Z+Z《超級(jí)畫板》培訓(xùn)講義

Z+Z《檢恐國(guó)極》楮制餅文

（初中數(shù)學(xué)教師適用）

梏薇（廣州）熬學(xué)技由中芯

2011年03月

Z+Z智能教育平臺(tái)《超級(jí)畫板》廣州地區(qū)綜合應(yīng)用項(xiàng)目

目錄

第一部分超級(jí)畫板之動(dòng)忠教學(xué)入門..........................3

1.1認(rèn)識(shí)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)............................................................3

1.2動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)工具平臺(tái)........................................................3

1.3通過兩個(gè)實(shí)例入門........................................................5

1.4動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的構(gòu)圖規(guī)則.................................................11

第二部分幾何圖形與變換..................................13

2.1經(jīng)過一點(diǎn)的直線.........................................................13

2.2三角形的三條高線.......................................................14

2.3測(cè)量三角形的內(nèi)角和.....................................................16

2.4三角形內(nèi)角和等于平角的直觀說明........................................17

2.5勾股定理的直觀說明*....................................................20

2.6在平面上滾動(dòng)的車輪.....................................................25

2.7圓在圓上滾動(dòng)*..........................................................27

2.8翻折得到軸對(duì)稱圖形.....................................................30

2.9等分圓周設(shè)計(jì)的圖案.....................................................32

2.10直線與圓的位置關(guān)系....................................................34

2.11圓與圓的位置關(guān)系......................................................36

2.12研究圓塞定理..........................................................38

2.13制作七巧板游戲........................................................40

2.14勾股樹*...............................................................43

2.15二叉樹*...............................................................47

2.16多邊形的密鋪*.........................................................50

2.17密鋪曲線*.............................................................53

2.18平面中的變換*.........................................................58

第三部分函數(shù)及圖像......................................70

3.1二次函數(shù)的圖像.........................................................70

3.2反比例函數(shù)的圖像.......................................................74

3.3參數(shù)方程曲線...........................................................76

3.4極坐標(biāo)方程曲線.........................................................79

3.5分段函數(shù)的圖像.........................................................80

3.6描點(diǎn)連線畫函數(shù)圖像*....................................................84

3.7美麗的玫瑰線*..........................................................86

第四部分運(yùn)算與代數(shù)......................................89

4.1比較y=xA3與尸3Ax增長(zhǎng)的快慢...........................................89

4.2國(guó)王需要付出多少小麥...................................................91

4.3閏年的規(guī)則是如何產(chǎn)生的.................................................94

4.4如何計(jì)算根號(hào)2...................................................................................................................95

第五部分算法與編程......................................97

Z+Z智能教育平臺(tái)《超級(jí)畫板》廣州地區(qū)綜合應(yīng)用項(xiàng)目

5.1超級(jí)畫板的程序語言.....................................................97

5.2了解系統(tǒng)中的函數(shù)......................................................102

5.3求最大公約數(shù)的程序....................................................107

5.4判斷是否為閏年的程序..................................................109

5.5模擬隨機(jī)拋硬幣實(shí)驗(yàn)的程序..............................................111

第六部分概率與統(tǒng)計(jì)......................................113

6.1隨機(jī)得到一個(gè)100以內(nèi)的自然數(shù)..........................................113

6.2模擬隨機(jī)拋硬幣實(shí)驗(yàn)....................................................114

6.3模擬隨機(jī)擲骰子實(shí)驗(yàn)*...................................................121

6.4隨機(jī)拋豆實(shí)驗(yàn)估計(jì)圓周率兀..............................................124

6.5模擬轉(zhuǎn)盤游戲*.........................................................128

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Z+Z智能教育平臺(tái)《超級(jí)畫板》廣州地區(qū)綜合應(yīng)用項(xiàng)目

第一部分超級(jí)畫板之動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)入門

1.1認(rèn)識(shí)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)

“任意三角形A8C...”、“點(diǎn)尸在圓上。上運(yùn)動(dòng)過程中…”、“周長(zhǎng)固定的長(zhǎng)方形”…，這些

都是我們常用的幾何語言。這些語言所對(duì)應(yīng)的情景，在傳統(tǒng)教學(xué)手段下，只能要求學(xué)生充分

發(fā)揮想象能力。相對(duì)于我們所生活的多姿多彩的空間而言，高度抽象化了的語言以及圖形對(duì)

于剛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)生來說是難以接受的。

計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使這種現(xiàn)象漸漸發(fā)生改變。利用計(jì)算機(jī)所作的圖形不僅直觀、形象，而且

具有動(dòng)態(tài)性，易于觀察和理解。

若利用計(jì)算機(jī)所作的幾何圖形，在被拖動(dòng)過程中仍保持幾何性質(zhì)不變，如三角形還是三

角形、圓上的點(diǎn)還是圓上的點(diǎn)、平行還是平行、垂直還是垂直、中點(diǎn)還是中點(diǎn)…，那么這樣

的圖形就稱為動(dòng)態(tài)幾何圖形。

構(gòu)造動(dòng)態(tài)幾何圖形的計(jì)算機(jī)軟件，就叫做動(dòng)態(tài)幾何軟件(DynamicGeometrySoftware)。

動(dòng)態(tài)幾何的名稱于上世紀(jì)80年代中期開始出現(xiàn)，經(jīng)過了20多年的發(fā)展，動(dòng)態(tài)幾何吸引

了越來越多人的關(guān)注，它在數(shù)學(xué)教育上的價(jià)值已經(jīng)得到充分肯定。

目前具有動(dòng)態(tài)幾何功能的軟件就有幾十種，其中被中國(guó)數(shù)學(xué)教師所廣泛了解的就有

Geometer'sSketchpad、Z+Z超級(jí)畫板、Cabri、AutoGraph、Derive>GeoGebra等。

由于計(jì)算機(jī)在動(dòng)態(tài)幾何方面的成功，也促使人們開始研究計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域的教

