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福建省安溪八中2025屆高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的右焦點為,過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,延長交右支于點,若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.2.若復數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復數(shù),則復數(shù)()A. B. C.4 D.53.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),存在實數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.5.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對稱,則下述四個結(jié)論:①②③④點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④6.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.7.二項式的展開式中,常數(shù)項為()A. B.80 C. D.1608.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過的直線與軸交于點,線段與交于點.若,則的方程為()A. B. C. D.9.已知復數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.10.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且11.總體由編號為01,02,...,39,40的40個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()A.23 B.21 C.35 D.3212.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系中,點P在直線上,過點P作圓C:的一條切線,切點為T.若,則的長是______.14.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,則a2=____.15.在疫情防控過程中,某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護人員的精心治療下,第15天開始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始,每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍,那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_______________,第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.16.從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù),這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點為1;(2)若函數(shù)在有兩個零點,證明:.18.(12分)已知在中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,且.(1)求角A的值;(2)若,設(shè)角,周長為y,求的最大值.19.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點F的直線l交橢圓C于D,E兩點(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標準方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.20.(12分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.21.(12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.(1)求的值;(2)若函數(shù),討論的單調(diào)性與極值;(3)證明:.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,,,設(shè),則,,,和中,利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,,,設(shè),則,,,,根據(jù)對稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.2、D【解析】
根據(jù)復數(shù)的四則運算法則先求出復數(shù)z,再計算它的模長.【詳解】解:復數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的計算問題,要求熟練掌握復數(shù)的四則運算以及復數(shù)長度的計算公式,是基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個不同的交點,利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當時,,當時,,當時,,當時,,若有且僅有3個零點,則等價為有且僅有3個根,即與有三個不同的交點,作出函數(shù)和的圖象如圖,當a=1時,與有無數(shù)多個交點,當直線經(jīng)過點時,即,時,與有兩個交點,當直線經(jīng)過點時,即時,與有三個交點,要使與有三個不同的交點,則直線處在過和之間,即,故選:A.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.4、A【解析】
畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應用,考查了學生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.5、B【解析】
首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出,再根據(jù)對稱性求出、,即可求出的解析式,從而驗證可得;【詳解】解:由題意可得,又∵和的圖象都關(guān)于對稱,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正確,②錯誤.故選:B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用,三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當且僅當ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.7、A【解析】
求出二項式的展開式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項式展開式的通式為,令,解得,則常數(shù)項為.故選:A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解,關(guān)鍵是熟練應用二項展開式的通式,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標準方程的求解.9、B【解析】
利用復數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,根據(jù)三視圖的長度,進一步求出個各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)隨機數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復的第5個編號為21.故選:B【點睛】本小題主要考查隨機數(shù)表法進行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當時,當時,當時,當時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算,當集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出圖像,設(shè)點,根據(jù)已知可得,,且,可解出,計算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標為,可得,,,,,解得,,即的長是.故答案為:【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點間的距離,運用了數(shù)形結(jié)合的思想.14、【解析】
根據(jù)二項展開式的通項公式即可得結(jié)果.【詳解】解:(2x-1)7的展開式通式為:當時,,則.故答案為:【點睛】本題考查求二項展開式指定項的系數(shù),是基礎(chǔ)題.15、161【解析】
由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個首項為1,公比為2的等比數(shù)列,由此可求結(jié)果.【詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人.第15天開始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.且從第16天開始,每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍,從第15天開始,每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,則第19天治愈出院患者的人數(shù)為,,解得,第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.故答案為:16,1.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列在實際問題中的應用,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查推理能力與計算能力,屬于中檔題.16、【解析】
依據(jù)古典概型的計算公式,分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù),計算即可。【詳解】“任取兩個數(shù)”的事件數(shù)為,“任取兩個數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個,所以任取兩個數(shù),這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是。【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個零點,即方程在區(qū)間有兩解,令通過二次求導確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解:(1)證明:因為,當時,,,所以在區(qū)間遞減;當時,,所以,所以在區(qū)間遞增;且,所以函數(shù)的極小值點為1(2)函數(shù)在有兩個零點,即方程在區(qū)間有兩解,令,則令,則,所以在單調(diào)遞增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,且,又因為,所以,方程關(guān)于的方程在有兩個零點,由的圖象可知,,即.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導,零點存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.18、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理,結(jié)合題中條件,可以得到,之后應用余弦定理即可求得;(2)利用正弦定理求得,求出三角形的周長,利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】(1)由已知可得,結(jié)合正弦定理可得,∴,又,∴.(2)由,及正弦定理得,∴,,故,即,由,得,∴當,即時,.【點睛】該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問題,解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理,屬于簡單題目.19、(1)(2).【解析】
(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標之間的關(guān)系,聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可求.【詳解】解:(1)設(shè)焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設(shè)l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進行求解,面積問題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).20、(1)乙同學正確(2)分布列見解析,【解析】
(1)由已知可得甲不正確,求出樣本中心點代入驗證,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)(1)中得到的回歸方程,求出估值,得到“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù),確定“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解.【詳解】(1)已知變量具有線性負相關(guān)關(guān)系,故甲不正確,,代入兩個回歸方程,驗證乙同學正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計算估計數(shù)據(jù)如下表:“理想數(shù)據(jù)”有3個,故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的取值為:.,,于是“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關(guān)系,以及離散型隨機變量的分布列和期望,意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于中檔題.21、(1);(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值;
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