經(jīng)典功率譜估計(jì)

一章經(jīng)典譜估計(jì)11.1概述11.2自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)11.3經(jīng)典譜估計(jì)的基本方法11.4經(jīng)典譜估計(jì)的質(zhì)量11.5經(jīng)典譜估計(jì)的改進(jìn)11.6經(jīng)典譜估計(jì)算法比較11.7短時(shí)傅里葉變換2021/6/271請抓住并搞清楚如下四個(gè)問題：功率譜為什么要估計(jì)？如何估計(jì)？如何評價(jià)估計(jì)質(zhì)量？如不理想，如何改進(jìn)？11.1概述2021/6/272平穩(wěn)隨機(jī)信號功率譜的兩個(gè)定義：隨機(jī)信號的單個(gè)樣本求均值運(yùn)算求極限運(yùn)算集總平均兩者等效2021/6/273平穩(wěn)信號單一樣本可將看作能量信號，因此，可對它作傅立葉變換，并得到功率譜：問題：的功率譜和單個(gè)樣本的功率譜有何關(guān)系？和整個(gè)隨機(jī)信號的功率譜有何關(guān)系？截短2021/6/2741.求極限：2.求均值：單一樣本的功率譜不能收斂到所有樣本的功率譜，因此必須有求均值運(yùn)算，此即如下定義的來歷：各態(tài)遍歷信號也是如此。2021/6/275雙求和變成單求和：證明了兩個(gè)公式等效。所以自相關(guān)函數(shù)是集總自相關(guān)。證明：2021/6/276功率譜的兩個(gè)定義都要求：樣本無窮多，時(shí)間無限長，即需要集總平均。功率譜估計(jì)：古老而又年輕的話題！實(shí)際工作中，我們往往能得到的是：

1.單一的樣本；

2.單一樣本的有限長數(shù)據(jù)；問題：如何用這單一樣本的有限長數(shù)據(jù)去估計(jì)原隨機(jī)信號真實(shí)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜？2021/6/2772021/6/27811.2自相關(guān)函數(shù)估計(jì)目的：自身估計(jì)的需要； 功率譜估計(jì)的需要集總自相關(guān)時(shí)間自相關(guān)定義：2021/6/279實(shí)際求出的自相關(guān)函數(shù)近似質(zhì)量如何？EstimationEstimateEstimator（估計(jì)子）估計(jì)方法：從估計(jì)方法上看，實(shí)際上是把隨機(jī)信號“視為”單樣本有限長的確定性信號。問題是：2021/6/2710偏差自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的質(zhì)量：估計(jì)方法單個(gè)樣本1.偏差來自定義所有樣本2021/6/2711所以：含義？漸近無偏估計(jì)對固定的N，此結(jié)論給出了m的選取原則2021/6/2712在數(shù)據(jù)上加矩形窗，長度為N

，該矩形窗函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)正是三角窗！注意矩形窗加在數(shù)據(jù)上，三角窗加在相關(guān)函數(shù)上，體現(xiàn)在估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)的均值上。那兒來的三角窗？2021/6/2713方差2.方差來自定義包含兩項(xiàng)前面結(jié)果四階統(tǒng)計(jì)量！2021/6/2714由：最后導(dǎo)出：有：漸近一致估計(jì)零均值高斯分布2021/6/27153.自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算已知單個(gè)樣本的N

點(diǎn)數(shù)據(jù)估計(jì)兩個(gè)方法:（1）直接按定義：最大長度2021/6/2716（2）利用FFT：Step1:將補(bǔ)個(gè)零得;Step2:對做FFT,得；Step3:對求幅平方，得；Step4:由得，對其作IFFT,得。思考：和有何關(guān)系？2021/6/2717自相關(guān)函數(shù)的另一個(gè)估計(jì)方法（估計(jì)子）：很容易證明：是的無偏估計(jì)，但方差性能不好。在一些譜估計(jì)的方法中，有時(shí)用到該公式。要求：很好掌握自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)方法及估計(jì)性質(zhì)。2021/6/271811.3經(jīng)典譜估計(jì)問題的提出：對隨機(jī)信號，我們往往只能得到它的：

1.單一的樣本；并且僅是

2.單一樣本的有限長數(shù)據(jù)；

如何用這N數(shù)據(jù)去估計(jì)原隨機(jī)信號真實(shí)的功率譜？2021/6/27191.周期圖（Periodogram）法：經(jīng)典譜估計(jì)中有兩個(gè)基本的方法：思路：對做DTFT(DFT),得到頻譜；對該頻譜求幅平方，再除以N，即得到“周期圖”功率譜，以此作為對真譜的估計(jì)。2021/6/27202.自相關(guān)（Blackman-TukeyBT法）法:Step1Step2因?yàn)橄纫烙?jì)自相關(guān)函數(shù)，所以又稱間接法。與此相對應(yīng)，周期圖法又稱直接法。2021/6/27213.直接法和間接法的關(guān)系：需要考慮兩種情況：

