(diǎn)．(1)若PB∥平面ACE，求eq\f(PE,ED)的值；此問關(guān)鍵在于由位置關(guān)系，推導(dǎo)數(shù)量關(guān)系．(2)若E是PD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作平面α∥平面PBC，平面α與棱PA交于點(diǎn)F，求三棱錐P-CEF的體積．解：(1)連接BD交AC于點(diǎn)O，在△PBD中，連接OE(圖略)，∵OE?平面ACE，PB?平面ACE，PB∥平面ACE，∴OE∥PB.∵AB＝3，CD＝2，利用PB∥平面ACE，由性質(zhì)定理，作輔助面．平面PBD∩平面EAC＝OE，這樣OE∥PB.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BO,DO)＝eq\f(PE,ED)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(PE,ED)的值為eq\f(3,2).(2)過點(diǎn)E作EM∥PC交CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AB于點(diǎn)N，連接EN，則平面EMN即平面α，逆推：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∩平面PCD＝EM，,α∥平面PBC))?EM∥PC.同理：α∩平面ABC