2023-2024學(xué)年廣東省茂名市化州市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市化州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定的位置上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，則.故選：C.2.，為虛數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.故選B.3.在數(shù)列中，，．是該數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意由可得，由等差數(shù)列定義可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2等差數(shù)列，所以可得，，即可得.故選：B4.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線(xiàn)，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當(dāng)滿(mǎn)足，，時(shí)，直線(xiàn)可能平行，可能相交，也可能異面.故“”不是“”的必要條件.故選：A5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，當(dāng)或時(shí)，，，排除AD，當(dāng)時(shí)，，，排除C，故選：B．6.已知直線(xiàn)與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圓心為，半徑為，則圓心到直線(xiàn)距離，所以，要使面積最大，只需圓上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)距離最遠(yuǎn)，為，所以面積的最大值是.故選：A7.已知甲袋中有4個(gè)白球?個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球?4個(gè)紅球，各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同.現(xiàn)從甲?乙兩袋中依次不放回地各取2個(gè)球，若從甲袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同與從乙袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同的概率相等，則（）A.2 B.4 C.6或2 D.8或4【答案】C【解析】設(shè)事件為“從甲袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同”，事件為“從乙袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同”，則，所以，解得或.故選：C.8.已知雙曲線(xiàn)（，）的離心率為，圓與C的一條漸近線(xiàn)相交，且弦長(zhǎng)不小于4，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，則，解得，且雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，可知圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不妨取漸近線(xiàn)為，即，則圓心到漸近線(xiàn)的距離，可得，又因?yàn)閳A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)相交弦長(zhǎng)為，由題意可得，解得，所以a的取值范圍是.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知M是橢圓上一點(diǎn)，，是其左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.橢圓的焦距為2 B.橢圓的離心率C.橢圓的短軸長(zhǎng)為4 D.的面積的最大值是4【答案】BCD【解析】因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤，B,C正確；對(duì)于D，當(dāng)M為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，以為底時(shí)的高最大，為2,此時(shí)的面積取最大為,故正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變得到D.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到【答案】ACD【解析】因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變得到，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋裕瘮?shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到，D對(duì).故選：ACD.11.下列說(shuō)法正確的是（

）A.若，，則的最大值為4B.，，則的最小值是4C.當(dāng)時(shí)，有最大值D.的最小值為【答案】BD【解析】對(duì)于A，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，令，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，故D正確.故選：BD12.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與交于點(diǎn)，平面，且，則（）A.平面 B.四棱錐的外接球表面積為C.四棱錐的內(nèi)切球半徑為1 D.直線(xiàn)與平面所成角的為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則四棱錐可補(bǔ)形成正方體，如圖，顯然四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其直徑為，該球的表面積，B正確；對(duì)于C，四棱錐的表面積，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，即，解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在選項(xiàng)B的正方體中，，平面即為平面，連接，連接，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，是直線(xiàn)與平面所成的角，，則，因此直線(xiàn)與平面所成角的為，D正確.故選：ABD第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卷的橫線(xiàn)上．13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則__________.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)，公比，所以，故答案為：14.已知單位向量，滿(mǎn)足，則與的夾角為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)?，是單位向量，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.15.直線(xiàn)l：與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則m的取值范圍________.【答案】【解析】即為，表示圓心在原點(diǎn)半徑為的圓位于軸右側(cè)的部分，直線(xiàn)即為，過(guò)定點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中作出直線(xiàn)和半圓的圖象如下圖所示：圓與坐標(biāo)軸交于，且直線(xiàn)的斜率為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，此時(shí)，解得，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，，解得或（舍），根據(jù)圖象可知，若直線(xiàn)與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，故答案為：.16.對(duì)大于或等于2自然數(shù)的次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：按此方法，的“分裂”中最大數(shù)是______，若的“分裂”中的最小數(shù)是21，則的值為_(kāi)______．