八年級奧數(shù)杯賽培優(yōu)講義

專題01整式的乘除

閱讀與思考

指數(shù)運(yùn)算律是整式乘除的基礎(chǔ)，有以下5個公式：a"'-an=a"'+n,3")"=/,(")",

a"=a""(aH0),a。=l(aw0),ap=——(a0).

ap

學(xué)習(xí)指數(shù)運(yùn)算律應(yīng)注意：

1.運(yùn)算律成立的條件；

2.運(yùn)算律中字母的意義：既可以表示一個數(shù)，也可以表示一個單項(xiàng)式或者多項(xiàng)式：

3.運(yùn)算律的正向運(yùn)用、逆向運(yùn)用、綜合運(yùn)用.

多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似，基本步驟是:

1.將被除式和除式按照某字母的降基排列，如有缺項(xiàng)，要留空位；

2.確定商式，豎式演算式，同類項(xiàng)上下對齊；

3.演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止.

例題與求解

【例1】(1)若〃為不等式//AG?00的解，則〃的最小正整數(shù)的值為.

(“華羅庚杯，，香港中學(xué)競賽試題)

(2)已知f+x=i,那么丁+2/一為2—2犬+2005=.(“華杯賽”試題)

(3)把(廠—x+1)"展開后得。［2關(guān)|-+4/"+…+電廠+qx+%,則

?12+《0+。8+。6+。4+。2+。0=■(“祖沖之杯"邀請賽試題)

(4)若x，-3x4+7x3-6x2+2x+9=(x-a)(x-t>)(x-c)(x-d)(x-e)則

ab+ac+ad+ae+hc+hd+be+cd+ce+de-.(創(chuàng)新杯訓(xùn)練試題)

解題思路：對于(1),從募的乘方逆用入手；對于(2),目前無法求x值，可考慮高次多項(xiàng)式用低次

多項(xiàng)式表示；對于(3),它是一個恒等式，即在x允許取值范圍內(nèi)取任何一個值代入計(jì)算，故可考慮賦值

法；對于(4),可考慮比較系數(shù)法.

【例2】已知25、=2000,80'=2000,則’等于（）

x>

13

A.2B.1C.-D.-（“希望杯”邀請賽試題）

22

I1Y+V

解題思路：為指數(shù)，我們無法求出的值，而上+—=-所以只需求出x+y,孫的值或

xyxy

它們的關(guān)系，于是自然想到指數(shù)運(yùn)算律.

【例3】設(shè)a,4c,d都是正整數(shù)，并且爐=。4/3=42"一。=19,求d—b的值.（江蘇省競賽試題）

解題思路：設(shè)爐=/=根2。.3=/="6,這樣。力可用加的式子表示，c,d可用〃的式子表示，通

過減少字母個數(shù)降低問題的難度.

【例4】已知多項(xiàng)式2x?+3盯-2y2-x+8y-6=(x+2y+/”)(2x-y+〃)，求的值.

n-1

解題思路：等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應(yīng)系數(shù)對應(yīng)相等，從而可考慮用比較系數(shù)法.

【例5】是否存在常數(shù)p國使得力+a2+（7能被-+2X+5整除？如果存在，求出的值，否則請說

明理由.

解題思路：由條件可推知商式是一個二次三項(xiàng)式（含待定系數(shù)），根據(jù)“被除式=除式x商式”，運(yùn)用待

定系數(shù)法求出p，4的值，所謂p,q是否存在，其實(shí)就是關(guān)于待定系數(shù)的方程組是否有解.

【例6】已知多項(xiàng)式2d—3%3+欠2+7%+人能被f+x—2整除，求色的值.（北京市競賽試題）

b

解題思路：本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用.本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出當(dāng)x=-2

和x=l時，原多項(xiàng)式的值均為0,從而求出。力的值.當(dāng)然本題也有其他解法.

能力訓(xùn)練

A級

1.（1）424X（-0.25）23-1=.（福州市中考試題）

（2）若4"=3,則2a6"7=.（廣東省競賽試題）

2.若2x+5y—3=0,則4'.32,.

