《電路應用基礎》課件第6章

第6章一階動態(tài)電路分析6.1換路定律

6.2一階電路的零輸入響應

6.3直流激勵下一階電路的零狀態(tài)

6.4一階電路的全響應及其求法

6.5一階電路的三要素法應用與訓練本章小結習題六

本章將研究RC電路及RL電路在不同激勵輸入時的時間響應。理解電容器及電感器中的電壓和電流的變化特征，是學習本章內(nèi)容的關鍵。因此學習本章內(nèi)容前應復習第3章的內(nèi)容。

通過本章的學習，要求理解過渡過程的概念，掌握換路定律與初始值的計算，掌握零輸入響應、零狀態(tài)響應的過程及分析方法，掌握三要素法。

學習任務：

(1)過渡過程的概念；

(2)換路定律；

(3)初始值的計算。

獲取能力：

(1)理解過渡過程的概念；

(2)掌握換路定律的實質(zhì)，即換路瞬間電容電壓不能躍變，電感電流不能躍變；

(3)能熟練計算換路過程的初始值。6.1換路定律6.1.1過渡過程的概念

過渡過程是自然界各種事物在運動中普遍存在的現(xiàn)象。停在站內(nèi)的火車速度為零，是一種穩(wěn)定狀態(tài)；若其駛出車站后，在某區(qū)間內(nèi)以一定速度勻速直線行駛，則是另一種穩(wěn)定狀態(tài)?；疖噺那耙环N穩(wěn)定狀態(tài)到后一種穩(wěn)定狀態(tài)，須經(jīng)歷一個加速行駛的過程，這就是過渡過程。含有電感或電容電路若發(fā)生換路——電路的接通或切斷、激勵或參數(shù)的突變等，則電路將從換路前的穩(wěn)定狀態(tài)經(jīng)歷一段時間達到另一新的穩(wěn)定狀態(tài)。電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)之間的過程，即為電路的過渡過程。電路的過渡過程一般歷時很短，故也稱為暫態(tài)過程；而電路的穩(wěn)定狀態(tài)則簡稱為穩(wěn)態(tài)。暫態(tài)過程雖然短暫，卻是不容忽視的。在脈沖數(shù)字技術中，電路的工作狀態(tài)主要是暫態(tài)；而在電力系統(tǒng)中，過渡過程產(chǎn)生的瞬間過電壓或過電流，則可能危及設備甚至人身安全，必須采取措施加以預防。6.1.2換路定律

含儲能元件的電路換路后之所以會發(fā)生過渡過程，是由儲能元件的能量不能躍變所決定的。從第3章已經(jīng)知道：電容元件和電感元件都是儲能元件。實際電路中電容和電感的儲能都只能連續(xù)變化，這是因為實際電路所提供的功率只能是有限值。如果它們的儲能發(fā)生躍變，則意味著功率

即電路須向它們提供無限大的功率，這實際上是辦不到的。電容元件儲存的能量

(6-1-1)

而電感元件儲存的能量

(6-1-2)從式(6-1-1)、式(6-1-2)可以看出，由于儲能不能躍變，因此電容電壓不能躍變，電感電流也不能躍變。這一規(guī)律從儲能元件的VCR也可以看出。

電容元件的VCR為

實際電路中電容元件的電流iC為有限值，即電壓的變化

率 為有限值，故電壓uC的變化是連續(xù)的。電感元件的VCR為

實際電路中電感元件的電壓uL為有限值，即電流的變化

率 為有限值，故電流iL的變化是連續(xù)的。

實際電路中uC、iL的這一規(guī)律適合于任一時刻，當然也適合于換路瞬間。即換路瞬間電容電壓不能躍變，電感電流不能躍變，這就是換路定律。設瞬間發(fā)生換路，則換路定律可用數(shù)學式表示為

(6-1-3)

其中，0－表示t從負值趨于零的極限，即換路前的最后瞬間；0＋則表示t從正值趨于零的極限，即換路后的最初瞬間。式(6-1-3)在數(shù)學上表示函數(shù)uC(t)和iL(t)在t＝0的左極限和右極限相等，即它們在t＝0連續(xù)。6.1.3初始值的計算

電路的過渡過程是從換路后的最初瞬間即t＝0＋開始的，電路中各電壓、電流在t＝0＋的瞬時值是過渡過程中各電壓、電流的初始值。對過渡過程的分析往往首先計算電路中各電壓、電流的初始值。下面先看一個計算初始值的例子。

例6-1-1

圖6-1-1(a)所示電路中，US＝10V，R1＝15W，R2＝5W，開關S斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)。求S斷開后電路中各電壓、電流的初始值。

解設開關S在瞬間斷開，即t＝0時發(fā)生換路。換路前電路為直流穩(wěn)態(tài)，電容C相當于開路，如圖6-1-1(b)所示。根據(jù)圖(b)所示電路可求得