【答案】9;5【解析】由題意知：當(dāng)?shù)讛?shù)為2時(shí)，分解為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，當(dāng)?shù)讛?shù)為3時(shí)，分解為三個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，以此類(lèi)推，當(dāng)?shù)讛?shù)為5時(shí)，分解為5個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，設(shè)，解得，則分解為，所以“分裂”中最大數(shù)是9，由題意知：，解得，所以的值為5，故答案為：9；5四、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿(mǎn)分共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）由已知得由正弦定理得，則．即（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長(zhǎng)為．18.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知求數(shù)列，求的前項(xiàng)和．解：（1）為等差數(shù)列，設(shè)出公差為，因?yàn)?，所以，因，所以，所以，所以，所以，所以；?）由（1）知，所以，所以，，所以，所以，所以.19.如圖，在直四棱柱中，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接．∵在直四棱柱中平面，，平面，∴，．∵，，∴，∵，∴，∴．∵，平面，，∴平面．（2）在直四棱柱中，⊥平面,，可得,兩兩之間互相垂直.以為原點(diǎn)，以，，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，∴，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則令，得．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，且由圖可得為銳角,則，故平面與平面夾角的余弦值為．20.已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同的A、兩點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）如果，證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由題意可知，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程，可得，解得，則拋物線(xiàn)方程為．（2）因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同的A、兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)不與x軸平行，可設(shè)，與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．，由，解得，∴過(guò)定點(diǎn)．21.某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求m的值并估計(jì)這m人年齡的第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35~45歲所有人的年齡的方差.解：（1）由題意，，所以.設(shè)第80百分位數(shù)為，因?yàn)?，，故?0百分位數(shù)位于第四組：[35，40）內(nèi)，由，解得：，所以第80百分位數(shù)為；（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，甲，乙，甲，乙），（B，D），（C，甲），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲?乙兩人至少一人被選上”，則，甲，乙，甲，乙），，甲，乙），（甲，乙），（甲，乙，，共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以.（ii）設(shè)第四組?第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年?在歲的所有人的年齡方差約為10.22.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)，使得成立，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)M.（1）若，判斷是否具有性質(zhì)M，說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)M，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）令即，而，故，故具有性質(zhì)M.（2）由題設(shè)在上有唯一解，故在上有唯一解，設(shè)，若，因在上有唯一解，故，故或.若或，則或，而當(dāng)時(shí)，的另一個(gè)根為，故符合.當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)根，故不符合.當(dāng)時(shí)，因在上有唯一解，故，整理得到，解得，綜上，或或.廣東省茂名市化州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定的位置上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，則.故選：C.2.，為虛數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.故選B.3.在數(shù)列中，，．是該數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意由可得，由等差數(shù)列定義可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2等差數(shù)列，所以可得，，即可得.故選：B4.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線(xiàn)，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當(dāng)滿(mǎn)足，，時(shí)，直線(xiàn)可能平行，可能相交，也可能異面.故“”不是“”的必要條件.故選：A5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，當(dāng)或時(shí)，，，排除AD，當(dāng)時(shí)，，，排除C，故選：B．6.已知直線(xiàn)與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圓心為，半徑為，則圓心到直線(xiàn)距離，所以，要使面積最大，只需圓上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)距離最遠(yuǎn)，為，所以面積的最大值是.故選：A7.已知甲袋中有4個(gè)白球?個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球?4個(gè)紅球，各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同.現(xiàn)從甲?乙兩袋中依次不放回地各取2個(gè)球，若從甲袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同與從乙袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同的概率相等，則（）A.2 B.4 C.6或2 D.8或4【答案】C【解析】設(shè)事件為“從甲袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同”，事件為“從乙袋中取出的2個(gè)球的顏色不相同”，則，所以，解得或.故選：C.8.已知雙曲線(xiàn)（，）的離心率為，圓與C的一條漸近線(xiàn)相交，且弦長(zhǎng)不小于4，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，則，解得，且雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，可知圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不妨取漸近線(xiàn)為，即，則圓心到漸近線(xiàn)的距離，可得，又因?yàn)閳A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)相交弦長(zhǎng)為，由題意可得，解得，所以a的取值范圍是.