3.滿足（》—ly00〉？?00的工的最小正整數(shù)為.（武漢市選拔賽試題）

4.a,Z?,c,d都是正數(shù)，且/=2萬=3,/=4,1=5,則a,/?,c,d中，最大的一個是.

（“英才杯”競賽試題）

5.探索規(guī)律：31=3,個位數(shù)是3；32=9,個位數(shù)是9；33=27,個位數(shù)是7；34=81,個位數(shù)是1；

35=243,個位數(shù)是3；36=729,個位數(shù)是9；…那么3?的個位數(shù)字是,33°的個位數(shù)字

是.（長沙市中考試題）

6.已知。=8產(chǎn),b=274i,c=96\則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.a>c>hC.a<b<cD.b>c>a

7.己知。=2551=344,c=533,d=622,那么a,o,c,d從小到大的順序是（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.a<d<b<c

（北京市“迎春杯”競賽試題）

8.若x=2"+i+2",y=2"T+2"-,其中〃為整數(shù)，則x與y的數(shù)量關(guān)系為（）

A.x=4yB.y-4xC.x-12yD.y-\2x

（江蘇省競賽試題）

9.已知2a=3,2"=6,2。=12,則a,0,c的關(guān)系是()

A.2b<a+cB.2h=a+cC.2h>a+cD.a+b>c

（河北省競賽試題）

“2"4_2(2")//

10.化簡-----工一得1g()

2(2n+3)

77

A.2"+'--B.一2的C.一D.

884

11.已知or+川=7,ax2+by2=49,ax'+by5=133,ax4+by4=406,

,17

試求1995(天+》)+6孫-■—(?+Z?)的值.

12.已知6x?-7孫-3y2+14x+y+a=(2x-3y+0)(3x+y+c).試確定a,。,c的值.

13.已知/+自2+3除以x+3,其余數(shù)較被x+i除所得的余數(shù)少2,求女的值.

（香港中學(xué)競賽試題）

B級

1.已知2"=3,4〃=5,8,=7,則Sa+c-2b

1處8^2000?^2000

（7

2.（1）計(jì)算:5Ix72000+352°°°（第16屆“希望杯”邀請競賽試題）

45+45+45+4565+65+65+65+65+65

（2）如果_____________X=2",那么〃=

35+35+3525+25

（青少年數(shù)學(xué)周“宗滬杯”競賽試題）

3.（1）15叱與33”的大小關(guān)系是15此33"（填

^2000]o2001?o2000i32001+1

（2）焉」與篇上的大小關(guān)系是：篇匯—（填

32001+132002+13200,+132002+1

4.如果/+%—1=0,則/+2》2+3=.（“希望杯”邀請賽試題）

5.已知（x+2）s+-4+CA3+公2+ex+/,則16Z?+4d+/=.

（“五羊杯”競賽試題）

6.已知仇C均為不等于1的正數(shù)，且。-2=萬3=。6,則的值為（）

1

A.3B.2C.1D.-

2

（“CASIO杯”武漢市競賽試題）

7.若/+r+犬+1=0,則x'+X-'-i--FX1+1+%+X2+"-+工6+x"1的值是（）

A.1B.0C.—1D.2

8.如果x3+G?+法+8有兩個因式尤+1和x+2,則a+b=（）

A.7B.8C.15D.21

（奧賽培訓(xùn)試題）

9.已知4,4,4,…4996，“1997均為正數(shù)，又"=⑷+4+…+4996”32+“3+…+4997），

N—（iZ,+a2-\---F。］997）?。2+。3---^4996），則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M=NB.M<NC.M>ND.關(guān)系不確定

10.滿足（〃2-〃-1）"2=1的整數(shù)〃有（）個

A.IB.2C.3D.4

11.設(shè)a,/7,x,y滿足ox+by=3,?%2+外2_i6,?x4+by4=42,求or，+。),5的值.

12.若尤,y,z,卬為整數(shù)，且x>y>z>w,2t+2v+2:+2M=20-,求(x+y+z+w-l)2s°的值.

8

（美國猶他州競賽試題）

13.己知仇c為有理數(shù)，且多項(xiàng)式d+o^+bx+c能夠被/+3X-4整除.