換路后的電路如圖6-1-1(c)所示。根據(jù)換路定律，換路后的最初瞬間

UC(0＋)＝UC(0－)＝2.5V

電路R2與電容C并聯(lián)，故R2的電壓

U2(0＋)＝UC(0－)＝2.5V

R2的電流為

由于S已斷開，根據(jù)KCL得

i1(0＋)＝0

iC(0＋)＝i1(0＋)－i2(0＋)＝0－0.5＝－0.5A

圖6-1-1例6-1-1用圖從上例可歸納計算初始值的步驟如下：

(1)根據(jù)換路前的電路求t＝0－瞬間的電容電壓uC(0－)或電感電流iL(0－)。若換路前電路為直流穩(wěn)態(tài)，則電容相當于開路，電感相當于短路。

注意：除uC(0－)、iL(0－)以外，其他電壓、電流在t＝0瞬間可能躍變(讀者可自行驗證)，因而計算它們在t＝0－的瞬時值對分析過渡過程是毫無價值的。

(2)根據(jù)換路定律，換路后電容電壓和電感電流的初始值分別等于它們在t＝0－的瞬時值，即

uC(0＋)＝uC(0－)

iL(0＋)＝iL(0－)

電容電壓、電感電流的初始值反映電路的初始儲能狀態(tài)，簡稱為(電路的)初始狀態(tài)。

(3)以初始狀態(tài)即電容電壓、電感交流的初始值為已知條件，根據(jù)換路后(t＝0＋)的電路進一步計算其他電壓、電流的初始值。

例6-1-2

圖6-1-2(a)所示電路中，US＝12V，R1＝4W，R3＝8W，開關S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。求S閉合(t＝0)后電路中各電壓、電流的初始值。

解開關閉合前電路為直流穩(wěn)態(tài)，電感相當于短路，如圖6-1-2(b)所示。由圖(b)所示電路不難求得

圖6-1-2例6-1-2用圖換路后的電路如圖6-1-2(c)所示。根據(jù)換路定律，開關S閉合后電感電流的初始值為

iL(0＋)＝iL(0－)＝1A

由于S閉合將電阻R3短路，所以

u3(0＋)＝0

由KCL得

i2(0＋)＝iL(0＋)－i3(0＋)＝1－0＝1A

由KVL得

uL(0＋)＝US－R1·iL(0＋)＝12－4×1＝8V

6-1-1含儲能元件的電路換路后為什么會發(fā)生過渡過程？什么是換路定律？它的數(shù)學表達式是怎樣的？

6-2-2為了確定換路后各電壓、電流的初始值，必須先算出所有這些電壓、電流在換路前最后瞬間(即瞬時)的值，對嗎？為什么？應該怎樣做？

思考與練習

學習任務：

(1)RC電路的零輸入響應；

(2)RL電路的零輸入響應。

獲取能力：

(1)掌握RC電路和RL電路的零輸入響應過程中電壓、電流的變化規(guī)律，以及分析方法；

(2)理解時間常數(shù)的概念，并會計算RC電路和RL電路的時間常數(shù)；6.2一階電路的零輸入響應

(3)理解RC電路和RL電路零輸入響應過程中的能量變化。

電容元件的電流與其電壓的變化率成正比，電感元件的電壓則與其電流的變化率成正比，因而儲能元件也稱為動態(tài)元件。由于動態(tài)元件的VCR是微分關系，因此，含動態(tài)元件的電路即動態(tài)電路的KCL、KVL方程都是微分方程。只含一個動態(tài)元件的電路只需用一階微分方程來描述，故稱為一階電路。一階電路在沒有輸入激勵的情況下，僅由電路的初始狀態(tài)(初始時刻的儲能)所引起的響應，稱為零輸入響應。6.2.1RC電路的零輸入響應

如圖6-2-1(a)所示電路，換路前電容已被充電至電壓uC(0)＝U0，儲存的電場能量為 。ｔ＝0瞬間將開關S從a換接到b后，電壓源被斷開，輸入躍變?yōu)榱?，電路進入電容C通過電阻R放電的過渡過程。換路后的電路如圖6-2-1(b)所示，電容電壓的初始值根據(jù)換路定律為uC(0＋)＝uC(0－)＝U0，而電流i則從換路前的0躍變?yōu)?/p>

。放電過程中，電容的電壓逐漸降低，其儲存的能量逐漸釋放，放電電流逐漸減小，最終電壓降為零，其儲能全部釋放，放電電流也減小到零，放電過程結束。下面分析放電過程中電壓、電流隨時間的變化規(guī)律，即電路的零輸入響應。

圖6-2-1RC電路的放電過程

1.電壓、電流的變化規(guī)律

對圖6-2-1(b)所示換路后的電路，由KVL得

UC＋Ri＝0

以

代入上式得

(6-2-1)

