04電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)過程分析

電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析

第四章電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)過程分析江全元浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院小節(jié)目錄4.1

電磁暫態(tài)過程分析概述4.2

集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路4.3

單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解4.5

開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題4.6

非線性元件的計算方法4.1電磁暫態(tài)過程分析概1在電力系統(tǒng)發(fā)生故障或操作后，將產(chǎn)生復(fù)雜的電磁暫態(tài)過程和機(jī)電暫態(tài)過程，前者主要指各元件中電場和磁場以及相應(yīng)的電壓和電流的變化過程，后者則指由于發(fā)電機(jī)和電動機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的變化所引起電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械運(yùn)動的變化過程。雖然電磁暫態(tài)過程和機(jī)電暫態(tài)過程同時發(fā)生并且相互影響，但是要對它們統(tǒng)一分析卻十分復(fù)雜。由于這兩個暫態(tài)過程的變化速度實際上相差很大，在工程上通常近似地對它們分別進(jìn)行分析。例如，在電磁暫態(tài)過程分析中，常不計發(fā)電機(jī)和電動機(jī)的轉(zhuǎn)速變化，而在靜態(tài)穩(wěn)定性和暫態(tài)穩(wěn)定性等機(jī)電暫態(tài)過程分析中，則往往近似考慮或甚至忽略電磁暫態(tài)過程。只有在分析由發(fā)電機(jī)組軸系引起的次同步諧振現(xiàn)象，計算大擾動后軸系的暫態(tài)扭矩等問題中，才不得不同時考慮電磁暫態(tài)過程和機(jī)電暫態(tài)過程。4.1電磁暫態(tài)過程分析概2電磁暫態(tài)過程分析的主要目的在于分析和計算故障或操作后可能出現(xiàn)的暫態(tài)過電壓和過電流，以便對電力設(shè)備進(jìn)行合理設(shè)計，確定已有設(shè)備能否安全運(yùn)行，并研究相應(yīng)的限制和保護(hù)措施。此外，對于研究新型快速繼電保護(hù)裝置的動作原理，故障點(diǎn)探測原理以及電磁干擾等問題，也常需要進(jìn)行電磁暫態(tài)過程分析。由于電磁暫態(tài)過程變化很快，一般需要分析和計算持續(xù)時間在毫秒級以內(nèi)的電壓、電流瞬時值變化情況，因此，在分析中需要考慮元件的電磁耦合，計及輸電線路分布參數(shù)所引起的波過程，有時甚至要考慮線路三相結(jié)構(gòu)的不對稱、線路參數(shù)的頻率特性以及電暈等因素的影響。4.1電磁暫態(tài)過程分析概3電磁暫態(tài)過程的分析方法可以分為兩類，一類是應(yīng)用暫態(tài)網(wǎng)絡(luò)分析儀——TNA（TransientNetworkAnalyzer）的物理模擬方法，另一類是數(shù)值計算（或稱數(shù)字仿真）方法，即列出描述各元件和全系統(tǒng)暫態(tài)過程的微分方程，應(yīng)用數(shù)值方法進(jìn)行求解。隨著數(shù)字計算機(jī)和計算方法的發(fā)展，現(xiàn)在已研究和開發(fā)出一些比較成熟的數(shù)值計算方法和程序。其中由H.W.Dommel創(chuàng)建的電磁暫態(tài)程序——EMTP（ElectromegnaticTransientProgram），經(jīng)過許多人的共同工作進(jìn)行不斷改進(jìn)和完善后，已具有很強(qiáng)的計算功能和良好的計算精度，并包括了發(fā)電機(jī)、軸系和控制系統(tǒng)動態(tài)過程的模擬，使之能用于次同步諧振問題的分析。這一程序已得到國際上的普遍承認(rèn)和廣泛應(yīng)用，并仍在繼續(xù)發(fā)展。小節(jié)目錄4.1

電磁暫態(tài)過程分析概述4.2

集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路4.3

單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解4.5

開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題4.6

非線性元件的計算方法4.2集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路11、電感元件應(yīng)用梯形積分公式轉(zhuǎn)化為差分方程其中：

，由此可作出電感元件的暫態(tài)等值計算電路4.2集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路21、電感元件電感元件的暫態(tài)等值計算電路電感元件的暫態(tài)等值計算電路中，是積分計算中反映電感L的等值電阻，當(dāng)步長