求4a+c的值;

(2)求2。一必一c的值;

(3)若a/,c為整數(shù)，且c2a>1.試比較a,"c的大小.

（四川省競賽試題）

專題02乘法公式

閱讀與思考

乘法公式是多項(xiàng)式相乘得出的既有特殊性、又有實(shí)用性的具體結(jié)論，在整式的乘除、數(shù)值計(jì)算、代數(shù)

式的化簡求值、代數(shù)式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意：

1.熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征；

2.正用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，模仿公式進(jìn)行直接的簡單的套用；

3.逆用即將公式反過來逆向使用；

4.變用即能將公式變換形式使用；

5.活用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探索規(guī)律，創(chuàng)造條件連續(xù)綜合運(yùn)用公式.

例題與求解

【例1】1,2,3,…，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩個整數(shù)的平方差的個數(shù)是.

（全國初中數(shù)字聯(lián)賽試題）

解題思路：因^=（a+b）（a-切，而a+ba—人的奇偶性相同，故能表示成兩個整數(shù)的平方差

的數(shù)，要么為奇數(shù)，要么能被4整除.

【例2】（1）已知a乃滿足等式》=/+尸+20?=4（2/7-a）,則的大小關(guān)系是（）

14.xWyB.x^yC.x<yD.x>y

（山西省太原市競賽試題）

（2）已知a,b,c滿足a?+26=7,2c=-1,/-6a=-17,則a+b+c的值等于（）

A.2B.3C.4D.5

（河北省競賽試題）

解題思路：對于（1）,作差比較的大小，解題的關(guān)鍵是逆用完全平方公式，揭示式子的非負(fù)性;

對于（2）,由條件等式聯(lián)想到完全平方式，解題的切入點(diǎn)是整體考慮.

【例3】計(jì)算下列各題:

(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；（天津市競賽試題）

(2)1.23452+0.76552+2.469x0.7655；（“希望杯”邀請賽試題）

⑶(I2+32+52+---+992)-(22+42+62+---+1002).

解題思路：若按部就班運(yùn)算，顯然較繁，能否用乘法公式簡化計(jì)算過程，關(guān)鍵是對待求式恰當(dāng)變形,

使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征.

【例4】設(shè)。+6=1,/+/=2,求/+〃的值.（西安市競賽試題）

解題思路：由常用公式不能直接求出的結(jié)構(gòu)，必須把/+/表示相關(guān)多項(xiàng)式的運(yùn)算形式，而

這些多項(xiàng)式的值由常用公式易求出其結(jié)果.

Ix2x3x4+1=52;

【例5】觀察：2X3X4X5+1=1/；

3x4x5x6+1=19?;

（1）請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；

（2）根據(jù)（1）,計(jì)算2000x2001x2002*2003+1的結(jié)果（用一個最簡式子表示）.

（黃岡市競賽試題）

解題思路：從特殊情況入手，觀察找規(guī)律.

［例6］設(shè)滿足。+6+1=1,。2+b2+c2=2,a3+b3+c3=3,求:

(1)abc的值;

(2)/+匕4+04的值.

（江蘇省競賽試題）

解題思路：本題可運(yùn)用公式解答，要牢記乘法公式，并靈活運(yùn)用.

能力訓(xùn)練

A級

1.已知—一2（加一3）x+9是一個多項(xiàng)式的平方，則帆=.（廣東省中考試題）

2.數(shù)348-1能被30以內(nèi)的兩位偶數(shù)整除的是.

3.已知x?+y?+z2-2x+4y-6z+14=0,那么x+y+z=.

（天津市競賽試題）

4.若3+^=10,丁+了3=100,則/+/=.

5.已知x,y滿足ox+勿=3,or-切=5,則（/+b2）（x2+y2）的值為.

（河北省競賽試題）

6.若〃滿足（〃—2004）2+（2005-n）2=1,則（2005-〃）（〃-2004）等于.