這是一個關于變量UC的一階線性常系數(shù)齊次常微分方程。設方程的通解uC＝Aept(其中p為特征根，A為待定系數(shù))，代入式(6-2-1)得

RCApept＋Aept＝0

方程兩邊同除以Aept，即得式(6-2-1)的特征方程為

RCp＋1＝0

解得

于是

(6-2-2)

式(6-2-2)即微分方程(6-2-1)的通解，其中積分常數(shù)A由電路的初始狀態(tài)即電容電壓的初始值確定。以t＝0＋、UC(0＋)＝U0代入式(6-2-2)，求得

A＝U0

所以

上式即放電過程中電容電壓的變化規(guī)律。電阻電壓和放電電流則分別為

圖6-2-2RC電路的零輸入響應

式中的負號說明電阻電壓uR和放電電流i的實際方向與圖示的參考方向相反。uC、uR和i隨時間變化的曲線如圖6-2-2所示。

從以上結果可見，電容通過電阻放電的過程中，uC、|uR|、|i|均隨時間按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律衰減。

2.時間常數(shù)

令t＝RC，則uC、uR和i可分別表示為

(6-2-3)

(6-2-4)

(6-2-5)

對于已知R、C參數(shù)的電路來說，t＝RC是一個僅取決于電路參數(shù)的常數(shù)。t的單位為

由于t具有時間的單位，故稱為時間常數(shù)。

時間常數(shù)t的大小決定了放電過程中電壓、電流衰減的快慢。以電容電壓uC為例，其隨時間衰減的情況如表6-2-1所

表6-2-1放電過程中電容電壓隨時間衰減的情況

圖6-2-3時間常數(shù)與放電快慢的示意圖從表中可以看出，t＝t時電容電壓降至初始值的36.8％。圖6-2-3則表明，放電過程中，電容電壓和放電電流衰減至初始值的36.8％所需的時間等于時間常數(shù)t。這一時間越長，放電進行得越慢；反之，放電進行得越快。

從理論上說，t→∞電容電壓才衰減為零；實際上t＝5t時，電容電壓已衰減至初始值的0.7％，足以說明電路已經(jīng)達到新的穩(wěn)態(tài)。

當t＝0＋時，由式(6-2-3)～式(6-2-5)可得

故RC電路的零輸入響應可表示成一般形式

(6-2-6)

其中，f(t)表示RC電路的任一零輸入響應，而f(0＋)則表示該響應的初始值。

3.放電過程中的能量

如前所述，電路的初始儲能為

放電過程中電阻消耗的能量為

可見，整個放電過程中電阻消耗的能量就是電容的初始儲能。

例6-2-1

圖6-2-1所示電路中，開關S在位置a為時已久，已知US＝10V，R＝5kW，C＝3mF，t＝0瞬間，開關S從a換接至b，求：

(1)換路后uC(t)的表示式，并繪出變化曲線；

(2)換路后15mS及75mS時的電容電壓值。

解電壓、電流的參考方向如圖6-2-1所示。圖6-2-4例6-2-1用圖

(1)換路前電路已達穩(wěn)態(tài)，電容電壓

UC(0－)＝US＝10V

根據(jù)換路定律，電容電壓的初始值

UC(0＋)＝UC(0－)＝10V

電路的時間常數(shù)

t＝RC＝5×103×3×10－6＝15mS

由式(6-2-6)得換路后的電容電壓

其變化曲線如圖6-2-4所示。

(2)當t＝15mS，即t＝t時，

UC＝10e－1＝3.68V

當t＝75mS，即t＝5t時，

UC＝10e－5＝0.07V

例6-2-2

某電路中有一個40mF的電容器，斷電前已充電至電壓UC(0－)＝3.5kV。斷電后電容器經(jīng)本身的漏電阻放電。若電容器的漏電阻R＝100ＭW，1小時后電容器的電壓降至多少？若電路需要檢修，應采取什么安全措施？

解由題意知電容電壓的初始值

UC(0＋)＝UC(0－)＝3.5×103V

放電時間常數(shù)

t＝RC＝100×106×40×10－6＝4000S

當t＝1h＝60×60S＝3600S時

可見，斷電1小時后，電容器仍有很高的電壓。為安全起見，須待電容器充分放電后才能進行線路檢修。為縮短電容器的放電時間，可用一阻值較小的電阻并聯(lián)于電容器兩端以加速放電過程。6.2.2RL電路的零輸入響應

圖6-2-5(a)所示電路中，開關S原置于位置a，電路已達穩(wěn)態(tài)，電流

，電感元件儲存的磁場能量

。t＝0瞬間將開關S從a換接至b后，電壓源被短路代替，輸入躍變?yōu)榱悖娐愤M入過渡過程。過渡過程中的電壓、電流即是電路的零輸入響應。

圖6-2-5RL電路換路對圖6-2-5(b)所示換路后的電路列出KVL方程

uR＋uL＝0

將

代入得

即

(6-2-7)