（一）

（二）數(shù)據(jù)的范圍自相關(guān)函數(shù)的范圍2021/6/2722

（一）比較用兩種方法的估計(jì)出的離散譜：2N點(diǎn)的譜，把所能估計(jì)出的自相關(guān)函數(shù)都使用上了，而估計(jì)自相關(guān)函數(shù)時(shí)，把N

點(diǎn)數(shù)據(jù)也全都使用上了。2021/6/2723對補(bǔ)N個(gè)零，做DFT,得到IFFT

結(jié)論：在時(shí)，直接法和間接法估計(jì)的結(jié)果是一樣的。？使用間接法時(shí)，往往取 ，這時(shí)二者是不一樣的。因此，直接法可看作是間接法的特例。2021/6/2724不補(bǔ)零，思考：即：N點(diǎn)離散譜如何和相等？N點(diǎn)離散譜2021/6/2725

（二）所以：加在自相關(guān)函數(shù)上。目的是將其截短。第二次加窗。相當(dāng)于只用了部分自相關(guān)函數(shù)2021/6/2726直接法和間接法之間的關(guān)系2021/6/272711.4經(jīng)典譜估計(jì)的質(zhì)量也分兩種情況討論主要考察的是均值方差無偏估計(jì)一致估計(jì)？（一）、周期圖和自相關(guān)法是等效的，統(tǒng)一考慮2021/6/27281.偏差估計(jì)值的均值自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的性質(zhì)2021/6/2729于是有：的真實(shí)功率譜；的頻譜；的頻譜；三角窗；注意：三角窗頻譜恒為正2021/6/2730最后有：由于如何理解這一結(jié)果？2021/6/2731所以：周期圖和自相關(guān)法都是漸近無偏估計(jì)因?yàn)椋?021/6/27322.方差又遇到四階矩問題，直接求解困難。（1）假定是高斯零均值的隨機(jī)過程；思路：（2）求在處的協(xié)方差：定義：2021/6/2733有關(guān)方差公式的推導(dǎo)不作要求。主要是掌握結(jié)論，并用來說明問題。（3）令，則求解的關(guān)鍵2021/6/2734推導(dǎo)的結(jié)果：方差（1）時(shí)經(jīng)典功率譜估計(jì)不是一致估計(jì)2021/6/2735解釋：2021/6/2736推導(dǎo)的結(jié)果：協(xié)方差

假定在主瓣外為零；

那么，在頻率范圍內(nèi)：有（2）若的主瓣寬度為；2021/6/27372021/6/2738在

處，說明：隨機(jī)變量在處不相關(guān);原因：功率譜的定義中即要求極限，又要求均 值；而實(shí)際的估計(jì)方法，僅靠單次實(shí)現(xiàn) 的有限長，無極限、又無均值運(yùn)算，因 此產(chǎn)生上述問題。設(shè)想：增大數(shù)據(jù)長度，效果如何？后果：使估計(jì)出的譜曲線起伏加??；2021/6/2739

增大，的主瓣（）將變窄，因此，引起不相關(guān)的區(qū)域進(jìn)一步增多，從而引起譜曲線的更加起伏，實(shí)際上是方差變大。分辨率和方差（體現(xiàn)在曲線起伏上），是經(jīng)典譜估計(jì)中的一對矛盾。通常，增加，會(huì)提高譜的分辨率，對經(jīng)典譜估計(jì)來說，增加固然會(huì)有利于提高分辨率，但譜曲線的起伏令使用者難以接受，這是經(jīng)典譜估計(jì)的一個(gè)致命缺點(diǎn)。2021/6/2740對白噪聲在不同長度情況下估計(jì)出的譜曲線：N＝16N＝32N＝64N＝1282021/6/2741經(jīng)典譜估計(jì)質(zhì)量的討論：(二)、：加在估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)上，周期圖譜估計(jì)和自相關(guān)法的譜估計(jì)不再一樣！2021/6/27421.偏差誰的主瓣比較寬?2021/6/2743假定1：是慢變譜，在的主瓣內(nèi)近似為一個(gè)常數(shù)假定2

窗函數(shù)的一般要求也是漸近無偏估計(jì)！2021/6/27442.方差：考慮特殊情況，為白噪序列，其功率譜應(yīng)為常數(shù)，即

時(shí)對白噪聲功率譜估計(jì)的方差

時(shí)對白噪聲功率譜估計(jì)的方差2021/6/2745

：方差改進(jìn)之比兩種情況下估計(jì)的方差之比：?取哈明窗：2021/6/27461.在加上后，估計(jì)的譜的偏差劣于M=N－1時(shí)估計(jì)的譜，而方差優(yōu)于M=N－1時(shí)估計(jì)的譜；

（2）在的范圍上，因?yàn)锽變大，不相關(guān)的點(diǎn)變少。2.上加窗以后，估計(jì)譜方差的改進(jìn)體現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1）估計(jì)的譜曲線變得平滑些結(jié)論：2021/6/2747原主瓣寬，取決于現(xiàn)主瓣寬，取決于3.方差的減小是以犧牲分辨率為代價(jià)的！

