《電工基礎(chǔ)及測(cè)量》課件第5章

第5章非正弦周期電流電路5.1非正弦周期電流電路5.2非正弦周期電流電路的有效值、平均值和平均功率5.3非正弦周期電流電路的計(jì)算習(xí)題 5.1非正弦周期電流電路

5.1.1非正弦周期信號(hào)

在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，通常會(huì)遇到按非正弦規(guī)律變化的電源和信號(hào)。例如，在電力工程中，交流發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓波形實(shí)際上是一種近似正弦波，如圖5-1所示。電子線路中的信號(hào)源的電壓很多情況下也是非正弦的。例如，收音機(jī)天線同時(shí)接收幾個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)，他們疊加起來卻是非正弦信號(hào)；計(jì)算機(jī)、自動(dòng)控制等技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)大量應(yīng)用的脈沖電路中，電壓和電流的波形是脈沖波、方波，電子示波器中掃描電壓的波形是鋸齒波；在無線電工程和其他電子工程中，由語(yǔ)音、音樂、圖像轉(zhuǎn)換過來的電信號(hào)也是非正弦信號(hào)。常見的非正弦波形，如圖5-2所示。圖5-1交流發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓波形圖5-2非正弦波形圖5.1.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)

從高等數(shù)學(xué)中知道，凡是滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)可分解為傅里葉級(jí)數(shù)。在電工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)通常都滿足這個(gè)條件，因此都可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)。

設(shè)f(t)為一個(gè)非正弦周期函數(shù)，其周期為T，角頻率

則f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

式中，a0為f(t)的直流分量；akcoskwt為余弦項(xiàng)，bksinkwt為正弦項(xiàng)；a0、ak、bk為傅里葉系數(shù)。(5-1)傅里葉系數(shù)(a0、ak、bk)的計(jì)算公式如下:

可見，將周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)，實(shí)質(zhì)上就是計(jì)算傅里葉系數(shù)a0、ak、bk。若把式(5-1)中同頻率的正弦項(xiàng)與余弦項(xiàng)合并，就可以得到傅里葉級(jí)數(shù)的另一種常用表達(dá)方式:(5-2)

式(5-2)與(5-3)要滿足下列關(guān)系：(5-4)(5-3)式(5-3)中，A0是不隨時(shí)間變化的常數(shù)，稱為f(t)的直流分量或恒定分量，它就是f(t)在第一個(gè)周期內(nèi)的平均值；第二項(xiàng)A1msin(wt+q1)，其周期或頻率與原函數(shù)f(t)的周期或頻率相同，稱為基波或一次諧波；其余各項(xiàng)的頻率為基波頻率的整數(shù)倍，分別為二次、三次、…、k次諧波，統(tǒng)稱為高次諧波，k為奇數(shù)的諧波稱為奇次諧波，k為偶數(shù)的諧波為偶次諧波。

將一個(gè)非正弦周期函數(shù)f(t)分解為直流分量和無窮多個(gè)頻率不同的諧波分量之和，稱為諧波分析。此諧波分析可利用式(5-1)～(5-4)進(jìn)行，實(shí)際工程中很少用這種計(jì)算方法，而是直接查有關(guān)資料中的相關(guān)表格，對(duì)照其波形直接查出展開式。電工技術(shù)中常見的幾種周期函數(shù)波形及其傅里葉級(jí)數(shù)展開式如表5-1所示。

由于傅里葉級(jí)數(shù)通常收斂很快，所以在工程實(shí)際中，對(duì)非正弦信號(hào)進(jìn)行諧波分析時(shí)，只取其傅里葉級(jí)數(shù)展開式的前幾項(xiàng)就能滿足其準(zhǔn)確度的要求，所取項(xiàng)數(shù)的多少，應(yīng)根據(jù)波形情況和所需要計(jì)算的精確度來決定。表5-1幾種周期函數(shù)