育功能。

因此，計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)(ComputerAlgebraSystem動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)軟件(DynamicStatistics

System)、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)(ProbabilitySimulationPlatfbrm)等相繼出現(xiàn)并被廣泛實(shí)驗(yàn)應(yīng)用。

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)最重要的應(yīng)用就是數(shù)值計(jì)算與符號(hào)運(yùn)算。

動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)軟件能方便地處理大量的數(shù)據(jù)并且按照人們所熟悉的形式展現(xiàn)。

隨機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)能夠模擬概率事件并且自動(dòng)記錄和計(jì)算實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

動(dòng)態(tài)幾何軟件、計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)軟件、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)等都屬于動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件

(DynamicMathematicsSoftware)。

1.2動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)工具平臺(tái)

Z+Z智能教育平臺(tái)《超級(jí)畫板》是目前功能最完善的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)平臺(tái)之一。它是：

?動(dòng)態(tài)幾何平臺(tái)；

?計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)；

?動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)平臺(tái)；

?隨機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)；

它還是：

?程序設(shè)計(jì)平臺(tái)；

?自動(dòng)推理系統(tǒng)。

為了更加盡快熟悉《超級(jí)畫板》的上述功能，讓我們首先了解一下它的工作界面吧。

超級(jí)畫板軟件啟動(dòng)后窗口如下：

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利用超級(jí)畫板工作，主要就是通過菜單欄中的菜單命令來實(shí)現(xiàn)。菜單欄中包括【文件】、

【編輯】、【查看】、【作圖】、【變換】、【測(cè)量】等菜單項(xiàng)。

菜單欄下是常用工具欄，就是將經(jīng)常用的命令放在這里，提高我們的工作效率。

工具欄下面的空白區(qū)域就是作圖等工作的主要區(qū)域，簡(jiǎn)稱為作圖工作區(qū)。

作圖工作區(qū)左邊是另外的一些工作區(qū)，包括“對(duì)象工作區(qū)”、“程序工作區(qū)”、“問題工作

區(qū)''等。如左下圖所示，單擊下方的選項(xiàng)卡即可將對(duì)應(yīng)的工作區(qū)激活；如右下圖所示，單擊

工作區(qū)右上角的“X”即可將對(duì)應(yīng)的工作區(qū)關(guān)閉，通過單擊【查看】菜單中【工具欄】子菜單

下的對(duì)應(yīng)命令可以重新顯示。

問題Q恪1—

Mi

_______Illi

—對(duì),」程.團(tuán)問,圈推氣課.0

如需幫助，諳按F1鍵__________________

我們常用的就是“對(duì)象工作區(qū)”和“程序工作區(qū)”，可以將其他工作區(qū)關(guān)閉，結(jié)果如左下圖

所示。

4

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作圖工作區(qū)右側(cè)是“對(duì)象屬性工作區(qū)”,可以方便地修改多個(gè)對(duì)象的屬性。如右上圖所示,

拖動(dòng)左邊框可以改變它的寬度，單擊右上方的“自動(dòng)隱藏”開關(guān)按鈕可以將“屬性工作區(qū)''關(guān)

閉。鼠標(biāo)指向。

屋性

-ta二x

圃外國(guó)孑

值

畫對(duì)象是

IS1線寬度1

純色10.?000000

1.3通過兩個(gè)實(shí)例入門

這一節(jié)我們通過兩個(gè)實(shí)例初步認(rèn)識(shí)超級(jí)畫板軟件的主要功能。

在制作下面的實(shí)例過程中，有些內(nèi)容可能沒有介紹得足夠詳細(xì)。

(一)構(gòu)造星形線和玫瑰線

(1)啟動(dòng)一個(gè)新的超級(jí)畫板文檔，下面的工作過程中，我們不需要顯示坐標(biāo)系，那么

如左下圖所示在對(duì)象工作區(qū)中單擊“坐標(biāo)系”對(duì)象前的方框，結(jié)果(如右下圖)方框中“/消

失的同時(shí)在作圖工作區(qū)中坐標(biāo)系也被隱藏。在對(duì)象工作區(qū)中，每個(gè)對(duì)象前的方框，就是控

制它在作圖工作區(qū)中被顯示或者隱藏的開關(guān)按鈕。

對(duì)象4X對(duì)象4X

二口文檔圖形對(duì)象列表

-文檔圖形對(duì)象列表111

-［3日第1頁(yè)E第1頁(yè)

□國(guó)［］對(duì)象蛆:坐標(biāo)系

+盥［4］對(duì)象蛆:坐標(biāo)系E4

(2)在新的超級(jí)畫板文檔中，單擊工具條中的【畫筆】工具物，光標(biāo)進(jìn)入選擇畫圖狀

7^o

(3)在空白處單擊鼠標(biāo)然后松開，即可作出點(diǎn)4。

(4)如下圖，鼠標(biāo)指向點(diǎn)A,按住拖動(dòng)一段距離后松開鼠標(biāo)，即可作出線段A瓦

0-----------------------------------------------------------------------------O—

(5)如下圖，鼠標(biāo)指向線段中點(diǎn)附近的位置，當(dāng)線段A8變?yōu)榧t色且光標(biāo)右側(cè)出現(xiàn)

“中點(diǎn)”提示時(shí)，單擊鼠標(biāo)，作出線段A3的中點(diǎn)C。

5

Z+Z智能教育平臺(tái)《超級(jí)畫板》廣州地區(qū)綜合應(yīng)用項(xiàng)目

(6)如下圖所示，鼠標(biāo)指向點(diǎn)C,雙擊不松開并按住拖動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)B的位置時(shí)(點(diǎn)

