卡爾曼濾波在測量和變形分析中的應用研究報告

§6.3卡爾曼濾波在測量和變形分析中的應用6.3.1在測量中的應用由于卡爾曼濾波是一種較好的動態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，它具有以下特點：對狀態(tài)向量的估計是LS準則下的最優(yōu)估計；算法是遞推的，便于計算與編程實現(xiàn)，也可以用硬件設計卡爾曼濾波器；對動態(tài)過程是平穩(wěn)隨機過程的要求不嚴；可以進行實時地預測系統(tǒng)的狀態(tài)，預測時不要求使用全部觀測數(shù)據(jù)，只需要利用部分數(shù)據(jù)就可以較好地進行預測。因此卡爾曼濾波在信號處理、組合導航、GPS動態(tài)定位、變性分析與預報等領域得到廣泛應用，并在應用中不斷進行了改進。

卡爾曼濾波在測量上的應用也得到測量學者的廣泛研究。比如研究發(fā)現(xiàn)測量上各種平差模型都是卡爾曼濾波模型的特例，都可以通過卡爾曼濾波模型推導出來卡爾曼濾波模型可以說是現(xiàn)代測量平差理論的基礎。左圖描述了各種平差模型間的相互關系?？柭鼮V波在測量上的另一個重要應用是在組合導航問題上的應用。下圖描述了組合導航與定位的基本原理。圖中設船在時刻的狀態(tài)可以從岸上測定，其狀態(tài)向量為，協(xié)方差矩陣為，同時還觀測了衛(wèi)星，觀測向量為，協(xié)方差矩陣為，時刻的狀態(tài)向量由下列數(shù)據(jù)模型確定

（6-19）船的運動模型由下式確定

（6-20）其中，表示在時刻的狀態(tài)向量。同時在時刻有如下觀測方程

（6-21）綜合以上信息，最優(yōu)地估計的船的位置就是濾波器要解決的問題。它可以描述為：如何根據(jù)歷史觀測數(shù)據(jù)和船的運動模型實時估計和預測船在下一時刻的狀態(tài)。速度和加速度向量與位置、時間有如下關系

（6-24）由式（6-20）至（6-22），可以得到運動點場的狀態(tài)推估方程如下

（6-25）其中，I表示單位矩陣，0表示零矩陣。下面我們考慮運動方程中的噪聲模型。狀態(tài)向量、噪聲的選擇與所監(jiān)測的對象和觀測頻率有關。如果被監(jiān)測對象的動態(tài)性強、變化快，就需要將位置、速率、加速率作為狀態(tài)向量考慮，這時可考慮如下的噪聲模型由此，式（6-24）就變?yōu)?/p>

（6-27）以上各式構成了運動點場的卡爾曼濾波模型。6.3.3應用實例應用卡爾曼濾波的具體步驟如下：（1）根據(jù)動態(tài)系統(tǒng)的物理特性確定系統(tǒng)的數(shù)學模型，包括狀態(tài)方程，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣、動態(tài)噪聲矩陣和觀測矩陣；（2）利用前三期的觀測數(shù)據(jù)確定濾波的初始值，包括初始狀態(tài)向量及其協(xié)方差矩陣；動態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣和觀測噪聲的協(xié)方差矩陣；（3）卡爾曼濾波遞推公式實時估計狀態(tài)向量及其協(xié)方差，單位權方差等信息；（4）當有新的觀測數(shù)據(jù)時，將最前面觀測數(shù)據(jù)刪除，將新的觀測數(shù)據(jù)放在序列的后面，再重新進行卡爾曼濾波計算，入戲遞推下去，達到自動濾波的目的。取某高邊坡變形觀測數(shù)據(jù)進行卡爾曼濾波數(shù)據(jù)處理。觀測周期為1個月，共有30期數(shù)據(jù)。采用自適應卡爾曼濾波方差法進行計算。狀態(tài)向量去單點的三維坐標、三維速率共6個參數(shù)。用第一次平差結果作為初始值。設速率參數(shù)值為0，方差按下式估計式中，假定為任意坐標方向的最大速率。

下表列出其中一點y方向坐標及速率參數(shù)濾波估計值及其方差。坐標估計精度為2~3mm，速率估計精度為2~3mm。對y坐標進行一步預測，最