固定時它為定值；是時刻的等值電流源，對于積分的第一個時段，即

時，其按下式計算：

而對于其它時段的等值電流源則可以由前一個時段的計算結(jié)果得到，容易得出等值電流源在其它時段的下列遞推形式：4.2集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路32、電容元件電容元件的暫態(tài)等值計算電路仿照電感元件的方法可導(dǎo)出電容元件的暫態(tài)等值計算電路其中電流源的計算第一個時段其它時段4.2集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路43、電阻元件它直接描述了t時刻電壓和電流之間的關(guān)系，因此，其電路本身就是它的暫態(tài)等值計算電路。以上給出了單個L、C、R元件的暫態(tài)等值計算電路。當(dāng)一集中參數(shù)元件同時含有幾個參數(shù)（例如R、L串聯(lián)）時，可以分別作出它們的暫態(tài)等值計算電路，然后進(jìn)行相應(yīng)的連接。另外．對于并聯(lián)電抗器和并聯(lián)電容器等接地元件，可以在暫態(tài)等值計算電路中令其接地端電壓為零。小節(jié)目錄4.1

電磁暫態(tài)過程分析概述4.2

集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路4.3

單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解4.5

開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題4.6

非線性元件的計算方法4.3單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路1

在電磁暫態(tài)過程分析中，輸電線路分布參數(shù)的影響可以用兩種方法處理：一種是將線路適當(dāng)?shù)胤殖扇舾啥?，每段用Ⅱ型或T型集中參數(shù)電路代替，再將基中的各個參數(shù)用前面介紹的暫態(tài)等值計算電路表示；另一種方法是直接導(dǎo)出并采用線路的暫態(tài)等值計算電路。單根無損線路的暫態(tài)等值計算電路單根無損線路

設(shè)單位長度的電感L0和電容C0均為常數(shù)，則可以列出下列偏微分方程：4.3單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路2單根無損線路的暫態(tài)等值計算電路將上式改寫成二階波動方程二階波動方程式中

為沿線電磁波的傳播速度。二階波動方程的通解為：式中，與有關(guān)的項反映速度為v的前行波，與有關(guān)的項反映速度為v的反行波，為線路的波阻抗。4.3單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路3單根無損線路的暫態(tài)等值計算電路

貝瑞隆應(yīng)用以上兩式所表示的任一點(diǎn)電壓、電流線性關(guān)系，在已知邊界條件和起始條件下計算了線路上的電壓、電流。這里并不直接應(yīng)用貝瑞隆法，而是用

以上兩式推導(dǎo)線路兩端的等值計算電路。分別令

和

，則

，于是得：令上式第一項中,（

為電磁波由線路一端到達(dá)另一端所需的時間）?？傻蒙鲜降谝豁椬?yōu)椋河蒙鲜脚c上上式第二項進(jìn)行比較，可以到出：4.3單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路4單根無損線路的暫態(tài)等值計算電路上式可改寫為其中同理可得其中單根無損線路的暫態(tài)等值計算電路等值電流源的遞推形式：4.3單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路5線路損耗的近似處理在一般情況下，線路絕緣的漏電損耗很小，常忽略不計。至于電暈所引起的損耗則屬于專門研究課題，有興趣的同學(xué)可以參考相關(guān)的文獻(xiàn)。因此，這里限于考慮線路電阻的影響。當(dāng)計及線路分布電阻時，就不能象無損線路那樣導(dǎo)出其簡單的等值計算電路，而在工程計算中往往采用近似的處理方法。例如，在EMTP中，將整個線路適當(dāng)?shù)胤殖蓭锥?，每段視為無損線路，而將各段的總電阻進(jìn)行等分后分別集中在該段無損線路的兩端。顯然，分段數(shù)愈多，則愈接近于分布電阻情況。但根據(jù)計算經(jīng)驗，在一般線路長度下，分為兩段便可滿足工程計算的精度要求。4.3單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路6線路損耗的近似處理如圖所示線路被等分為兩段，并在無損線路