B變?yōu)榧t色)松開鼠標(biāo)，作出以點(diǎn)C為圓心、經(jīng)過點(diǎn)8的圓。

(7)如下圖所示，鼠標(biāo)指向圓周，圓周變?yōu)榧t色進(jìn)行提示時(shí)單擊鼠標(biāo)，作出圓C上的

任意點(diǎn)Do

(8)單擊點(diǎn)。并按住拖動(dòng)到點(diǎn)C,作出線段。C。

(9)如下圖所示，鼠標(biāo)指向線段DC的延長(zhǎng)線與圓周的交點(diǎn)附近的位置，線段CD和

圓周同時(shí)變?yōu)榧t色進(jìn)行提示并且光標(biāo)右側(cè)出現(xiàn)“相交”，這時(shí)單擊鼠標(biāo)即可作出線段。C的延

長(zhǎng)線與圓周的交點(diǎn)及然后連接線段EC。

(10)在弧BO之間，在圓周上任意取另外一個(gè)點(diǎn)兒

(11)單擊點(diǎn)凡并按住拖動(dòng)到線段AB垂足附近的位置，線段AB變?yōu)榧t色進(jìn)行提示

并且光標(biāo)右側(cè)出現(xiàn)“垂足”，這時(shí)松開鼠標(biāo)即可作出點(diǎn)尸到線段AB的垂足G和垂線段FG。

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（12）作出點(diǎn)尸到線段。C的垂足H和垂線段bH。

（13）連接線段GH。

（14）作出點(diǎn)C到線段GH的垂足/和垂線段C7。結(jié)果如下圖所示:

（15）單擊工具條中的【選擇】工具國(guó),光標(biāo)返回到選擇狀態(tài)。

點(diǎn)A、點(diǎn)B平面上的自由點(diǎn)，可以被任意拖動(dòng)。

點(diǎn)。、點(diǎn)廠是圓C的圓周上的點(diǎn)，稱為半自由點(diǎn)，可以在圓上被任意拖動(dòng)。

點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線和圓的交點(diǎn)，點(diǎn)G、點(diǎn)X、點(diǎn)/是點(diǎn)到直線的垂足，

這些稱為約束點(diǎn)，不能被拖動(dòng)。

在點(diǎn)4、點(diǎn)B或者點(diǎn)。、點(diǎn)尸被拖動(dòng)過程中，可以發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)保持不變，中

點(diǎn)還是中點(diǎn)、垂足還是垂足、交點(diǎn)還是交點(diǎn)，這就是動(dòng)態(tài)幾何圖形的特點(diǎn)。

拖動(dòng)點(diǎn)。，使得與AB垂直，結(jié)果如下圖所示：

容易看出，四邊形CGW是一個(gè)矩形。根據(jù)矩形的性質(zhì)得知，當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)的過

程中，線段G8保持長(zhǎng)度不變。這樣，就可以模擬靠在墻上的梯子向下滑動(dòng)的過程。

那么，當(dāng)梯子在下滑過程中，或者說當(dāng)點(diǎn)尸在圓周上運(yùn)動(dòng)的過程中，線段G4掃描過

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的區(qū)域是一個(gè)什么樣的圖形呢？點(diǎn)/和線段C/上又能劃出什么性狀的圖形呢？為了探索這

些問題，我們繼續(xù)下面的操作：

（16）鼠標(biāo)指向線段GH,單擊鼠標(biāo)右鍵，彈出快捷菜單，如左下圖在快捷菜單中單擊

【跟蹤】命令，結(jié)果如下圖（中）所示在對(duì)象工作顯示出增加了線段的跟蹤對(duì)象。拖動(dòng)

點(diǎn)/在圓周上運(yùn)動(dòng)，結(jié)果如右下圖所示。

申□1

.□?［17］點(diǎn)H:點(diǎn)在直線上

軌跡…E-□/［18］線段：FH

［］線段：

跟蹤E-由-□/19GH

?［2。］點(diǎn)I:點(diǎn)在直線上

動(dòng)畫…■□/線段

跟蹤

■□樂

隱藏和顯示按鈕E

（17）增加點(diǎn)/的跟蹤和線段C/的跟蹤。

（18）為了讓點(diǎn)月在圓周上更加均勻地運(yùn)動(dòng)，可以增加一個(gè)點(diǎn)尸的動(dòng)畫按鈕，操作是:

鼠標(biāo)指向點(diǎn)R單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【動(dòng)畫…】命令，結(jié)果彈出動(dòng)畫屬性對(duì)話

框，直接單擊對(duì)話框中【確定】按鈕完成。單擊動(dòng)畫按鈕結(jié)果如下圖所示：

為了讓跟蹤的圖形更加美觀，我們需要作如下調(diào)整：

將跟蹤對(duì)象都放在圖層的最后面（最下面），使得能夠清楚地看到原來點(diǎn)、線等幾何對(duì)

象。將不同的跟蹤對(duì)象設(shè)置不同的顏色，使得容易識(shí)別跟蹤圖形的性質(zhì)特點(diǎn)。

當(dāng)作圖區(qū)中出現(xiàn)一般操作時(shí)，跟蹤對(duì)象就會(huì)自動(dòng)消失，所以跟蹤對(duì)象無法在作圖區(qū)中被

選中，但可以在左邊的對(duì)象工作區(qū)中容易地選擇它們。

為完成上述目的，需要繼續(xù)下面的操作：

（19）［在對(duì)象工作區(qū)中］選擇線段C/的跟蹤對(duì)象，單擊【對(duì)象】菜單中的【移動(dòng)對(duì)象

到最后面】命令，（這時(shí)線段C/的跟蹤對(duì)象仍處于被選中的狀態(tài)）然后單擊工具條中【畫筆

顏色】工具,一匕右部分的三角，如下圖所示即可打開畫線顏色調(diào)色板，然后選擇一種顏色

即可。

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Z+Z智能教育平臺(tái)《超級(jí)畫板》廣州地區(qū)綜合應(yīng)用項(xiàng)目

(20)選擇點(diǎn)/的跟蹤對(duì)象，將其移至最后，并且重新設(shè)置一種畫線顏色。

(21)選擇線段G"的跟蹤對(duì)象，將其移至最后，并且重新設(shè)置一種畫線顏色。結(jié)果如

下圖所示：

D

E

【思考與練習(xí)】

(1)線段G4的長(zhǎng)度是否仍然保持不變？

(2)跟蹤線段G8所留下的圖形與上面有什么區(qū)別？

(3)跟蹤點(diǎn)/的所留下的圖形有什么改變？

(二)作y=ad的圖像

(1)單擊工具欄中【新頁(yè)】工具且，在當(dāng)前文檔中建立一個(gè)新的頁(yè)面。

(2)在作圖區(qū)空白位置單擊鼠標(biāo)右鍵，在右鍵菜單中單擊【函數(shù)或參數(shù)方程曲線…】

命令，彈出函數(shù)作圖屬性對(duì)話框。

(3)如下圖所示，在【產(chǎn)】對(duì)應(yīng)的編輯框中輸入：a*xA2?