式(6-2-7)與式(6-2-1)同為一階常系數(shù)齊次常微分方程，其通解具有相同的形式，即

iL＝Aept

由式(6-2-7)的特征方程

解得

又電路的初始狀態(tài)即(電感)交流的初始值

代入通解，即可得過渡過程中的電流

其中

為RL電路的時間常數(shù)，其意義及單位與RC電路

的時間常數(shù)相同。

圖6-2-6RL電路的零輸入響應電阻元件和電感元件的電壓分別為

電壓、電流隨時間變化的曲線如圖6-2-6所示。

由于電感電流不能躍變，因此，換路后雖然輸入躍變?yōu)榱?，但電流卻以逐漸減小的方式繼續(xù)存在。電感電壓則因電流iL減小(

)而與電流反向(為負值)。電感的儲能隨電流減小而逐漸釋放，并為電阻所消耗。當電流減小到零時，電感儲存的磁場能量全部釋放，過渡過程結束?？梢姡琑、L短接后的過渡過程就是電感元件釋放儲存的磁場能量的過程。

例6-2-3

電路如圖6-2-7所示，繼電器線圈的電阻R＝250W，吸合時其電感值L＝25H。已知電阻R1＝230W，電源電壓US＝24V。若繼電器的釋放電流為４ｍＡ，則開關S閉合后多長時間繼電器能夠釋放？

解換路前繼電器的電流

圖6-2-7例6-2-3用圖

換路后電感電流的初始值

iL(0＋)＝iL(0－)＝0.05A

電路的時間常數(shù)

由式(6-2-6)得

繼電器開始釋放時，電流iL等于釋放電流，即

0.05e－10t＝4×10－3

則

t＝0.25S

即開關S閉合后0.25S，繼電器開始釋放。

6-2-1什么是一階電路？什么是零輸入響應？一階電路的零輸入響應具有怎樣的變化規(guī)律？

6-2-2什么是時間常數(shù)？它與過渡過程有何關系？如何計算RC電路和RL電路的時間常數(shù)？如果與動態(tài)元件相連的不只是一個電阻，而是多個電阻連接而成的單口，又如何確定時間常數(shù)？思考與練習

學習任務：

(1)RC電路的零狀態(tài)響應；

(2)RL電路的零狀態(tài)響應。

獲取能力：

(1)掌握RC電路和RL電路的零狀態(tài)響應過程中電壓、電流的變化規(guī)律，以及分析方法；

(2)理解RC電路和RL電路零狀態(tài)響應過程中的能量變化。

如果換路前電路中的儲能元件均未儲能，即電路的初始狀態(tài)為零，換路瞬間電路接通直流激勵，則換路后由外施激勵在電路中引起的響應稱為零狀態(tài)響應。6.3直流激勵下一階電路的零狀態(tài)響應6.3.1RC電路的零狀態(tài)響應

圖6-3-1(a)所示電路中，開關S原置于b位已久，電容已充分放電，電壓UC(0－)＝0。t＝0瞬間將開關S從b換接至a接通直流電壓源US，此后電路進入US通過電阻R向電容C充電的過渡過程。過渡過程中的電壓、電流即為直流激勵下RC電路的零狀態(tài)響應。

對圖6-3-1(b)所示換路后的電路，由KVL得

uR＋uC＝uS

圖6-3-1RC電路接通直流激勵

把

代入上式得

(6-3-1)

這是一個關于變量uC的一階線性常系數(shù)非齊次常微分方程，其完全解由兩部分組成，即

uC＝uCp＋uCh

其中

為原方程(6-3-1)所對應的齊次方程

的通解，而UCp則為原方程的任意一個特解。特解UCp具有和外施激勵相同的形式，現(xiàn)激勵為直流電壓源，故可設特解為一常數(shù)，即

UCp＝K

將其代入原式(6-3-1)得

K＝US

所以，原方程的完全解為

(6-3-2)

其中t＝RC，A則根據(jù)電路的初始狀態(tài)來確定。由于換路前電容已充分放電，電容電壓uC(0－)＝0，根據(jù)換路定律，換路后電路的初始狀態(tài)即

uC(0＋)＝uC(0－)＝0

代入式(6-3-2)得

A＝－US

故得充電過程中的電容電壓

(6-3-3)

式(6-3-3)表明，充電過程中的電容電壓uC(t)由兩個分量組成。其中， 稱為暫態(tài)分量，因為t→∞時 ，說明該分量僅存在于過渡過程中；而US則稱為穩(wěn)態(tài)分量，當t→∞，電路達到新的穩(wěn)態(tài)時，暫態(tài)分量衰減為零，電容電壓即等于這一分量，即uC(∞)＝US，所以穩(wěn)態(tài)分量就是電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，電容電壓的零狀態(tài)響應可表示為

