2022北京市朝陽區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)真題試卷（學(xué)生版）

8/92022北京朝陽高二（上）期末數(shù)學(xué)2022.1第一部分（選擇題共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）（1）點(diǎn)到直線的距離是（A） （B） （C） （D）（2）與的等差中項(xiàng)是（A） （B） （C） （D）（3）已知直線過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程是（A） （B）（C） （D）（4）已知函數(shù)，則（A） （B） （C） （D）（5）已知圓與圓外切，則（A） （B） （C） （D）（6）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（A） （B）（C） （D）（7）已知等比數(shù)列的公比為，，則“”是“為遞減數(shù)列”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（8）點(diǎn)是正方體的底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)．給出下列三個(gè)結(jié)論：①滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；②滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；③滿足平面的點(diǎn)的軌跡是線段．則上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（A） （B） （C） （D）（9）已知，是圓上的兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，若存在點(diǎn)，，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（10）北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性．規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．給出下列三個(gè)結(jié)論：正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；任意四棱錐的總曲率均為；③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③第二部分（非選擇題共100分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（11）設(shè)函數(shù)，則 ．（12）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．（寫出一個(gè)即可）（13）日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的．隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷増加．己知將噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為．則凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的______倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越______（填“快”或“慢”）．（14）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于,兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為 ．（15）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則 ， ．（16）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線的方程為；②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為；③曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）（17）（本小題13分）已知是等差數(shù)列，，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（18）（本小題13分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫出線段長度的最小值．（不需證明）（19）（本小題15分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長為的正方形，點(diǎn)在棱上（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）并給出證明．條件①：為的中點(diǎn)；條件②：平面；條件③：．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值．（20）（本小題14分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線，與直線和橢圓分別交于兩點(diǎn)，(與不重合)．判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由．（21）（本小題15分）已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列是各項(xiàng)均為非負(fù)實(shí)數(shù)的遞增數(shù)列．若對(duì)任意的（Ⅰ）判斷數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；（Ⅲ）若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等差數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)的所有可能取值．

2022北京朝陽高二（上）期末數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）（1）B （2）A （3）D （4）A （5）D（6）C （7）C （8）C （9）B （10）D二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（11） （12）（答案不唯一） （13）；快（14） （15）； （16）①④三、解答題（共5小題，共70分）（17）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為． 由題意得 解得，． 所以． …………6分（Ⅱ）因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，又，，所以，所以．所以．……………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)，連結(jié)．因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．………?分（Ⅱ）因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以．因?yàn)榈酌妫裕忠驗(yàn)?所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．………?0分（Ⅲ）線段長度的最小值為.…………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）連結(jié)，.由直四棱柱知，平面，又平面，所以.因?yàn)闉檎叫?，所?又，所以平面.又平面，所以.…………5分（Ⅱ）選條件①、條件③，可使平面．證明如下：設(shè)，連結(jié)，.又，分別是，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?由（Ⅰ）知平面，所以.又，所以平面.…………10分（Ⅱ）選條件②、條件③，可使平面．證明如下：設(shè)，連結(jié).因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所?因?yàn)椋?由（Ⅰ）知平面，所以.又，所以平面.…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，四邊形為正方形，所以.因?yàn)椋?，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，.由（Ⅰ）知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．…………15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由題意得，，，又因?yàn)?，所以．所以橢圓的方程為．…………5分（Ⅱ）以為直徑的圓過定點(diǎn)．理由如下：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（）．令，得,所以．由得，則或，所以．設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，．由題意，，則以為直徑的圓的方程為．即恒成立.即解得故以為直徑的圓恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓也過點(diǎn).綜上，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).…………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）數(shù)列，，，不具有性質(zhì)．因?yàn)椋?，和均不是?shù)列，，，中的項(xiàng)，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì)．…………4分（Ⅱ）記數(shù)列的各項(xiàng)組成的集合為，因?yàn)?，，由?shù)列具有性質(zhì)，，所以，即，所以． 設(shè)，因?yàn)?，所以．又，所以，，，，．將上面的式子相加得．所以．………?0分（Ⅲ