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函數(shù)畫筆I埴充I漸變I文本I

類型

x=

0y=f(x)

OX=f(y)y=a*x*2

。參數(shù)方程

P=

O極坐標(biāo)：P=￡(0)

間斷點(diǎn)最小值(單位:坐標(biāo))四一曲線的點(diǎn)數(shù)：即一口折線段

參數(shù)范圍：-E<|<6

□畫點(diǎn)E]x軸區(qū)域點(diǎn)的大小：廠口斷點(diǎn)連接線段

(5)單擊【插入】菜單中的【變量對(duì)象…】命令，彈出的變量對(duì)象屬性對(duì)話框，如下

圖所示，在【變量】對(duì)應(yīng)的編輯框中輸入：。，單擊【確定】按鈕完成。

變量|文本]畫筆|埴充|漸變

變量：a

最小值：即一

最大值：io

這時(shí)，從參數(shù)a的變量控制尺可以看到參數(shù)a的當(dāng)前值為4.70,通過這個(gè)變量控制尺可

以改變參數(shù)。的值。具體操作方法如下：

(6)如左下圖所示，鼠標(biāo)指向中間的控制滑標(biāo)，單擊鼠標(biāo)，如右下圖鼠標(biāo)光標(biāo)變?yōu)闄M

向的雙向箭頭，這時(shí)向左或者向右拖動(dòng)鼠標(biāo)即可改變參數(shù)。的值。

10

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4.70

■

II管■■

-10.00a10.00

畫出了函數(shù)圖像之后，我們需要坐標(biāo)系的刻度顯示出來，在這里只需要設(shè)置坐標(biāo)系的屬

性值即可。具體操作方法如下：

(7)如左下圖所示，在對(duì)象工作區(qū)中單擊第4號(hào)對(duì)象“對(duì)象組：坐標(biāo)系”前面的加號(hào)

結(jié)果如右下圖所示，展開對(duì)象組的列表。

對(duì)象4X對(duì)象0X

-口。11文楷圖形對(duì)象列表-文檔圖形對(duì)象列表

J0曰第1頁(yè)白口€3第1頁(yè)

413國(guó)［4］對(duì)象組:坐標(biāo)系白日罐［4］對(duì)象蛆:坐標(biāo)系

RQX［5］曲線：y=a*x*2□4*［0］直角坐標(biāo)系Oxy

臼―［6］變量:aS□?［1］點(diǎn)0：坐標(biāo)原點(diǎn)

由□/［2］直線：X軸

j由□/［3］直線：海

(8)鼠標(biāo)指向第0號(hào)對(duì)象“直角坐標(biāo)系O-xy”，單擊右鍵,即可打開它的屬性對(duì)話框

(9)如下圖所示，在屬性對(duì)話框中選擇“顯示刻度”選項(xiàng)，單擊【確定】按鈕完成。

坐標(biāo)系|畫筆|埴充|漸變|文本|

坐標(biāo)系類型

0直角坐標(biāo)系O極坐標(biāo)系O特殊坐標(biāo)系

坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角度?時(shí)針)：?jiǎn)挝唬憾然氐葐挝?/p>

【思考與練習(xí)】

鼠標(biāo)單擊上面參數(shù)。的變量控制尺，這是會(huì)出現(xiàn)一些黑色方塊，這些方塊都有一定的作

用，拖動(dòng)這些黑色方塊，說說它們對(duì)變量控制尺有什么影響。

1.4動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的構(gòu)圖規(guī)則

根據(jù)前面所設(shè)計(jì)到的問題，我們粗略談?wù)勈褂脛?dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件工具作圖等工作過程中所要

遵從的規(guī)則和超級(jí)畫板中的一些習(xí)慣。

(1)當(dāng)需要用畫筆畫圖時(shí)，就單擊【畫筆】工具物進(jìn)入畫圖狀態(tài)；當(dāng)不再用畫筆畫圖

時(shí)，就單擊【選擇】工具畫返回到選擇狀態(tài)。

(2)平面上的任意點(diǎn)，是完全自由點(diǎn)，可以被任意拖動(dòng)；直線上的點(diǎn)、圓上的點(diǎn)以及

以后接觸到的曲線上的點(diǎn)，是半自由點(diǎn)，可以按照一定的規(guī)律被拖動(dòng)；線段的中點(diǎn)，直線的

垂足等，是約束點(diǎn)，不能被拖動(dòng)。

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(3)需要選擇多個(gè)對(duì)象時(shí)，需要按住Ctrl鍵的同時(shí)，依次單擊需要被選擇的對(duì)象。選

擇完成后，松開Ctrl鍵即可。

(4)要作三角形的內(nèi)心，需要首先選擇三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；要構(gòu)造一個(gè)多邊形的內(nèi)部,

需要首先選擇多邊形的頂點(diǎn)。當(dāng)選擇的對(duì)象滿足作圖條件時(shí)菜單命令才會(huì)變?yōu)榱辽患せ睿?/p>

若選擇的對(duì)象不滿足作圖條件，則對(duì)應(yīng)的菜單命令為灰色不能被使用。

(5)控制參數(shù)改變的方法上面介紹了兩種：插入?yún)?shù)的變量控制尺，增加參數(shù)的動(dòng)畫

按鈕。

學(xué)習(xí)小結(jié)