(6-3-4)

進一步不難得到電阻兩端電壓和充電電流分別為

(6-3-5)

(6-3-6)

電阻電壓和充電電流均只含有暫態(tài)分量，它們的穩(wěn)態(tài)分量都等于零。

顯然，電阻電壓和充電電流的零狀態(tài)響應與電容電壓的零狀態(tài)響應變化規(guī)律不同。

式(6-3-3)、式(6-3-4)和式(6-3-5)中的t＝RC為電路的時間常數(shù)，當t＝t時，電容電壓

uC(t)＝US(1－e－1)＝0.632US

可見t在數(shù)值上等于電容電壓充電至穩(wěn)態(tài)值的63.0%所需的時間。和放電時一樣，充電過程進行的快慢取決于時間常數(shù)t，即取決于電阻R和電容C的乘積。過渡過程中uC、uR和iC隨時間變化的曲線如圖6-3-2所示。和放電時一樣，充電過程中的響應也都是時間的指數(shù)函數(shù)。只是其中電容電壓的變化是從零初始值按指數(shù)規(guī)律上升到非零穩(wěn)態(tài)值，而電阻電壓和充電電流都在換路瞬間一躍而為非零初始值(最大)，而后按指數(shù)規(guī)律下降到零穩(wěn)態(tài)值。從理論上說，t→∞時電容電壓才升至穩(wěn)態(tài)值，同時充電電流降至零，充電過程結束。實際上t＝5t時，

uC(5t)＝US(1－0.007)＝0.993US

電容電壓已充電至穩(wěn)態(tài)值的99.3%，可以認為充電過程到此基本結束。

圖6-3-2RC電路的零狀態(tài)響應

例6-3-1

圖6-3-3(a)所示電路中IS＝1Ａ，R＝10W，C＝10mF，換路前開關S是閉合的。t＝0瞬間S斷開，求S斷開后電容兩端的電壓uC、電流iC和電阻的電壓uR，并繪出電壓、電流的變化曲線。

解換路前電容被開關短路，UC(0－)＝0，所以換路后電路的初始狀態(tài)為零，即

UC(0＋)＝UC(0－)＝0

換路后的電路可等效變換成圖6-3-3(b)所示電路。

圖6-3-3例6-3-1用圖電路的時間常數(shù)

t＝RC＝10×10×10－6＝10－4S

等效電路中的電壓源電壓就是換路后電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，即

uC(∞)＝US＝ISR＝1×10＝10V

由式(6-3-4)得

由式(6-3-6)得

或

原電路中電阻R與電容C并聯(lián)，故電阻電壓

電壓、電流的變化曲線如圖6-3-4所示。

圖6-3-4例6-3-1電路的零狀態(tài)響應6.3.2RL電路的零狀態(tài)響應

圖6-3-5(a)所示電路中，開關S未閉合時，電流為零。t＝0瞬間合上開關S，RL串聯(lián)電路與直流電壓源Us接通后，電路進入過渡過程。過渡過程中的電壓、電流即為直流激勵下RL電路的零狀態(tài)響應。

對圖6-3-5(b)所示換路后的電路，由KVL得

以

代入上式得

圖6-3-5RL電路接通直流激勵

(6-3-7)

式(6-3-7)與式(6-3-1)同為一階線性常系數(shù)非齊次常微分方程，其完全解具有相同的形式，通過比較可得

(6-3-8)

其中t＝L/R。由于電路的初始狀態(tài)即(電感)電流的初始值

將其代入式(6-3-8)求得

所以

(6-3-9)

其中，t＝L/R為RL電路的時間常數(shù)，其意義與RC電路的時間常數(shù)相同。t的大小也同樣決定RL電路過渡過程的快慢。與RC電路中電容電壓的零狀態(tài)響應一樣，RL電路中電感電流的零狀態(tài)響應也由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。當t→∞電路達到新的穩(wěn)態(tài)時，電感電流的穩(wěn)態(tài)值

電感電流的零狀態(tài)響應也可表示為

(6-3-10)可見，電感電流的零狀態(tài)響應與電容電壓的零狀態(tài)響應具有相同的變化規(guī)律，因此，可用下面的通式來表示它們：

(6-3-11)

電阻元件和電感元件的電壓分別為

(6-3-12)

(6-3-13)

顯然，電感電壓的零狀態(tài)響應與電感電流的零狀態(tài)響應變化規(guī)律不同。

電壓、電流隨時間變化的曲線如圖6-3-6所示。

由于電感電流不能躍變，因此，換路后iL和電阻電壓uR＝RiR都只能從零初始值按指數(shù)規(guī)律上升到非零穩(wěn)態(tài)值；而電感電壓uL在換路瞬間則從零一躍而為非零初始值(最大)，而后按指數(shù)規(guī)律下降到零穩(wěn)態(tài)值。