和兩端接入電阻（總電阻為R）后的電路圖。

將無損線用等值計算電路表示后，可得暫態(tài)等值計算電路為避免新增節(jié)點(diǎn)，進(jìn)一步將上述等值計算電路化簡4.3單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路7線路損耗的近似處理等值簡化后的考慮線損的暫態(tài)等值計算電路中的等值電阻和電流源分別為：其中電流源的遞推公式為：小節(jié)目錄4.1

電磁暫態(tài)過程分析概述4.2

集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路4.3

單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解4.5

開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題4.6

非線性元件的計算方法4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解1前面介紹的各種元件，在時刻t的等值計算電路都由等值電阻和電流源組成。當(dāng)電力網(wǎng)由這些元件構(gòu)成時，將各元件的等值計算電路按照電網(wǎng)的實際接線情況進(jìn)行相應(yīng)的連接后，便形成一個由純電阻和電流源組成的網(wǎng)絡(luò)。顯然，這一網(wǎng)絡(luò)反映了t時刻各元件本身及其相互之間的電壓、電流關(guān)系，因此稱它為t時刻的暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)，或簡稱等值計算網(wǎng)絡(luò)。在t時刻外施電源和各等值電流源都已知的情況下，將可以對等值計算網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解，從而得出該時刻各元件的電壓和電流。然后，用所得結(jié)果即可求出

時刻備電流源的取值，再求解相應(yīng)的等值計算網(wǎng)絡(luò)，便可得出

時刻各元件的電壓和電流。這樣，從t=0時刻開始，網(wǎng)絡(luò)電磁暫態(tài)過程的計算，實際上便轉(zhuǎn)化為在各個離散時刻對等值計算網(wǎng)絡(luò)的求解。在計算過程中將涉及到等值計算網(wǎng)絡(luò)的求解方法、等值電流源的計算和外施電源的處理等問題，現(xiàn)依次介紹如下。4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解2等值計算網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)方程在電磁暫態(tài)過程計算中，等值計算網(wǎng)絡(luò)常用以下節(jié)點(diǎn)方程來表示。

對于時刻t，節(jié)點(diǎn)方程中的u為由該時刻各節(jié)點(diǎn)電壓所組成的列向量；i為由各節(jié)點(diǎn)注入電流組成的列向量（每一節(jié)點(diǎn)的注入電流為t時刻等值計算網(wǎng)絡(luò)中與該節(jié)點(diǎn)相連的各等值電流源以及外施電流源的代數(shù)和）；G為等值計算網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣（它由各元件的等值電阻構(gòu)成，其形成方法與潮流計算中形成網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y相仿）。不難看出，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中分布參數(shù)線路用等值計算電路表示時，由于線路兩端無直接聯(lián)系，矩陣G將比Y更為稀疏。因此，上式常用稀疏技巧求解。4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解3等值電流源的計算為了計算電磁暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)方程

，需求出各個時段各元件等值計算電路中的電流源。對于電感元件，其等值計算電路中的電流源計算：對于第一時段：對于其它時段：對于電容元件，其等值計算電路中的電流源計算：對于第一時段：對于其它時段：4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解4等值電流源的計算對于分布參數(shù)線路，計算t=0時刻的電流源時，必須已知

時刻兩端的電壓和電流。為此有兩種典型情況：一種是暫態(tài)過程發(fā)生前線路已充電至某一電壓（對未充電的情況可令

），而兩端電流為零，這時兩端電流源

均為；另一種是暫態(tài)過程前為交流穩(wěn)態(tài)，這時必須先進(jìn)行相應(yīng)的潮流計算，求出兩端電壓和電流的有效值，然后計算并保存電流源在

時的取值。除

時的電流源數(shù)值用于t=0時刻的計算外，其它數(shù)值將依次用于后面的計算。對無損線路，其等值電流源：對考慮了損耗的線路，其等值電流源：4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解5等值電流源的計算以后每計算一步便可求得新的電流源，并可用它對所保存的電流源進(jìn)行更新。實際上，一般

并不是

的整倍數(shù)【設(shè) 】，對此可計算

等時刻的電流源取值，并用插值法求出

時刻的電流源，而當(dāng)，

則可以應(yīng)用電流源的遞推公式。無損線路等值電流源的遞推公式有損線路等值電流源的遞推公式4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解6外施電源的處理