首先我們認(rèn)識(shí)了超級(jí)畫板軟件的界面,進(jìn)一步學(xué)習(xí)了根據(jù)自己的要求重新布置界面的方

法。另外，你還可以根據(jù)自己的需要將常用的菜單命令添加到工具條中，這與一般的應(yīng)用軟

件的操作方法是相同的。

我們學(xué)習(xí)了用超級(jí)畫板的【畫筆】工具的功能，利用畫筆可以直接畫出點(diǎn)、線、圓、對(duì)

象上的點(diǎn)、對(duì)象之間的交點(diǎn)、垂足、中點(diǎn)等等，而不能任何工具和菜單之間的切換。實(shí)際上，

利用畫筆可以直接作出二十幾種常用的幾何對(duì)象。【畫筆】工具的功能豐富而使用簡(jiǎn)單，不

過需要加強(qiáng)練習(xí)才能運(yùn)用自如。

除此之外，我們還學(xué)習(xí)了利用菜單命令作圖、進(jìn)行圖形變換的操作，從而理解在計(jì)算機(jī)

上作圖的規(guī)則，有些命令要首先選擇滿足作圖條件的對(duì)象后才能被激活；而另外有些命令，

卻是什么都不需要選擇即可直接使用。

希臘字母兀在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中通常用pi表示。

12

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第二部分幾何圖形與變換

2.1經(jīng)過一點(diǎn)的直線

在平面上,經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的直線有多少條呢？我們可以在計(jì)算機(jī)上畫出經(jīng)過任意兩個(gè)點(diǎn)的

一條直線，然后其中一個(gè)點(diǎn)位置固定的情況下，拖動(dòng)另外一個(gè)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探索這個(gè)問題。

(1)在新的文檔頁(yè)面中，隱藏坐標(biāo)系。

(2)單擊【畫筆】工具，任意畫一條線段A瓦

(3)單擊【選擇】工具，雙擊線段A8,打開其屬性對(duì)話框，如下圖所示，選擇直線類

型為：直線，單擊【確定】按鈕完成。

直線|畫筆|埴充|漸變|文本|

斜率：

傾斜角：

X-截距：

廠截距：

一般式方程：Ax+BjH-C=O

類型轉(zhuǎn)換

標(biāo)注間距：4長(zhǎng)度：廠包段。射線臂線

(4)跟蹤直線A瓦

拖動(dòng)點(diǎn)3可以觀察到經(jīng)過點(diǎn)A的直線的情況，如下圖所示：

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【思考與練習(xí)】

如上圖所示，藍(lán)色圓以點(diǎn)A為中心、經(jīng)過點(diǎn)2,點(diǎn)C是圓A上的任意點(diǎn)，紅色圓以C

為圓心經(jīng)過點(diǎn)瓦當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)跟蹤圓C留下的圖形，如下圖所示，這叫心臟線

或者蘋果曲線。請(qǐng)你自己動(dòng)手展示生成蘋果曲線的過程。

2.2三角形的三條高線

利用動(dòng)態(tài)幾何軟件畫出的圖形，其形狀可以被任意改變，而圖形在改變過程中，所包含

的幾何關(guān)系始終保持不變，這可以幫助我們探索與發(fā)現(xiàn)圖形中所隱含的內(nèi)在規(guī)律。

(1)在新建文檔中，隱藏坐標(biāo)系。

(2)單擊【畫筆】工具，畫任意三角形A8C。

(3)作出點(diǎn)A到對(duì)邊8C的垂足。和垂線段AO,作出點(diǎn)8到對(duì)邊CA的垂足E和垂

線段8E；作出點(diǎn)對(duì)C到邊的垂足歹和垂線段C凡

(4)單擊【選擇】工具，返回到選擇狀態(tài)。

(5)設(shè)置線段4。為直線，設(shè)置線段8E為直線，設(shè)置線段C尸為直線。

(6)同時(shí)選擇直線AD,BE和CF,在右側(cè)的屬性對(duì)話框中設(shè)置【畫線類型】為：虛

線。結(jié)果如右下圖所示:

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對(duì)于垂直關(guān)系，我們往往需要標(biāo)注出直角符號(hào)。例如要將/AOC的角標(biāo)注出來，就首

先要選擇三個(gè)點(diǎn)，分別是角的始邊上的點(diǎn)、角的頂點(diǎn)、角的終邊上的點(diǎn)，然后執(zhí)行標(biāo)注角的

命令。操作步驟如下：

(7)按住Ctrl鍵，依次選擇點(diǎn)4、點(diǎn)。和點(diǎn)C,單擊【作圖】菜單中的【標(biāo)注角】命

令。

(8)重復(fù)類似操作標(biāo)注NBEA和/CFB。

(9)選擇角的標(biāo)注符號(hào)，可以通過工具條中的【填充】工具將其內(nèi)部填充。結(jié)果如下

圖所示：

【思考與練習(xí)】

三角形的三條中線、三條角平分線也分別交于一點(diǎn)，請(qǐng)你動(dòng)手完成展示和探索這兩個(gè)性

質(zhì)的內(nèi)容。

要做三角形中一個(gè)角平分線和對(duì)邊的交點(diǎn)，可以通過【作圖】菜單下【點(diǎn)】子菜單中的

【角平分線上的點(diǎn)】命令直接實(shí)現(xiàn)。

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2.3測(cè)量三角形的內(nèi)角和

利用計(jì)算機(jī)作出的三角形，可以被任意改變形狀，能夠更加普遍地探究三角形三個(gè)內(nèi)角

測(cè)量值之和的規(guī)律。

(1)在新建文檔中，作任意三角形ABC。

(2)依次選擇點(diǎn)C、點(diǎn)A和點(diǎn)8,單擊【測(cè)量】菜單下的【角的值】命令，結(jié)果得到

NCAB的測(cè)量值，如下圖所示：

當(dāng)圖形比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們一般習(xí)慣用角的頂點(diǎn)的名字表示這個(gè)角，例如在這里表示為