7.（1-T-）（1--y）…（1----7）（1-----j"）等于（）

22321999220002

1999200119992001

A.---B.---C.---D.---

2000200040004000

8.若加=10片+2。2-7。+6,%=。2+2〃+5。+1,則M-N的值是（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.可正可負(fù)

9.若％-、=2,/+丁=4,則/須+V992的值是（）

A.4B.19922C.21992D.41992

（“希望杯”邀請賽試題）

10.某校舉行春季運(yùn)動會時，由若干名同學(xué)組成一個8列的長方形隊(duì)列.如果原隊(duì)列中增加12。人，就能

組成一個正方形隊(duì)列；如果原隊(duì)列中減少120人，也能組成一個正方形隊(duì)列.問原長方形隊(duì)列有多少

名同學(xué)？（“CASIO”杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

II.設(shè)4=1（）9+383—2,證明：。是37的倍數(shù).（“希望杯”邀請賽試題）

12.觀察下面各式的規(guī)律：

(lx2+l)2=12+(1X2)2+22;

(2X3+1)2=22+(2X3)2+32;

(3X4+1)2=32+(3X4)2+42;

寫出第2003行和第〃行的式子，并證明你的結(jié)論.

B級

1.（。+份"展開式中的系數(shù)，當(dāng)〃=1,2,3…時可以寫成“楊輝三角”的形式（如下圖），借助“楊輝三角”

求出1.0P的值為（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）

1

1213

14641I13

15101051----------------

..........................第2題圖

2.如圖，立方體的每一個面上都有一個自然數(shù)，已知相對的兩個面上的兩數(shù)之和都相等，如果13,9,3

的對面的數(shù)分別為a,b,c,則a2+b2+c2-ab-bc-ac的值為.

（天津市競賽試題）

3.已知x,y,z滿足等式x+y=5,z?=孫+,-9,則2%+3丁+42=.

4.一個正整數(shù)，若分別加上100與168,則可得兩到完全平方數(shù)，這個正整數(shù)為.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

5.已知a=1999x+2000,b=1999%+2001,c=l999x+2002,則多項(xiàng)式a?+從+一。8一人。一ac的

值為（）

A.0B.1C.2D.3

6.把2009表示成兩個整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示法有（）

A.16種B.14種C.12種D.10種

（北京市競賽試題）

7.若正整數(shù)滿足f一y2=64,則這樣的正整數(shù)對（x,y）的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

（山東省競賽試題）

8.已知a—匕=3,則。3一//一9。/,的值是（）

A.3B.9C.27D.81

（“希望杯”邀請賽試題）

9.滿足等式〃+1954=*的整數(shù)對（九〃）是否存在？若存在，求出（/〃,〃）的值；若不存在，說明理由.

10.數(shù)碼不同的兩位數(shù)，將其數(shù)碼順序交換后，得到一個新的兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的平方差是完全平方

數(shù)，求所有這樣的兩位數(shù).

（天津市競賽試題）

11.若X+y="+R且x2+y2=a2+〃，求證：/03+y)3="助+〃003.

12.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如

4=22-0112=42-22,20=62-42,因此4,12,20這三個數(shù)都是神秘?cái)?shù).

（1）28和2012這兩個數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2人+2和2左（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)

嗎？為什么？

（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正值）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（浙江省中考試題）

專題3和差化積--因式分解的方法（1）

閱讀與思考

提公因式、公式法、十字相乘法、分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)來選

擇分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必須進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止.

一些復(fù)雜的因式分解問題經(jīng)常用到以下重要方法：

1.換元法：

對一些數(shù)、式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，可把多項(xiàng)式中的某些部分看成一個整體，用一個新字母代替，

從而可達(dá)到化繁為簡的目的.從換元的形式看，換元時有常值代換、式的代換；從引元的個數(shù)看，換元時

有一元代換、二元代換等.

2.拆、添項(xiàng)法：

拆項(xiàng)即把代數(shù)式中的某項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或差，添項(xiàng)即把代數(shù)式添上兩個符號相反的項(xiàng)，因式分解中進(jìn)

行拆項(xiàng)與添項(xiàng)的目的是相同的，即經(jīng)過拆項(xiàng)或添項(xiàng)后，多項(xiàng)式能恰當(dāng)分組，從而可以運(yùn)用分組分解法分解.

例題與求解

【例I】分解因式(f+X++X+2)—12=.