外施電源可能是已知的電流源或電壓源。對于前者，只需簡單地將它計入相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)注入電流。對于已知電壓源，如果有一電阻元件直接與它串聯(lián)，則可以將電壓源和電阻轉(zhuǎn)化為等值電流源。一般的方法是將網(wǎng)絡(luò)方程按已知和未知電壓節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊，使之變?yōu)椋菏街校汉头謩e為未知和已知電壓節(jié)點(diǎn)的電壓、電流向量。顯然為已知量，故由上式可以導(dǎo)出：用上式來求解各未知電壓節(jié)點(diǎn)的電壓

。暫態(tài)過程計算的主要流程

考慮具有外施電壓源并應(yīng)用節(jié)點(diǎn)方程式進(jìn)行計算的情況。顯然，矩陣

是對稱的稀疏矩陣，因此，上式可以用稀疏三角分解進(jìn)行前代和回代運(yùn)算而求解。這樣，綜合以上所介紹的情況，可以得如圖所示的電磁暫態(tài)過程計算流程。(式2-30)4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解7小節(jié)目錄4.1

電磁暫態(tài)過程分析概述4.2

集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路4.3

單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解4.5

開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題4.6

非線性元件的計算方法4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題1在電磁暫態(tài)過程計算中，通常需要考慮系統(tǒng)元件的突然短路、斷路器操作使觸頭閉合或分離、過電壓造成避雷器間隙擊穿或電流過零時電弧熄滅等情況，以及某些情況的相繼發(fā)生。為了處理上述情況，一般在網(wǎng)絡(luò)中對所涉及的短路點(diǎn)、斷路器兩側(cè)和避雷器間隙兩端設(shè)置相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，用節(jié)點(diǎn)之間的閉合或斷開來進(jìn)行模擬。這種節(jié)點(diǎn)間的閉合和斷開統(tǒng)稱為廣義的開關(guān)操作。實際的開關(guān)閉合或斷開過程往往比較復(fù)雜。例如，斷路器在閉合過程中，當(dāng)外施電壓超過觸頭間所能耐受的強(qiáng)度時便發(fā)生預(yù)擊穿現(xiàn)象；而開斷時，在分?jǐn)嚯娀∵^程中，很可能在電流過零以后因觸頭間的恢復(fù)電壓超過其介質(zhì)恢復(fù)強(qiáng)度而發(fā)生電弧重燃現(xiàn)象。此外，避雷器間隙擊穿后所產(chǎn)生的電弧則使間隙兩端存在電弧壓降。4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題2在電磁暫態(tài)過程計算中，通常將開關(guān)的閉合和斷開過程理想化。認(rèn)為一旦閉合，開關(guān)上的壓降立即為零；而斷開后，流過開關(guān)的電流立即為零。常用的開關(guān)模型有以下兩種。（1）時控開關(guān)。開關(guān)在給定時刻閉合；而在給定的斷開時間后，當(dāng)開關(guān)電流的絕對值小于某給定值或在電流過零時斷開。這類開關(guān)常用于模擬斷路器的操作和突然短路。（2）壓控開關(guān)。當(dāng)開關(guān)兩端間的電壓超過某給定值時閉合；而在閉合（或經(jīng)過一給定延遲時間）后，電流第一次過零時斷開?；蛘咴陂]合后，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某處電壓（或其它量）小于某一給定值時斷開。前者常用于模擬間隙擊穿或絕緣子閃絡(luò)，后者則用于非線性元件線性化處理中。4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題3目前處理開關(guān)操作常用的方法是通過修改電導(dǎo)矩陣來模擬開關(guān)操作，具體介紹如下。（一）

用修改節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣處理開關(guān)操作的方法

為了使計算程序簡單，一般希望在處理開關(guān)操作時不改變網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，即不影響節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣的階數(shù)。一種簡單的方法是，對整個暫態(tài)過程中所涉及的開關(guān)，在其兩端節(jié)點(diǎn)間各接入適當(dāng)?shù)碾娮瑁?dāng)開關(guān)處在閉合狀態(tài)時，相應(yīng)的電阻取足夠小的數(shù)值，處在斷開狀態(tài)時則取足夠大的數(shù)值，從而通過修改電阻的取值來模擬開關(guān)操作。但是，這種方法會造成一定的計算誤差?，F(xiàn)在一般采用下面的修改方法。4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題4（1）開關(guān)閉合時節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣的修改