/A,所以我們可以將角的名稱進(jìn)行修改。操作步驟如下：

(3)雙擊測(cè)量文本，如左下圖進(jìn)入編輯狀態(tài)，將字符C4B修改為A,然后在作圖區(qū)空

白處單擊鼠標(biāo)，退出編輯狀態(tài)，結(jié)果如右下圖所示。

$fh{208}CAB=%.2

NA=63.36

(4)重復(fù)類似操作測(cè)量角2和角C的值，并且按照上面的要求編輯測(cè)量結(jié)果名稱。

(5)單擊【測(cè)量】菜單下的【測(cè)量表達(dá)式…】命令，打開測(cè)量表達(dá)式對(duì)話框。如下圖

所示，可以看到之前測(cè)量的值分別用mOOO、mOOl,m002記錄，這是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)自動(dòng)產(chǎn)生

的名稱，而且這樣做的好處是：之前測(cè)量得到的結(jié)果容易被以后所運(yùn)用。

測(cè)量表達(dá)式

表達(dá)式:

mOOO:[11]$fh{208}A=63.36$fh{176}

mOOl:[12]$￡h{208}B=75.79$fli{176}

m002：[13]$fh{208}C=40.84$fh{176}

(6)在【表達(dá)式】編輯框中輸入：mOOO+mOO1+m002；然后單擊【測(cè)量結(jié)果表示為弧

度】，取消對(duì)該選項(xiàng)的選擇；單擊【確定】按鈕得到測(cè)量結(jié)果。

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(7)最后關(guān)閉測(cè)量表達(dá)式對(duì)話框，結(jié)果如下圖所示:

【思考與練習(xí)】

如何測(cè)量三角形的外角和？同時(shí)實(shí)驗(yàn)探索或檢驗(yàn)三角形外角和的規(guī)律。

2.4三角形內(nèi)角和等于平角的直觀說明

我們可以通過將一個(gè)角平移、將另一個(gè)角旋轉(zhuǎn)直觀地說明了三角形內(nèi)角和等于平角的

道理，見下節(jié)的【思考與練習(xí)在這一節(jié)中，將通過同時(shí)兩個(gè)角旋轉(zhuǎn)來直觀說明。

(1)畫任意三角形A8C。

(2)作邊的中點(diǎn)CA邊的中點(diǎn)￡、BC邊上的中點(diǎn)兒

(3)同時(shí)選擇點(diǎn)A、點(diǎn)8和點(diǎn)C,單擊【作圖】菜單下【點(diǎn)】子菜單中的【三角形的

內(nèi)心】命令，作出三角形ABC的內(nèi)心G。結(jié)果如下圖所示：

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A

BFC

下面要完成以點(diǎn)￡為中心、以f為旋轉(zhuǎn)角，將NC旋轉(zhuǎn)：

(4)右鍵單擊點(diǎn)E,在快捷菜單中單擊【指定旋轉(zhuǎn)或放縮中心】命令。此時(shí)，該命令

的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D(zhuǎn)或放縮中心為：EY

(5)在作圖區(qū)空白處單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【指定旋轉(zhuǎn)角或放縮倍數(shù)參數(shù)…】

命令，在彈出的用戶輸入對(duì)話框中輸入：t,單擊【確定】按鈕完成。此時(shí)，該命令的名稱

變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D(zhuǎn)或放縮倍數(shù)參數(shù)為：A..]o

(6)同時(shí)選擇點(diǎn)C、點(diǎn)尸和點(diǎn)G,單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【旋轉(zhuǎn)幾何對(duì)象】

命令，結(jié)果作出點(diǎn)H、點(diǎn)/、點(diǎn)J。

(7)依次選擇點(diǎn)E、點(diǎn)〃、點(diǎn)/和點(diǎn)J,單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【多邊形】

命令，作出多邊形結(jié)果如下圖所示：

下面要完成以點(diǎn)。為中心、以“為旋轉(zhuǎn)角，將旋轉(zhuǎn)：

(7)右鍵單擊點(diǎn)D,在快捷菜單中單擊【目前正在使用的旋轉(zhuǎn)或放縮中心為：￡1命

令。此時(shí)，該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D(zhuǎn)或放縮倍數(shù)參數(shù)為：D1

(8)在作圖區(qū)空白處單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【目前正在使用的旋轉(zhuǎn)或放縮中心

為：〃命令，在彈出的用戶輸入對(duì)話框中將參數(shù)修改為：-3單擊【確定】按鈕完成。止匕時(shí)，

該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D(zhuǎn)或放縮中心為：Y】。

(9)同時(shí)選擇點(diǎn)2、點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)G,單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【旋轉(zhuǎn)幾何對(duì)象】

命令，結(jié)果作出點(diǎn)K、點(diǎn)、L、點(diǎn)、M。

(10)依次選擇點(diǎn)。、點(diǎn)K、點(diǎn)L和點(diǎn)單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【多邊形】

命令，作出多邊形0KL結(jié)果如下圖所示：

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(11)以點(diǎn)A、點(diǎn)。、點(diǎn)G和點(diǎn)E為頂點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)多邊形。

(12)單擊多邊形的內(nèi)部，通過工具條中的【填充工具】為三個(gè)多邊形設(shè)置填充顏色。

下面增加一個(gè)控制參數(shù)t的動(dòng)畫按鈕：

(13)在作圖區(qū)空白處單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【動(dòng)畫…】命令，在彈出的用戶輸

入對(duì)話框中輸入：t,單擊【確定】按鈕，彈出動(dòng)畫屬性對(duì)話框。

(14)如下圖所示，在動(dòng)畫屬性對(duì)話框中設(shè)置運(yùn)動(dòng)頻率為：300,設(shè)置參數(shù)范圍為：0

到pi,選擇運(yùn)動(dòng)類型為：一次運(yùn)動(dòng)。

動(dòng)畫I畫筆I埴充I漸變]文本I

動(dòng)畫：t[-5,5]類型

。重復(fù)運(yùn)動(dòng)