圖6-3-6RL電路的零狀態(tài)響應過渡過程中電感的儲能將隨電流的增大而逐漸增加。當t→∞，電路達到穩(wěn)態(tài)時，其儲能為

注意：式(6-3-11)只能用來計算電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應。其他的零狀態(tài)響應只能在求出uC(t)或iL(t)后，再根據(jù)元件的VCR和基爾霍夫定律計算。這是因為，除了電容電壓和電感電流以外，其他電壓、電流在換路瞬間有可能躍變。

例6-3-2

圖6-3-5所示電路中，Us＝18V，R＝500W，L＝5H。當開關S閉合后，求：

(1)穩(wěn)態(tài)電流iL(∞)及iL、UL的變化規(guī)律；

(2)電流增至iL(∞)的63.2％時所需的時間；

(3)電路儲存磁場能量的最大值。

解

(1)電路的時間常數(shù)

電路達到穩(wěn)態(tài)時電流

由式(6-3-10)得

由式(6-3-13)得

(2)當iL＝0.632iL(∞)時，

36(1－e－100t)＝36×0.632

故得

t＝t＝0.01s＝10ms

即換路后10mS電流增至穩(wěn)態(tài)值的63.2%。

(3)因為電路中的電流達到穩(wěn)態(tài)值時最大，所以電感儲存的最大磁場能量為

6-3-1什么是零狀態(tài)響應？一階電路對恒定激勵的所有零狀態(tài)響應變化規(guī)律都一樣嗎？哪些零狀態(tài)響應具有確定的變化規(guī)律？它們是怎樣的規(guī)律？

6-3-2求一階電路對恒定激勵的零狀態(tài)響應時應該先求哪些響應？隨后又如何計算其他的響應呢？思考與練習

學習任務：

(1)一階電路的全響應；

(2)用疊加定理求一階電路的全響應。

獲取能力：

(1)理解全響應的概念；

(2)理解和掌握全響應的兩種分解方法。

本節(jié)討論一階電路的全響應，即一階電路在非零初始狀態(tài)和外施直流激勵共同作用下的響應。6.4一階電路的全響應及其求法6.4.1一階電路的全響應

圖6-4-1所示電路中，開關S閉合前電容已充電至電壓uC(0－)＝U0。t＝0瞬間合上開關后，電路的KVL方程為

上式與式(6-3-1)完全相同，故方程的完全解為

圖6-4-1RC電路接通直流激勵

電路的初始狀態(tài)

UC(0＋)＝UC(0－)＝U0

代入上式，得

A＝U0－Us

故得電容電壓的全響應

(6-4-1)

式(6-4-1)中， 為暫態(tài)分量，t→∞時，

，說明該項僅存在過渡過程中；而US為穩(wěn)態(tài)分量，當t→∞，電路達到新的穩(wěn)態(tài)時，暫態(tài)分量衰減為零，電容電壓即等于這一分量，即UC(∞)＝Us。式(6-4-1)說明

全響應＝穩(wěn)態(tài)分量＋暫態(tài)分量

其中，穩(wěn)態(tài)響應與外施激勵有關，當激勵為恒定(直流)時，穩(wěn)態(tài)響應也是恒定量；暫態(tài)響應總是時間的函數(shù)，其變化規(guī)律與激勵無關。電阻R的電壓

(6-4-2)

電路中的電流

(6-4-3)

過渡過程中UC、UR和i隨時間變化的曲線如圖6-4-2所示。

圖6-4-2RC電路的全響應從圖6-4-2所示曲線可以看出：由于Us＞U0＞0，因此，過渡過程中電容電壓從初始值按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值，即電容進一步充電。如果U0＞Us＞0，或二者一個為正、另一個為負，則過渡過程中電容是充電還是放電呢？請讀者自行分析(例如Us＝6V，U0＝－3V)。6.4.2用疊加定理求一階電路的全響應

式(6-4-1)可改寫成如下形式：

(6-4-4)

不難發(fā)現(xiàn)，上式第一項是RC電路的零響應，而第二項是零狀態(tài)響應?？梢娙憫搅爿斎腠憫銧顟B(tài)響應這說明：一階電路的全響應等于由電路的初始狀態(tài)單獨作用所引起的零輸入響應和由外施激勵單獨作用所引起的零狀態(tài)響應之和。這正是疊加定理的體現(xiàn)。