下圖圖(a)為某開關(guān)處于斷開狀態(tài)時,在等值計算網(wǎng)絡(luò)中其兩端節(jié)點(diǎn)k、m與相鄰節(jié)點(diǎn)間連接情況的示意圖.圖(b)表示該開關(guān)閉合的處理方法,即將原來與m點(diǎn)相連的支路改為與k點(diǎn)相連，而新的m點(diǎn)則通過一任意電阻R接至節(jié)點(diǎn)k。這樣，既反映了開關(guān)的閉合又不減少節(jié)點(diǎn)數(shù)。相應(yīng)地,節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣的修改步驟為：（1）將原電導(dǎo)矩陣的第m行和第m列元素分別加到第正行和第五列對應(yīng)的元素上，再對元素

追加1/R。（2）將第m行和第m列的元素全部置零，然后令

很明顯，若上述m點(diǎn)的編號小于節(jié)點(diǎn)忌的編號，則可略為節(jié)省矩陣三角分解的計算時間和存貯量。另外，作如上電導(dǎo)矩陣修改時，應(yīng)相應(yīng)地將原來注入m點(diǎn)的電流源改為注入節(jié)點(diǎn)k。

4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題5（1）開關(guān)閉合時節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣的修改

如果開關(guān)一端m點(diǎn)原為接地點(diǎn)，如右圖(a)所示，則其處理方法如圖(b)所示。

對此，修改節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣的步驟為：①將矩陣第k行和第k列的全部元素置零；②令（2）開關(guān)斷開的處理

由于開關(guān)是在其中電流過零時才斷開，所以首先需要確定電流過零的時間。為此，在接到斷開信息后，仍需繼續(xù)進(jìn)行該開關(guān)處在閉合狀態(tài)下的暫態(tài)過程數(shù)值計算，直至相繼的兩個計算時刻流過開關(guān)的電流變號為止，然后用插值法求出電流過零時間。為了不改變計算步長，可以取靠近此電流過零時間的計算時刻作為開關(guān)的實際斷開時間。這一方法不難推廣到斷開條件為開關(guān)電流絕對值小于某給定值時的情況。4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題6（2）開關(guān)斷開的處理

為了得到開關(guān)斷開后的節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣，應(yīng)首先形成并保存所有開關(guān)在斷開狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣。這樣，當(dāng)某一開關(guān)斷開時，只要對當(dāng)時處在閉合狀態(tài)下的其它各個開關(guān)，用前述方法依次對這一電導(dǎo)矩陣進(jìn)行修改，最后便可得出所要求的電導(dǎo)矩陣。（二）

開關(guān)操作可能引起的數(shù)值振蕩問題

在某些特殊情況下，由于開關(guān)操作，可能使暫態(tài)過程計算結(jié)果出現(xiàn)數(shù)值振蕩。下面以右圖(a)所示情況為例加以說明，假定在計算時刻t0，流過電感的電流正好過零，這時開關(guān)實際斷開。電感電流在過零前后的變化曲線如圖(b)所示。在此情況下，斷開后第一步長的梯形積分計算式為：見下頁4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題7由于對第二步長，計算結(jié)果為：對第一步長依此類推。這樣，電感電壓在開關(guān)斷開后將呈現(xiàn)的數(shù)值振蕩，而

的準(zhǔn)確解應(yīng)為零。顯然，這種數(shù)值振蕩現(xiàn)象不是數(shù)值不穩(wěn)定。如果在輸出計算結(jié)果時取相鄰兩步長計算結(jié)果的平均值，將可得出準(zhǔn)確結(jié)果。出現(xiàn)上述數(shù)值振蕩的原因是在計算時刻

前后瞬間(和)電感電流的變化率

產(chǎn)生突變，使電感電壓由

突變?yōu)?，前者為到積分步長的計算結(jié)果，而后者等于零。由于在斷開后的第一積分步長計算中，一般未考慮這種突變情況[即在式#中用

作為]，從而造成數(shù)值振蕩。如果取

來計算式#中的等值電流源，便能得出正確結(jié)果。式#原因分析4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題8

一般地說，當(dāng)開關(guān)操作使電感兩端壓降或流過電容的電流產(chǎn)生突變時，將可能出現(xiàn)數(shù)值振蕩現(xiàn)象。雖然這種情況在實際上并不多見，但一旦發(fā)生，便會影響計算結(jié)果。