(浙江省中考題)

解題思路：把(爐+x)看成一個整體，用一個新字母代換，從而簡化式子的結(jié)構(gòu).

【例2］觀察下列因式分解的過程：

(1)x1-xy+^x-^y；

原式=(x2_Ay)+(4x_4y)=x(x_y)+4(x_y)=(x_y)(x+4)；

(2)a2-b1-c1+2bc.

原式=ci~_+c~_26c)—ci~_(/?_c)-=(a+b_c*a—人+c).

第(1)題分組后能直接提公因式，第(2)題分組后能直接運(yùn)用公式.

仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：

(1)a2-ab+ac-bc-,

(西寧市中考試題)

(2)x2-4y2-z2+4yz.

(臨沂市中考試題)

解題思路：通過分組，使每一組分組因式后，整體能再分解，恰當(dāng)分組是關(guān)鍵，經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)一一失敗

---再試驗(yàn)----再失敗----直至成功”的過程.

【例3】分解因式

(1)1999X2-(19992-1)X-1999；

(重慶市競賽題)

(2)(x+yXx+y+2xy)+(Ay+1X^-1)；

(“縉云杯”邀請賽試題)

(3)(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3.

(“五羊杯”競賽試題)

解題思路：(1)式中系數(shù)較大，直接分解有困難，不妨把數(shù)字用字母來表示；(2)式中x+y、型反

復(fù)出現(xiàn)，可用兩個新字母代替，突出式子的特點(diǎn)；(3)式中前兩項(xiàng)與后一項(xiàng)有密切聯(lián)系.

【例4】把多項(xiàng)式--V-2龍一4y-3因式分解后，正確的結(jié)果是().

A.(x+y+3Xx-y-l)B.(x+j-lX-t-J+3)

C.(x+y—3)(x__y+1)D.(x+y+lXx-y-3)

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：直接分組分解困難，可考慮先將常數(shù)項(xiàng)拆成幾個數(shù)的代數(shù)和，比如一3=-4+1.

【例5】分解因式：

(1)x'+x+l；

(揚(yáng)州市競賽題)

(2)X3-9X+8；(請給出多種解法)

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

(3)a，+2cr+3a~+2a+1.

解題思路：按次數(shù)添上相應(yīng)的項(xiàng)或按系數(shù)拆項(xiàng)法分解因式的基本策略.

【例6】分解因式：X3+6X2+11X+6.

(河南省競賽試題)

解題思路：拆哪一項(xiàng)？怎樣拆？可有不同的解法.

能力訓(xùn)練

A級

1.分解因式：

、132

(1)-x+x-X-.

4----------------------------

(泰安市中考試題)

(2)4/zz3n-l6mni=.

(威海市中考試題)

2.分解因式：

(1)x(x—1)+y(y+1)-2xy=；

(2)(x_+3x>_2(尸+3x)-8=

3.分解因式：a2—h2+4a+2h+3=.

4.多項(xiàng)式ad一8a與多項(xiàng)式-4x+4的公因式是.

5.在卜100之間若存在整數(shù)八，使V+x—〃能分解為兩個整系數(shù)一次式的乘積，這樣的〃有個.

6.將多項(xiàng)式/一4,2一922-12：^分解因式的積，結(jié)果是().

A.(x+2y-3z)(x-2y-3z)B.(x-2y-3z)(x-2y+3z)

C.(x+2y+3z)(x+2y-3z)D.(x+2y+3z)(x-2y-3z)

7.下列各式分解因式后，可表示為一次因式乘積的是().

A.X3-9/+27X-27B.X3-X2+27X-27

C.-丁+27x-27D.X3-3X2+9X-27

(“希望杯”邀請賽試題)

8.把“4+4分解因式，其中一個因式是().

A.。+1B.4+2C./+4D.a?—2a+2

9.多項(xiàng)式/一獷+d+3Mc有因式().

A.c+a—bB.a+b+c

C.+b~4-c~-be+etc—abD.bc—ac+ah

(“五羊杯”競賽試題)

10.已知二次三項(xiàng)式21/+辦一1()可分解成兩個整系數(shù)的一次因式的積，那么().