。往復(fù)運(yùn)動(dòng)

參數(shù)01次運(yùn)動(dòng)

300

動(dòng)畫運(yùn)動(dòng)的頻率:口逆向運(yùn)動(dòng)

最小值U□等

參數(shù)范圍(t):

最大值

隱藏不需要顯示的對(duì)象：

(15)選擇點(diǎn)。、點(diǎn)￡、點(diǎn)R點(diǎn)G、點(diǎn),點(diǎn)/、點(diǎn)人點(diǎn)K、點(diǎn)L、點(diǎn)M,在空白處

單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【隱藏】命令。

單擊【動(dòng)畫:t[0,pi]]按鈕的主按鈕(左邊部分)，和/C動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)，結(jié)果如下圖所

示：

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單擊【動(dòng)畫:t[0,pi]]按鈕的輔按鈕(中間部分)，和/C動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)，結(jié)果如下圖所

示：

【思考與練習(xí)】

(1)將三角形通過如下圖所示變換，可以直觀說明三角形的面積等于底邊與高的乘積

的一半。請(qǐng)你在計(jì)算機(jī)上完成能動(dòng)態(tài)展示這一過程的實(shí)驗(yàn)。

(2)將梯形形通過如下圖所示變換，可以直觀說明梯形的面積等于上、下底邊之和與

高的乘積的一半。請(qǐng)你在計(jì)算機(jī)上完成能動(dòng)態(tài)展示這一過程的實(shí)驗(yàn)。

(3)放縮操作和旋轉(zhuǎn)操作的方法類似，請(qǐng)你動(dòng)手設(shè)計(jì)一個(gè)放縮對(duì)象的變換。

2.5勾股定理的直觀說明*

勾股定理是幾何中最著名的定理之一，也叫畢達(dá)格拉斯定理。據(jù)說畢達(dá)格拉斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)

定理時(shí)認(rèn)為這是神賜予的，于是殺了100頭牛祭祀，大擺宴席。

到今天為止，證明勾股定理的方法有上百種之多。在本節(jié)中我們將通過計(jì)算機(jī)的動(dòng)態(tài)演

示直觀地說明勾股定理。

(1)在新建文檔中，隱藏坐標(biāo)系。

(2)光標(biāo)進(jìn)入畫圖狀態(tài)，畫任意線段AB,如下圖所示，鼠標(biāo)單擊點(diǎn)B并按住向上拖

動(dòng)，當(dāng)光標(biāo)右側(cè)出現(xiàn)“垂直”提示時(shí)，松開鼠標(biāo)，作出經(jīng)過點(diǎn)8與線段垂直的線段BC。

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闔

O----------------------0。4

ABAB

下面我們要做出分別以AB、BC、為一邊的三個(gè)正方形。而例如以AB為一邊的正方

形有兩個(gè)，分別在48的上方和下方。在超級(jí)畫板中作正方形需要選擇兩個(gè)點(diǎn)，而以兩個(gè)已

知點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形有兩個(gè)。那么所作出的正方形的位置與選擇的點(diǎn)的順序有關(guān)：以選擇的

第一個(gè)點(diǎn)為中心，將第二個(gè)點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的一側(cè)。具體操作步驟如下：

(3)依次選擇點(diǎn)C和點(diǎn)8,單擊【作圖】菜單下【常見多邊形】子菜單中的【正方形】

命令，結(jié)果如下圖所示。

￡----------/

ABD

(4)依次選擇點(diǎn)A和點(diǎn)C,作出正方形。

(5)依次選擇點(diǎn)2和點(diǎn)A,作出正方形。結(jié)果如下圖所示：

下面我們要將正方形由分割成四部分。操作步驟如下：

(6)作出對(duì)角線4/的中點(diǎn)J。(若作圖過程中作出了對(duì)角線A/,則將其刪除即可)

(7)光標(biāo)進(jìn)入畫圖狀態(tài)，如下圖所示，過點(diǎn)J作出與AC垂直且與我相交的線段JK。

當(dāng)然你的操作過程中，也可能是與AG平行且與小相交的情形，而結(jié)果是相同的。刪除線

段JK。

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(8)將點(diǎn)/指定為旋轉(zhuǎn)中心，設(shè)置旋轉(zhuǎn)角參數(shù)為：pi/2o

(9)將點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)L,將點(diǎn)心旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)將點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)的到點(diǎn)N。

將正方形內(nèi)的四部分分別以不同的向量平移而出，操作步驟如下：

(10)作平面上的任意點(diǎn)P、點(diǎn)。、點(diǎn)R和點(diǎn)S。

(11)依次選擇點(diǎn)J和點(diǎn)P,單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【選定平移向量】命令。

此時(shí)，該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫钠揭葡蛄繛椋?工選擇點(diǎn)K、點(diǎn)/和點(diǎn)心單

擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【平移幾何對(duì)象】命令，得到點(diǎn)7、點(diǎn)U和點(diǎn)V。作出以點(diǎn)

尸、點(diǎn)7、點(diǎn)U和點(diǎn)V為頂點(diǎn)的多邊形，并將其內(nèi)部填充一種顏色。

(12)依次選擇點(diǎn)J和點(diǎn)。，單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【目前正在使用的平移

向量為：JP］命令。此時(shí)，該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫钠揭葡蛄繛椋篔QY選擇點(diǎn)

乙、點(diǎn)2和點(diǎn)單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【平移幾何對(duì)象】命令，得到點(diǎn)W、點(diǎn)

X和點(diǎn)匕作出以點(diǎn)。、點(diǎn)W、點(diǎn)X和點(diǎn)￥為頂點(diǎn)的多邊形,，將其內(nèi)部填充一種顏色。

(13)以有向線段JR為平移向量，將點(diǎn)〃、點(diǎn)A和點(diǎn)N平移得到點(diǎn)Z、點(diǎn)4和點(diǎn)