圖6-4-3例6-4-1用圖

例6-4-1

圖6-4-3所示電路中，US＝100V，R1＝R2＝4W，L＝4H，電路原已處于穩(wěn)態(tài)。t＝0瞬間開關S斷開。

(1)用疊加定理求S斷開后電路中的電流iL；

(2)求電感的電壓uL；

(3)繪出電流、電壓的變化曲線。

解

(1)求過渡過程中的電流iL。

①求零輸入響應。換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，由換路前的電路得

換路后電路的初始狀態(tài)

iL(0＋)＝iL(0－)＝25A

換路后電路的時間常數(shù)

故得電路的零輸入響應

②求零狀態(tài)響應。若初始狀態(tài)為零，則換路后在外施激勵作用下iL從零按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值，即

故得電路的零狀態(tài)響應

③全響應為

iL(t)＝iL￠(t)＋iL2(t)＝25e－2t＋12.5(1－e－2t)

＝12.5(1＋e－2t)A

(2)求電感電壓uL。

uL＝us－(R1＋R2)i＝100－(4＋4)×12.5(1＋e－2t)

＝－100e－2tV

或

(3)電壓、電流的變化曲線如圖6-4-4所示。

圖6-4-4例6-4-1電路的全響應

什么是一階電路的全響應？全響應可作哪兩種分解？思考與練習

學習任務：

一階電路的三要素法。

獲取能力：

理解和掌握用三要素法分析一階電路的全響應。

如上節(jié)所述，求一階電路的全響應，可以根據(jù)疊加定理分別求出電路的零輸入響應和零狀態(tài)響應，然后加以疊加。但更簡便和更常用的計算全響應的方法是一階電路的三要素法。6.5一階電路的三要素法由上節(jié)知道，電容電壓的全響應等于暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應之和，即

(6-5-1)

對于式(6-5-1)，當t＝0＋時即為電容電壓的初始值：

若t→∞則為電容電壓的穩(wěn)態(tài)值：

以UC(0＋)、UC(∞)分別代替式(6-5-1)中的U0、US得

(6-5-2)

可見，只要求出電容電壓的初始值、穩(wěn)態(tài)值和電路的時間常數(shù)，即可由式(6-5-2)寫出電容電壓的全響應。初始值、穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)稱為一階電路的三要素。求出三要素，然后按式(6-5-2)寫出全響應的方法稱為三要素法。不僅求電容電壓可用三要素法，求一階電路過渡過程中的其他響應都可用三要素法。若用f(t)表示一階電路的任意響應，f(0＋)、f(∞)分別表示該響應的初始值和穩(wěn)態(tài)值，則

(6-5-3)

式(6-5-3)即用三要素法求一階電路過渡過程中任一響應的公式。

從式(6-5-3)可見，過渡過程中之所以存在暫態(tài)響應，是因為初始值與穩(wěn)態(tài)值之間有差別［f(0＋)－f(∞)］。暫態(tài)響應的作用就是消滅這個差別——使其按指數(shù)規(guī)律衰減。一旦差別沒有了，電路也就達到了新的穩(wěn)態(tài)，響應即為穩(wěn)態(tài)響應f(∞)。應用三要素法時，一階電路中與動態(tài)元件連接的可以是一個多元件的線性含源電阻單口，這時t＝RC，或t＝L/R中的R應理解為該含源電阻網(wǎng)絡的等效電阻。

例6-5-1

電路如圖6-5-1所示，開關S閉合于a端為時已久。t＝0瞬間將開關從a換接至b，用三要素法求換路后的電容電壓uC(t)，并繪出其變化曲線。

解

(1)求初始值。

由換路前的電路得

根據(jù)換路定律

UC(0＋)＝UC(0－)＝－2V

由換路后的電路求穩(wěn)態(tài)值

(2)求時間常數(shù)。

與電容C相連的含源單口網(wǎng)絡的輸出電阻為

所以，時間常數(shù)

將求出的三要素代入公式(6-5-3)，得

uC(t)的變化是從初始值uC(0＋)＝－2V按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律上升到穩(wěn)態(tài)值uC(∞)＝4V，故其曲線的起點坐標為(0，－2)，漸進線為uC＝4V，據(jù)此繪出uC(t)的變化曲線如圖6-5-2所示。

圖6-5-1例6-5-1用圖圖6-5-2例6-5-1電路的全響應

例6-5-2

圖6-5-3所示電路中，支路電流源Is＝2A，R1＝50W，R2＝75W，L＝0.3H，開關原為斷開。t＝0瞬間合上開關，用三要素法求換路后的電感電流i(t)和電流源u(t)，并繪出其變化曲線。

解

(1)求初始值。

由換路前的電路得

iL(0－)＝0

根據(jù)換路定律

iL(0＋)＝iL(0－)＝0

圖6-5-3例6-5-2的電路

t＝0＋即換路后的最初瞬間，電感支路無電流視為開路，可求得

(2)求穩(wěn)態(tài)值。

達穩(wěn)態(tài)后，視電感為短路，電流源電流全部通過電感，即

i(∞)＝Is＝2A

u(∞)＝0V

(3)求時間常數(shù)。

與電容C相連的含源電阻單口的輸出電阻為

所以時間常數(shù)