A.a一定是奇數(shù)B.a一定是偶數(shù)

C.a可為奇數(shù)也可為偶數(shù)D.。一定是負(fù)數(shù)

11.分解因式：

(1)(2x'—3x+1)"—22x~+33x—1；

22

(2)(X+3X+2)(4X+8X+3)-90;

(3)X4-7X2+1；(“祖沖之杯”邀請賽試題)

(4)X3+2%2-5X-6；(重慶市競賽試題)

(5)x4+y4+(x+y)4；

(6)(6x—1)(2%—1)(3%—l)(x—1)+.

12.先化簡，在求值：

2a(a+b)-(a+b)2,其中a=j2008,6=j2007.

B級

1.分解因式：4x2-4x-y2+4y-3=

（重慶市競賽試題）

2.分解因式：(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)=

（“五羊杯”競賽試題）

3.分解因式：(/-l)(x+3)(x+5)+12=

（“希望杯”邀請賽試題）

4.分解因式：丁+1-1=.

（“五羊杯”競賽試題）

5.將為5+犬4+1因式分解得（）.

A.(X2+X+1)(X3+X+1)B.(x2-x+l)(x3+x+l)

C.(x2-x+l)(x3-x+1)D.(X~+X+1)(無3—尤+])

（陜西省競賽試題）

6.已知a,b,c是aABC三邊的長，且滿足/+2〃+02—2僅Q+C）=O,則此三角形是（）.

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.不能確定

7.2x，+/一13%+6的因式是（）.

A.2x—1B.X+2C.x—3D.+1E.2x+l

（美國猶他州競賽試題）

8.分解因式：

(1)(^ci+b—2.ciby{u+/>—2)+(1—cib)~；（湖北省黃岡市競賽試題）

(2)/+1999/+199&C+1999；（江蘇省競賽試題）

(3)3"+a+1)(a2—6a+1)+12〃~；（陜西省中考試題）

(4)4d—3\x+15；（“祖沖之杯”邀請賽試題）

(5)(2x—3y4+(3x—2y)3-125(x-；（“五羊杯”競賽試題）

(6)4x4-4x3—14x2+12x+6.（太原市競賽試題）

9.已知乘法公式：

a'+/=(a+/?)(/—a'b+ci~h~—ab'+)

-b5=(a-b)(a4+a%+a2b2+aby+b4)

利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+l.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

10.分解因式：

(1)x3+6x2-27x；

(2)6『+a~-a—1；

(3)8(x2-2y2)-x(7x++.

11.對方程/〃+/+〃=2（）04,求出至少一組正整數(shù)解.

（莫斯科市競賽試題）

12.已知在AABC中，。2-16。2-。2+6“6+106。=0(。,九。是三角形三邊的長)，

求證：a+c-2b.

(天津市競賽試題)

專題04和差化積--因式分解的方法(2)

閱讀與思考

因式分解還經(jīng)常用到以下兩種方法

1.主元法

所謂主元法，即在解多變元問題時，選擇其中某個變元為主要元素，視其他變元為常量，將原式按降

幕排列重新整理成關(guān)于這個字母的多項(xiàng)式，使問題獲解的一種方法.

2.待定系數(shù)法

即對所給的數(shù)學(xué)問題，根據(jù)已知條件和要求，先設(shè)出一個或幾個待定的字母系數(shù)，把所求問題用式子

表示，然后再利用已知條件，確定或消去所設(shè)系數(shù)，使問題獲解的一種方法，用待定系數(shù)法解題的一般步

驟是：

(1)在已知問題的預(yù)定結(jié)論時，先假設(shè)一個等式，其中含有待定的系數(shù)；

(2)利用恒等式對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等的性質(zhì)，列出含有待定系數(shù)的方程組；

(3)解方程組，求出待定系數(shù)，再代入所設(shè)問題的結(jié)構(gòu)中去，得出需求問題的解.

例題與求解

【例I】x2y-y2z+z2無一Jz+Jx+z2y-2盯z因式分解后的結(jié)果是().

