2022北京市東城區(qū)高二（上）期末數學真題試卷（學生版）

7/82022北京東城高二（上）期末數學第一部分（選擇題共30分）一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）下列直線中，傾斜角為銳角的是（A）（B）（C）（D）（2）已知為等差數列，且，，則（A）（B）（C）（D）（3）拋物線的焦點到準線的距離為（A）（B）（C）（D）（4）已知平面，的法向量分別為，，且//，則（A） （B）1（C）（D）（5）已知△的三個頂點是，則邊上的高所在的直線方程為（A）（B）（C）（D）（6）設數列的前項和為，若，，，則，，，中，最大的是（A）（B）（C） （D）（7）在長方體中，，，點分別在棱上，//，，則（A）1 （B）（C）2（D）（8）“”是“圓與軸相切”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C)充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）已知拋物線過點，點為平面直角坐標系平面內一點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則點與原點間的距離的最小值為（A）（B）（C）（D）（10）均勻壓縮是物理學一種常見現象.在平面直角坐標系中曲線的均勻壓縮，可用曲線上點的坐標來描述.設曲線上任意一點，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點的對應點為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點的對應點為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（A） （B）（C）（D）第二部分（非選擇題共70分）二、填空題：共6小題，每小題4分，共24分。（11）若過點和的直線與直線平行，則．（12）寫出一個離心率且焦點在軸上的雙曲線的標準方程________,并寫出該雙曲線的漸近線方程________．（13）已知數列滿足，，若，則．（14）已知點，平面過，，三點，則點到平面的距離為________．（15）1970年4月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點的橢圓.已知衛(wèi)星的近地點（離地面最近的點）距地面的高度約為439km，遠地點（離地面最遠的點）距地面的高度約為2384km，且地心、近地點、遠地點三點在同一直線上，地球半徑約為6371km，則衛(wèi)星運行軌道是上任意兩點間的距離的最大值為___________km．如圖，在棱長都為1的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請選擇該平行六面體的三個頂點，使得經過這三個頂點的平面與直線垂直.這三個頂點可以是________．三、解答題：共5小題，共46分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（17）（本小題8分）已知圓的方程為．（Ⅰ）求圓的圓心及半徑；（Ⅱ）是否存在直線滿足：經過點，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．（18）（本小題9分）某學校一航模小組進行飛機模型飛行高度實驗，飛機模型在第一分鐘時間內上升了10米高度．若通過動力控制系統(tǒng)，可使飛機模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的75%．（Ⅰ）在此動力控制系統(tǒng)下，該飛機模型在第三分鐘內上升的高度是多少米？（Ⅱ）這個飛機模型上升的最大高度能超過50米嗎？如果能，求出從第幾分鐘開始高度超過50米；如果不能，請說明理由．（19）（本小題10分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點分別為的中點，平面棱．（Ⅰ）試確定的值，并證明你的結論；（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值．（20）（本小題10分）已知橢圓過點，且離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點為橢圓的左焦點，點，過點作的垂線交橢圓于點，連接與交于點．①若，求；②求的值．（21）（本小題9分）設等差數列的各項均為整數，且滿足對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱這樣的數列具有性質．（Ⅰ）若數列的通項公式為，數列是否具有性質？并說明理由；（Ⅱ）若，求出具有性質的數列公差的所有可能值；（Ⅲ）對于給定的，具有性質的數列是有限個，還是可以無窮多個？(直接寫出結論)

2022北京東城高二（上）期末數學參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）（1）A（2）B（3）C（4）D（5）B（6）C（7）D（8）A（9）B（10）C二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）（11）3（12）（答案不唯一）（13）（14）（15）15565（16）點或點（填出其中一組即可）解答題（共5小題，共46分）（17）（共8分） 解：（Ⅰ）由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.4分（Ⅱ）選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長最長，則直線應過圓心.即直線過點和，則直線的方程為.8分選擇條件②：若直線過點被圓所截得的弦長最短，則直線應與垂直.又，所以.故直線方程為．8分選擇條件③：經過點的直線被圓所截得的最短弦長，由于，所以不存在滿足條件的直線．8分（18）（共9分）解：（Ⅰ）由題意，飛機模型每分鐘上升的高度構成，公比的等比數列，則米.即飛機模型在第三分鐘內上升的高度是米.5分（Ⅱ）不能超過米.6分依題意可得，所以這個飛機模型上升的最大高度不能超過米.9分（19）（共10分）解：（Ⅰ）.1分證明如下：在△中，因為點分別為的中點，所以//.又平面，平面，所以//平面.因為平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因為點為的中點，所以點為的中點，即.5分（Ⅱ）因為底面為正方形，所以.因為底面，所以，.如圖，建立空間直角坐標系，則，，.因為分別為的中點，所以.所以，.設平面的法向量為，則即令，于是.又因為平面的法向量為，所以所以平面與平面夾角的余弦值為.10分（20）（共10分）解：（Ⅰ）由題意得解得，．所以橢圓的方程為．4分（Ⅱ）①當時，直線的斜率，則的垂線的方程為．由得解得故，，．7分②由，，顯然斜率存在，，當時，．當時，直線過點且與直線垂直，則直線方程為．由得．顯然．設，，則，．則中點．直線的方程為，由得．所以．綜上的值為．