將求出的三要素代入公式(6-5-3)得

i(t)、u(t)的變化曲線如圖6-5-4所示。

圖6-5-4例6-5-2電路的響應

什么是一階電路的三要素法？怎樣用三要素法求一階電路的全響應？如何繪制全響應的波形圖？

思考與練習古斯塔夫·羅伯特·基爾霍夫(1824—1887年)，德國物理學家。大學畢業(yè)后，基爾霍夫在柏林大學擔任講師，1850年轉到布雷其勞大學擔任臨時教授，1854年擔任海德堡大學教授。1860年，他提出了光譜分析法，發(fā)現(xiàn)了銫和銣兩種新元素。后來基爾霍夫又提出了天體的光譜分析法，帶領天體物理學進入新紀元。他在1862年發(fā)表的黑體概念，更為20世紀的量子物理發(fā)展奠定了重要的基礎。他的四卷本教科書《數(shù)學物理學講義》更成為了當時德國著名大學的經(jīng)典教材。

RC和RL電路在許多電子設備中都很常用，包括直流電源中的濾波器、數(shù)字通信中的平滑電路、微分器、積分器、延時電路、繼電器電路等等。其中有一些應用場合是利用RC或RL電路的短(或長)時間常數(shù)的優(yōu)點。這里我們將介紹一個一階RL電路應用實例——汽車點火電路。應用與訓練電感要阻止電流快速變化的特征可用于電弧或火花發(fā)生器中，汽車點火電路就用的是這個特性。汽車的汽油發(fā)動機啟動時要求氣缸中的燃料空氣混合體在適當?shù)臅r候被點燃，該裝置為點火塞，如附圖6.1所示，它基本上是一對電極，間隔一定的空氣隙。若在兩個電極間產(chǎn)生一個高壓(幾千伏特)，則空氣隙中將產(chǎn)生火花而點燃發(fā)動機。汽車電池只有12V，怎樣才能得到那么高的電壓呢？此時就需要用一個電感L(點火線圈)。因為電感兩端的電壓是U＝Ldi/dt，所以，若在一個很短的時間內(nèi)使電流變化很大，就可獲得大的di/dt，從而使電感兩端的電壓很高。附圖6.1中，當點火開關閉合時，流過電感的電流逐漸增加而達到其終值，即i＝Us/R，這里Us＝12V，電感電流要充到終值所需的時間是電路時間常數(shù)的5倍，即

附圖6.1汽車點火電路穩(wěn)態(tài)時，i是常數(shù)，di/dt＝0，所以電感兩端的電壓U＝0。若開關突然斷開，電感兩端就形成一個很高的電壓(由于電磁場的快速變化)而在空氣隙中產(chǎn)生火花或電弧，一直到放電過程中電感的能量被消耗為止。上述效應，在實驗室中進行電感電路實驗或研究時，也時有發(fā)生，使人有電擊的感覺，所以必須提醒注意。

【訓練】

汽車點火裝置的電路如附圖6.1所示，其中的螺線管的電阻是4W，電感是6mH，供電電池為12V。試分析開關閉合后，螺線管的終值電流、線圈中儲存的能量和空氣隙的電壓，假設斷開開關要1mS。

(答案：3A、27mJ、18kV)

一、過渡過程和換路定律

1.過渡過程

電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)之間的過程，即為電路的過渡過程。本章小結

2.換路定律

電路的接通或切斷、激勵或參數(shù)的突變等稱為換路。含儲能元件的電路中如果發(fā)生換路，則電路將從換路前的穩(wěn)定狀態(tài)經(jīng)歷一段過渡過程達到另一新的穩(wěn)定狀態(tài)。

實際電路中電容電壓不能躍變，電感電流也不能躍變。uC、iL的這一規(guī)律也適合于換路瞬間，即換路瞬間

uC(0＋)＝uC(0－)

iL(0＋)＝iL(0－)

這就是換路定律。換路定律是確定過渡過程初始值的依據(jù)。

二、一階電路的過渡過程及其三要素法

1．一階電路的時間常數(shù)

只含一個儲能元件的線性電路稱為一階電路，其過渡過程的快慢取決于電路的時間常數(shù)t。RC電路的時間常數(shù)t＝RC；RL電路的時間常數(shù)t＝L／R。如果換路后與動態(tài)元件連接的是一個多元件的線性含源電阻單口，則t＝RC或t＝L/R中的R應理解為該含源電阻單口的輸出電阻。

2．一階電路的全響應

一階電路的全響應即一階電路在非零初始狀態(tài)和外