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知M是橢圓上一點(diǎn)，，是其左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.橢圓的焦距為2 B.橢圓的離心率C.橢圓的短軸長(zhǎng)為4 D.的面積的最大值是4【答案】BCD【解析】因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤，B,C正確；對(duì)于D，當(dāng)M為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，以為底時(shí)的高最大，為2,此時(shí)的面積取最大為,故正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變得到D.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到【答案】ACD【解析】因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變得到，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象可由的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到，D對(duì).故選：ACD.11.下列說(shuō)法正確的是（

）A.若，，則的最大值為4B.，，則的最小值是4C.當(dāng)時(shí)，有最大值D.的最小值為【答案】BD【解析】對(duì)于A，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，令，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，故D正確.故選：BD12.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與交于點(diǎn)，平面，且，則（）A.平面 B.四棱錐的外接球表面積為C.四棱錐的內(nèi)切球半徑為1 D.直線(xiàn)與平面所成角的為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則四棱錐可補(bǔ)形成正方體，如圖，顯然四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其直徑為，該球的表面積，B正確；對(duì)于C，四棱錐的表面積，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，即，解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在選項(xiàng)B的正方體中，，平面即為平面，連接，連接，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，是直線(xiàn)與平面所成的角，，則，因此直線(xiàn)與平面所成角的為，D正確.故選：ABD第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卷的橫線(xiàn)上．13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則__________.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)，公比，所以，故答案為：14.已知單位向量，滿(mǎn)足，則與的夾角為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)?，是單位向量，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.15.直線(xiàn)l：與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則m的取值范圍________.【答案】【解析】即為，表示圓心在原點(diǎn)半徑為的圓位于軸右側(cè)的部分，直線(xiàn)即為，過(guò)定點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中作出直線(xiàn)和半圓的圖象如下圖所示：圓與坐標(biāo)軸交于，且直線(xiàn)的斜率為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，此時(shí)，解得，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，，解得或（舍），根據(jù)圖象可知，若直線(xiàn)與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，故答案為：.16.對(duì)大于或等于2自然數(shù)的次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：按此方法，的“分裂”中最大數(shù)是______，若的“分裂”中的最小數(shù)是21，則的值為_(kāi)______．【答案】9;5【解析】由題意知：當(dāng)?shù)讛?shù)為2時(shí)，分解為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，當(dāng)?shù)讛?shù)為3時(shí)，分解為三個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，以此類(lèi)推，當(dāng)?shù)讛?shù)為5時(shí)，分解為5個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，設(shè)，解得，則分解為，所以“分裂”中最大數(shù)是9，由題意知：，解得，所以的值為5，故答案為：9；5四、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿(mǎn)分共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）由已知得由正弦定理得，則．即（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長(zhǎng)為．18.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知求數(shù)列，求的前項(xiàng)和．解：（1）為等差數(shù)列，設(shè)出公差為，因?yàn)?，所以，因，所以，所以，所以，所以，所以；?）由（1）知，所以，所以，，所以，所以，所以.19.如圖，在直四棱柱中，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接．∵在直四棱柱中平面，，平面，∴，．∵，，∴，∵，∴，∴．∵，平面，，∴平面．（2）在直四棱柱中，⊥平面,，可得,兩兩之間互相垂直.以為原點(diǎn)，以，，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，∴，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則令，得．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，且由圖可得為銳角,則，故平面與平面夾角的余弦值為．20.已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同的A、兩點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）如果，證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由題意可知，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程，可得，解得，則拋物線(xiàn)方程為．（2）因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同的A、兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)不與x軸平行，可設(shè)，與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．，由，解得，∴過(guò)定點(diǎn)．21.某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次