消除數(shù)值振蕩的方法有多種。一種方法是在發(fā)生開關(guān)操作后的第一個積分步長改用后退歐拉法。對于微分方程：在到位步長內(nèi)的后退歐拉法積分公式為：相應(yīng)地，電感元件在一個步長內(nèi)的計算式為：

由于對應(yīng)于開關(guān)操作后的第一個積分步長

到，上式中將不包含，因此可以避免數(shù)值振蕩。4.5開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題9

為了在應(yīng)用后退歐拉法時仍保持原來電感的暫態(tài)等值電阻，

以免重新形成暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣，可將該步長分為兩個的積分步長，它們的后退歐拉法計算式分別為：上式中的等值電流源為：與之前采用隱式梯形積分得到的計算式相比，可以看出，在采用后退歐拉法進(jìn)行兩個

步長計算時，只是等值電流源的計算公式有所不同。顯然，網(wǎng)絡(luò)中其它元件的計算公式也都應(yīng)作相應(yīng)的改變。小節(jié)目錄4.1

電磁暫態(tài)過程分析概述4.2

集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路4.3

單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆等值計算電路4.4暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的形成及求解4.5

開關(guān)操作處理及數(shù)值振蕩問題4.6

非線性元件的計算方法4.6非線性元件的計算方法1

非線性元件的參數(shù)隨其電流、電壓乃至頻率等運(yùn)行參數(shù)的變化而變化。例如，避雷器具有非線性電阻，變壓器和電抗器具有非線性電感。此外，輸電線路的電阻、電感是頻率的函數(shù)，而其等值電容在發(fā)生電暈后則是電壓的函數(shù)。下面僅介紹非線性電阻和電感元件的計算方法。

(一)非線性元件1、非線性電阻

無間隙的氧化鋅避雷器和帶間隙的碳化硅避雷器，其閥片的非線性伏安特性一般可近似地表示為：式中：c為與閥片尺寸和材料有關(guān)的常數(shù)；a為與閥片材料有關(guān)的恒定指數(shù)。

在暫態(tài)過程計算中，氧化鋅避雷器可以用一個反映上式電流、電壓關(guān)系的非線性電阻來進(jìn)行模擬，碳化硅避雷器則可模擬成非線性電阻與一壓控開關(guān)的串聯(lián)。當(dāng)然，這種模型是很近似的，因為閥片的動態(tài)伏安特性與上式有所不同，而間隙中的電弧壓降特性則更為復(fù)雜。4.6非線性元件的計算方法22、非線性電感

電抗器和變壓器鐵芯的飽和現(xiàn)象使電抗器的電感和變壓器的勵磁電感為電流的函數(shù)，磁鏈和電感與電流間的非線性特性如右圖所示。當(dāng)計及鐵芯的磁滯和渦流損耗時，磁鏈與電流之間的關(guān)系

將呈現(xiàn)圖(a)中實線所示的磁滯回線形狀。為了模擬這一磁滯回線，可以采用圖(b)所示的等值電路。其中，非線性電感模擬圖(a)中虛線所示的平均磁化曲線,而并聯(lián)電阻則用于反映的左、右偏移，其原理解釋如下。4.6非線性元件的計算方法3對于上述計及了鐵芯的磁滯和渦流損耗的電抗器和變壓器的等值電路，其解釋如下：當(dāng)非線性電感中的磁鏈增加時，等值電路中的電壓

，相應(yīng)地在R中的電流

，使總電流，從而說明R可以反映磁化曲線的向右偏移，即磁滯回線中的磁鏈上升部分；相反，磁鏈減少時，因，有，使，即反映了磁滯回線中的磁鏈下降部分。這樣，對于某一磁鏈以及相應(yīng)的電壓

，為了準(zhǔn)確模擬磁滯回線，

的絕對值應(yīng)正好等于該磁鏈下回線寬的一半，即R的取值應(yīng)為：

顯然，對于不同的磁鏈以及電壓值，R應(yīng)取不同的數(shù)值才能準(zhǔn)確地模擬整個磁滯回線。

在磁鏈及電壓波形為純正弦的情況下，當(dāng)