A.(y-z)(x+yXx-z)B.(y-z/x-y/x+z)

C.(y+z)(x-y)(x+z)D.(y+z/x+y1x-z)

(上海市競賽題)

解題思路：原式是一個復(fù)雜的三元二次多項(xiàng)式，分解有一定困難，把原式整理成關(guān)于某個字母的多項(xiàng)

式并按降基排列，改變原式結(jié)構(gòu)，尋找解題突破口.

［例2］分解因式：

(1)a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc；

(“希望杯”邀請賽試題)

(2)2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z.

（天津市競賽題）

解題思路：兩個多項(xiàng)式的共同特點(diǎn)是：字母多、次數(shù)高，給分解帶來一定的困難，不妨考慮用主元法

分解.

【例3】分解因式/+（2a+l）x~++2a—l）x+ct~—1.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：因。的最高次數(shù)低于x的最高次數(shù)，故將原式整理成字母a的二次三項(xiàng)式.

【例4】女為何值時，多項(xiàng)式/+孫一2y2+8x+10y+k有一個因式是x+2y+2?

（“五羊杯”競賽試題）

解題思路：由于原式本身含有待定系數(shù)，因此不能先分解，再求值，只能從待定系數(shù)法入手.

【例5］把多項(xiàng)式4￡*—4/+5f—2x+l寫成一個多項(xiàng)式的完全平方式.

（江西省景德鎮(zhèn)市競賽題）

解題思路：原多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)是4/,因此二次三項(xiàng)式的一般形式為2/+以+匕，求出。、人即可.

［例6］如果多項(xiàng)式/-（a+5）x+5a-l能分解成兩個一次因式（x+。），（x+c）的乘積（b,c為整

數(shù)），則。的值應(yīng)為多少？

（江蘇省競賽試題）

解題思路：由待定系數(shù)法得到關(guān)于仇c,a的方程組，通過消元、分解因式解不定方程，求出仇c,a的

值.

能力訓(xùn)練

A級

1.分解因式：9a2-4b2+4bc-c2=.

(“希望杯”邀請賽試題)

2.分解因式：x1+5xy+x+3y+6j2=

(河南省競賽試題)

3.分解因式：廠+3(x+))+3->-+(x-y)=.

(重慶市競賽試題)

4.多項(xiàng)式x2+j2-6x+8j+7的最小值為.

(江蘇省競賽試題)

5.把多項(xiàng)式/一2盯+V+2x—2y—8分解因式的結(jié)果是()

A.(x一y—4)(x—y4-2)B.(x—y—l)(x—y—8)

C.(x-y+4)(x-y-2)D.(x-y+l)(x-y-8)

6.已知Y+ar-12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，則符合條件的整數(shù)a的個數(shù)是（）.

A.3個B.4個C.5個D.6個

7.若3d—小+4被3X-1除后余3,則%的值為（）.

A.2B.4C.9D.10

CCASIO杯”選拔賽試題）

H71貝ij3a2+12。8+9。2+1的值是（

8.彳iQ+/?=----9Q+3。=1,）.

55

224

A.-B.一C.-D.0

935

（大連市“育英杯”競賽試題）

9.分解因式：

(1)2a2-b~-ab+bc+2ac；

（吉林省競賽試題）

(2)(c-a)2-4(b-c)(a-b)；

（昆明市競賽試題）

(3)/—3x~+(a+2)x—2a；

（天津市競賽試題）

(4)2x2-7xy+6y2+2x-y-12；

（四川省聯(lián)賽試題）

（天津市競賽試題）

10.如果（工一。）。一4）一1能夠分割成兩個多項(xiàng)式工+力和工+。的乘積（》、c為整數(shù)），那么a應(yīng)為多少？

（蘭州市競賽試題）

15.已知代數(shù)式/一3孫-4），2一%+力一2能分解為關(guān)于的一次式乘積，求b的值.

（浙江省競賽試題）

B級

1.若J?+3%2-3x+%有一個因式是x+i,則％=.

（“希望杯”邀請賽試題）

2.設(shè)/+3/一2盯一女x—4y可分解為一次與二次因式的乘積，則％=.

（“五羊杯”競賽試題）

3.已知x-y+4是X2—y?+/HX+3y+4的一個因式，則加=.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

4.多項(xiàng)式—+。孫+〃/-5x+y