若分辨率能滿足要求，這樣做是有意義的。即：既保證了分辨率，又使估計(jì)出的譜較為平滑。2021/6/274811.5直接法估計(jì)的改進(jìn)任務(wù)：改進(jìn)對估計(jì)的性能；目標(biāo)：主要是改進(jìn)方差的性能方法：平滑與平均；用對的加窗來實(shí)現(xiàn)1.平滑（Smoothing)平滑2021/6/2749

理論依據(jù):L個(gè)獨(dú)立同分布隨即變量和的分布，方差減小倍，即：將一個(gè)較長的信號分成若干段，對每一段求功率譜，每一段的功率譜都是隨機(jī)變量，然后平均之。類似相干平均，用以彌補(bǔ)經(jīng)典譜估計(jì)中缺少的求均值運(yùn)算。注意：信號應(yīng)是平穩(wěn)的，且每一段的統(tǒng)計(jì)特性基本一樣。2.平均（Average）2021/6/2750（1）.Bartlett平均將分成段，每段點(diǎn)，即2021/6/2751每一段譜平均后譜平均后估計(jì)出的功率譜的性能如何？在數(shù)據(jù)上加了數(shù)據(jù)窗寬度是結(jié)果，在自相關(guān)函數(shù)上引入了窗函數(shù)2021/6/2752：的自相關(guān)；類似引入的統(tǒng)計(jì)性能分析：（1）偏差增大，分辨率進(jìn)一步下降；（2）方差減小，但到不了倍？2021/6/27532.Welch平均特點(diǎn)：交疊分段若重疊一半，段數(shù)變大2021/6/2754：不一定是矩形窗，如Hamming窗歸一化因子，保證無偏估計(jì)Welch平均是常用的經(jīng)典譜估計(jì)方法，MATLAB中有相應(yīng)的命令2021/6/2755Welch平均法的方差比Barttlett方法有明顯的減小，而偏差幾乎沒有減小3.Nottall法：平滑與平均相結(jié)合假定1：是慢變譜，在的主瓣內(nèi)近似為一個(gè)常數(shù)）假定22021/6/27562021/6/2757H(z)H(z)11.6總結(jié)與比較請掌握如下的方法：白噪聲1白噪聲2兩個(gè)輸出都是隨機(jī)信號

由自己指定2021/6/2758令：則：構(gòu)成一復(fù)信號得到的功率譜；在的基礎(chǔ)上再加上四個(gè)復(fù)正弦，歸一化頻率分別是：2021/6/2759調(diào)整，可以得到不同的信噪比，本例取這樣，的真實(shí)功率譜可得到，并可畫出。我們可以此作為比較各種算法的依據(jù)。實(shí)際工作中，對信號總?cè)∮邢揲L，如 ，由這128點(diǎn)去“求”功率譜，得到的當(dāng)然是估計(jì)值。2021/6/2760（a）真實(shí)譜；（b）周期圖；（c）Welch平均，四段，無迭合，Hamming窗；（d）同c,但迭合16點(diǎn)2021/6/2761（e）BT法，M＝32；（f）BT法，M＝162021/6/2762經(jīng)典功率譜估計(jì)的特點(diǎn)：1.物理概念明確，可用FFT快速算法。所以是大眾化的譜估計(jì)方法；2.對周期圖，分辨率受到的限制；對自相關(guān)法，分辨率受到的限制；3.方差性能不好，不是一致估計(jì)，N

增大時(shí)譜曲線反而起伏加劇；2021/6/27634.改進(jìn)方法是“平滑”與“平均”，改進(jìn)的目的是減小方差，但犧牲了分辨率；5.注意窗函數(shù)的作用與影響：加在數(shù)據(jù)上的窗函數(shù)：產(chǎn)生加在自相關(guān)函數(shù)上的延遲窗：各個(gè)窗函數(shù)的作用及影響是什么？2021/6/276411.7短時(shí)傅里葉變換平穩(wěn)信號：均值、方差及均方都不隨時(shí)間變化，自相關(guān)函數(shù)僅和兩個(gè)觀察時(shí)間的差有關(guān)，和觀察的具體位置無關(guān)；非平穩(wěn)信號：均值、方差都隨時(shí)間變化，自相關(guān)函數(shù)也和觀察的時(shí)間位置有關(guān)，信號的頻率也隨時(shí)間而變化，如語音、腦電及其他含有較多突變分量的信號。其一階、二階統(tǒng)計(jì)量和功率譜的估計(jì)顯然不能簡單地使用平穩(wěn)信號的估計(jì)方法，必須考慮其時(shí)變因素。方法：分段，每一小段可看作是平穩(wěn)的。2021/6/2765概念：其STFT定義為:并且窗函數(shù)應(yīng)取對稱函數(shù)。

式中2021/6/2766τx(τ)0FTFTFTΩ02021/6/2767譜圖是恒正的，且是實(shí)的。

概念：“譜圖（spectrogram）”由于所以譜圖是信號能量的分布?？紤]是隨機(jī)信號的一個(gè)樣本，譜圖可實(shí)現(xiàn)信號功率譜的估計(jì)。注意，它們是