作出以點(diǎn)R、點(diǎn)Z、點(diǎn)Ai和點(diǎn)氏為頂點(diǎn)的多邊形，并將其內(nèi)部填充。

(14)以有向線段JS為平移向量，將點(diǎn)N、點(diǎn)H和點(diǎn)L平移得到點(diǎn)Ci、功和點(diǎn)燈,

作出以點(diǎn)S、點(diǎn)Ci、5和點(diǎn)4為頂點(diǎn)的多邊形，并將其內(nèi)部填充。結(jié)果可參照下圖中的部

分。

下面將正方形按照指定的向量平移而出，操作步驟如下：

(15)作出線段CD的中點(diǎn)B，作出線段4尸的中點(diǎn)Gi。(若作圖過程中作出了正方形

的對(duì)角線，則將其刪除即可)

(16)在平面上任意取一點(diǎn)Hi。

(17)以有向線段/為平移向量，將點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)。和點(diǎn)E平移得到點(diǎn)/八人

扁和點(diǎn)心，作出以點(diǎn)八、J1、&和點(diǎn)匕為頂點(diǎn)的多邊形，將其內(nèi)部填充并增加其內(nèi)部的透

明度。結(jié)果如下圖所示：

22

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下面作出兩個(gè)直角邊對(duì)應(yīng)的正方形內(nèi)部剪切、平移到斜邊對(duì)應(yīng)的正方形內(nèi)部的動(dòng)畫按

鈕。操作步驟如下：

(18)依次選擇點(diǎn)尸和點(diǎn)G,單擊鼠標(biāo)右鍵，在快捷菜單中單擊【動(dòng)畫…】命令，在彈

出的動(dòng)畫屬性對(duì)話框中單擊【確定】按鈕完成，作出點(diǎn)尸移動(dòng)到點(diǎn)G的動(dòng)畫按鈕。

(19)重復(fù)類似操作，作出點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)A的動(dòng)畫按鈕，作出點(diǎn)R移動(dòng)到點(diǎn)C的動(dòng)畫

按鈕，作出點(diǎn)S移動(dòng)到點(diǎn)產(chǎn)的動(dòng)畫按鈕，作出點(diǎn)閉移動(dòng)到點(diǎn)Gi的動(dòng)畫按鈕。如下圖所示:

動(dòng)畫:P運(yùn)動(dòng)到G動(dòng)畫：Q運(yùn)動(dòng)到A動(dòng)畫:R運(yùn)動(dòng)到C

動(dòng)畫：S運(yùn)動(dòng)到F動(dòng)畫:Hi運(yùn)動(dòng)到Gi

(20)同時(shí)選擇這5個(gè)動(dòng)畫按鈕，單擊【課件】菜單中的【動(dòng)畫并行運(yùn)動(dòng)按鈕】命令，

在彈出的動(dòng)畫屬性對(duì)話框中，單擊【文本】選項(xiàng)卡，設(shè)置按鈕的名稱為：剪拼，單擊【確定】

按鈕完成，作出按鈕【剪拼

對(duì)象的屆性

動(dòng)畫畫筆|埴充|漸變文本

翦拼

下面作出還原按鈕。操作步驟如下：

(21)作出點(diǎn)尸移動(dòng)到點(diǎn)J的動(dòng)畫按鈕，作出點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)/的動(dòng)畫按鈕，作出點(diǎn)R

移動(dòng)到點(diǎn)J的動(dòng)畫按鈕，作出點(diǎn)S移動(dòng)到點(diǎn)J的動(dòng)畫按鈕，作出點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的動(dòng)畫按

鈕。

(22)同時(shí)選擇這5個(gè)動(dòng)畫按鈕，單擊【課件】菜單中的【動(dòng)畫并行運(yùn)動(dòng)按鈕】命令，

在彈出的動(dòng)畫屬性對(duì)話框中，單擊【文本】選項(xiàng)卡，設(shè)置按鈕的名稱為：還原，單擊【確定】

按鈕完成，作出按鈕【還原】。

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Z+Z智能教育平臺(tái)《超級(jí)畫板》廣州地區(qū)綜合應(yīng)用項(xiàng)目

下面對(duì)作圖區(qū)中不需要顯示的對(duì)象隱藏，具體如下：

(23)將【剪拼】和【還原】之外的其他10個(gè)動(dòng)畫按鈕隱藏。

(24)將點(diǎn)A、點(diǎn)8和點(diǎn)C之外的其他所有點(diǎn)隱藏。

到現(xiàn)在整個(gè)內(nèi)容就制作完畢，單擊【剪拼】按鈕，結(jié)果如左下圖所示；單擊【還原】按

鈕，結(jié)果如右下圖所示。

【思考與練習(xí)】

(1)在上一節(jié)中我們通過旋轉(zhuǎn)的方式直觀地說明了三角形內(nèi)角和為平角。我們還可以

將角A旋轉(zhuǎn)到角C的位置，然后將角B平移到角C的位置，同樣能直觀地說明三角形內(nèi)角

和為平角這個(gè)問題。請(qǐng)你動(dòng)手完成它的直觀展示過程。

(2)過去直接進(jìn)入證明缺少發(fā)現(xiàn)的過程，因此幾何定理仿佛是從天上掉下來的。新課

程改革中則強(qiáng)調(diào)先從直觀發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)，積累了一定知識(shí)之后再進(jìn)入邏輯論證。這時(shí)出現(xiàn)了

一個(gè)新的問題：既然我們發(fā)現(xiàn)了圖形的性質(zhì)，為什么還要進(jìn)行推理證明呢？似乎沒有這個(gè)必

要！怎么讓學(xué)生感到不能光憑直覺研究圖形性質(zhì)？請(qǐng)你動(dòng)手制作了下面的內(nèi)容，將左邊的圖

形剪開平移重新組合后得到了右邊的圖形。并增加一個(gè)標(biāo)題：怎么少了一塊？

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