時，電壓為最大值

，且。由上式知，R應(yīng)為：4.6非線性元件的計算方法4對于

的其它取值，也可根據(jù)對應(yīng)的u和，求出相應(yīng)的R。但實際計算結(jié)果表明，它們之間的差別不大。因此，通常取R為恒定電阻，其值由上式?jīng)Q定，式中的w取工頻下的角頻率w0。當(dāng)然，也可取R為非線性電阻使結(jié)果更為精確。

(二)分段線性化

當(dāng)考慮上述非線性元件時，描述暫態(tài)過程的方程中將含有非線性方程。對此，仍可應(yīng)用梯形積分法，只是由于非線性差分方程的出現(xiàn)，需要采用迭代法進(jìn)行求解，使計算工作量增大。一種近似的方法是將元件的非線性特性用折線代替，這樣可以保留暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)的線性特性，下面先介紹這種方法。1、非線性電阻的分段線性化

所示為用三段折線代替非線性電阻伏安特性（u>0）的情況。圖中折線的方程式為：4.6非線性元件的計算方法5

由上述關(guān)系式，并考慮到整個伏安特性對稱于原點(diǎn)，可以得出圖（b）所示的等值電路。其中，開關(guān)

在

時閉合，并在

時斷開；開關(guān)

在

時閉合，并在

時斷開；電壓源和在u>0時取正值，而在u<0時取負(fù)值。電阻

和由下列兩式?jīng)Q定：

這樣，非線性電阻便轉(zhuǎn)化為由一些已知電壓源、恒定電阻和開關(guān)所組成的電路。4.6非線性元件的計算方法62、非線性電感的分段線性化處理如圖(a)所示為用兩段折線代替非線性電感磁化曲線（部分）時的情況。圖中折線的方程式為：同理，考慮到整個磁化曲線與原點(diǎn)對稱，由折線方程可以得出非線性電感的等值電路，如圖(b)所示。其中，開關(guān)S在

時閉合，并在

時斷開。電感

與L1、L2之間的關(guān)系為：顯然，用分段線性化方法處理非線性電阻和電感時，所采用的分段數(shù)愈多則結(jié)果愈精確。但在大多數(shù)情況下，用少量的分段數(shù)便足以滿足工程需要的精度。4.6非線性元件的計算方法7

分段線性化方法的缺點(diǎn)是，在計算中會產(chǎn)生“過沖”現(xiàn)象。如右圖所示，若在某一計算時刻的計算結(jié)果對應(yīng)于圖中的a點(diǎn)，經(jīng)過一個步長后計算結(jié)果到達(dá)b點(diǎn)，這時越過了第一折線段的范圍，顯然以后的計算將沿著圖中的虛線進(jìn)行，這樣就引起了誤差。為了減小這種“過沖’，誤差，可以適當(dāng)?shù)販p小積分步長。

(三)補(bǔ)償法

通常，當(dāng)直接考慮元件的非線性特性時，需要用迭代法求解差分方程，即求解相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)方程。實際上，電力系統(tǒng)中多數(shù)元件可以認(rèn)為是線性的，只在少量節(jié)點(diǎn)上接有非線性元件。因此，在每一步長的計算中，可以將線性網(wǎng)絡(luò)部分與非線性元件部分分開，再將線性網(wǎng)絡(luò)化簡，然后與非線性元件部分進(jìn)行迭代求解，這樣將可以減少計算工作量。這種方法類似于支路開斷潮流計算中所用的補(bǔ)償法。4.6非線性元件的計算方法8

下面以網(wǎng)絡(luò)中含有兩個非線性電阻的情況為例，介紹在

到t步長中的計算步驟。第一步：形成線性網(wǎng)絡(luò)部分的端口方程在時刻t，暫態(tài)等值計算網(wǎng)絡(luò)可以畫成圖(a)所示的形式，其中，有源線性網(wǎng)絡(luò)部分由所有線性元件的等值計算電路及外施電源所組成，非線性電阻分別接于端口I（節(jié)點(diǎn)i、j之間）和端口Ⅱ（節(jié)點(diǎn)k，l之間）?，F(xiàn)在，斷開所有的非線性電阻，單獨(dú)考慮圖(b)中的有源線性網(wǎng)絡(luò)部分。顯然，這一網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)方程仍可表示為式

的形式，但應(yīng)注意，其中的

已不是節(jié)點(diǎn)的實際電