例5-1求圖5-3所示矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)。

解圖示周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為

根據(jù)式(5-2)得圖5-3例5-3圖

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，coskp=－1，；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，coskp=1，bk=0。

由此可知，該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為

可見，其傅里葉級(jí)數(shù)收斂很快，在實(shí)際分析時(shí)只取前幾項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果就已經(jīng)滿足實(shí)際工程要求了。

5.2非正弦周期電流電路的

有效值、平均值和平均功率

5.2.1有效值

一個(gè)非正弦周期量的有效值，根據(jù)周期量有效值的定義，等于其方均根值。

設(shè)一個(gè)非正弦周期電流i的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為則該電流i(t)有效值應(yīng)為

同理，可得

所以可以得到，非正弦周期量的有效值等于直流分量的平方與各次諧波有效值的平方和的平方根。(5-6)(5-5)

例5-2有一非正弦周期電壓

求電壓的有效值。

解根據(jù)式(5-6)，可得非正弦周期電壓的有效值為

5.2.2平均值

在實(shí)際工程中，不僅用到有效值，還用到平均值。在高等數(shù)學(xué)中，對(duì)于函數(shù)f(t)的平均值的定義為然而，對(duì)于一個(gè)非正弦周期量f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中直流分量為零，僅剩下正弦變化的周期分量，平均值總為零。但為了便于測(cè)量與分析，一般定義周期量的平均值為它的絕對(duì)值的平均值。

在任意一個(gè)周期T的時(shí)間內(nèi)，非正弦周期量A(t)平均值的定義為

(5-7)例如，當(dāng)i(t)=Imsinωt時(shí)，其平均值為

5.2.3平均功率

非正弦周期電路中的平均功率為瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。其定義為

與求非正弦周期量有效值時(shí)的積分類似，不同頻率電壓電流乘積的積分為零，同頻率電壓電流乘積的積分不為零。可得

即非正弦周期電路的平均功率等于各次諧波的平均功率之和(包括直流分量U0I0)。(5-8)同理，非正弦周期電路的無功功率等于各次諧波的無功功率之和，即

非正弦周期電路的視在功率則定義為

應(yīng)當(dāng)注意：視在功率不等于各次諧波的視在功率之和。

非正弦周期電路的功率因數(shù)則定義為(5-9)(5-10)(5-11)

例5-3已知某電路的電壓、電流分別為

求該電路的平均功率、無功功率和視在功率。

解平均功率為

無功功率為視在功率為 5.3非正弦周期電流電路的計(jì)算

非正弦周期電流電路的分析計(jì)算方法，主要是利用傅里葉級(jí)數(shù)將非正弦周期激勵(lì)信號(hào)分解成恒定分量和不同頻率的正弦量之和，然后分別計(jì)算恒定分量和各頻率正弦量單獨(dú)作用下電路的響應(yīng)，最后利用線性電路的疊加原理，就可以得到電路的實(shí)際響應(yīng)。這種分析電路的方法稱為諧波分析法。其分析電路的一般步驟如下：

(1)將給定的非正弦周期激勵(lì)信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù)，并根據(jù)計(jì)算精度的要求，取有限項(xiàng)高次諧波。

(2)分別計(jì)算各次諧波單獨(dú)作用下電路的響應(yīng)。計(jì)算方法與直流電路及正弦交流電路的計(jì)算方法完全相同。對(duì)直流分量，電感元件相當(dāng)于短路，電容元件相當(dāng)于開路；對(duì)各次諧波，電路成正弦交流電路。但應(yīng)當(dāng)注意：由于各次諧波的頻率不同，電感元件、電容元件具有不同的電抗，諧波次數(shù)越高，頻率越大，感抗就越大，容抗就越小。

(3)應(yīng)用疊加原理，將各次諧波作用下的響應(yīng)解析式進(jìn)行疊加。需要注意的是，必須先將各次諧波分量響應(yīng)寫成瞬時(shí)值表達(dá)式才可以疊加，而不能把表示不同頻率的諧波的正弦量的相量進(jìn)行加減。最后所求響應(yīng)的解析式是用時(shí)間函數(shù)來表示的。

例5-4如圖5-4(a)所示電路，已知：uS(t)=10+100

sinwt+50

sin(3wt+30°)V且w=103rad/s，R1=5W,C=100mF，R2=2W，L=1mH。求各支路電流和電源發(fā)出的功率及I2。圖5-4例5-4圖

解

(1)直流分量作用下，電容元件相當(dāng)于斷路，電感元件相當(dāng)于短路，如圖5-4(b)所示，則

(2)基波分量作用下，如圖5-4(c)所示。

(3)三次諧波分量作用下，如圖5-4(d)所示。

(4)疊加

(5)電源發(fā)出的功率通過對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)充分注意到電容元件和電感元件對(duì)不同次諧波的作用。電感元件對(duì)高次諧波具有較強(qiáng)的抑制作用，這是因?yàn)椋C波的次數(shù)越高，在電感元件上產(chǎn)生的感抗(XL=nwL)就越大;同理，電容元件對(duì)高次諧波有暢通的作用。反之，電感元件對(duì)于次數(shù)較低的諧波具有暢通的作用，電容元件對(duì)于次數(shù)較低的諧波具有抑制的作用。同時(shí)，要特別注意電路中所隱含的諧振現(xiàn)象。感抗和容抗對(duì)諧波作用不同的這種特性在工程實(shí)際中被廣泛應(yīng)用。例如，利用電感和電容的電抗隨頻率變化的特點(diǎn)可以組合成各種形式的電路，將這種電路連接在輸入和輸出之間時(shí)，可以讓某些所需要的頻率分量順利地通過而抑制某些不需要的分量，這種電路稱為濾波器電路，如圖5-5所示。濾波器在通信工程中應(yīng)用很廣，一般按照它的功用可以分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。圖5-5濾波器電路圖5-5(a)所示為一個(gè)簡(jiǎn)單的低通濾波器，圖中電感元件對(duì)高頻電流有很強(qiáng)的抑制作用，而電容元件對(duì)高頻電流有很強(qiáng)的分流作用，這樣輸出信號(hào)中的高頻成分小，而低頻成分大。圖5-5(b)所示為最簡(jiǎn)單的高通濾波器，其作用原理可進(jìn)行類似分析。不過，實(shí)際濾波器電路的結(jié)構(gòu)要復(fù)雜得多，如圖5-5所示的簡(jiǎn)單濾波器電路將難以滿足更好濾波特性的要求。

習(xí)題

5.1求如圖5-6所示周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。圖5-6題5.1圖

5.2將如圖5-7所示的方波信號(hào)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。圖5-7題5.3圖

5.3如圖5-8所示，已知二端網(wǎng)絡(luò)的電壓u=311sin314tV，電流i=0.8sin(314t－85°)+0.25sin(942t－105°)A。求該網(wǎng)絡(luò)接收的平均功率。圖5-8題5.3圖

5.4在RLC串聯(lián)電路中，已知R=100W，L=2.26mH，C=10mF，基波角頻率為w=100prad/s，試求對(duì)應(yīng)于基波、三次諧波、五次諧波時(shí)的諧波阻抗。

5.5當(dāng)wL=4W的電感與1/wC=36W的電容并聯(lián)后，外加電壓為u(t)=(18sinwt+3cos3wt)V，求出總電流的解析式和有效值。

5.6如圖5-9所示，電流流過一個(gè)R=20W、wL=30W的串聯(lián)電路，求電路的平均功率、無功功率和視在功率。圖5-9題5.6圖

5.7如圖5-10所示的電路中，已知R=6W，wL=2W，1/wC=18W，u(t)=10+80sin(wt+30°)+18sin3wtV，求電磁系電壓表、電磁系電流