高考數(shù)學二輪復習專題6解析幾何培優(yōu)拓展（15）隱形圓問題課件

培優(yōu)拓展(十五)隱形圓問題在解決某些解析幾何問題時,題設條件看似與圓無關,但通過對題目條件的分析、轉化后,會發(fā)現(xiàn)滿足條件的點的軌跡是一個圓,進而可得出圓的方程,再利用圓的知識求解,我們一般稱這類問題為隱形圓問題.角度一利用圓的定義或幾何性質確定隱形圓例1(1)已知圓C:x2+y2-4x=0,點A(-1,0),B(1,2),則圓C上使得|PA|2+|PB|2=12成立的點P有(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個C解析

如圖,假設圓C上存在點P,設P(x,y),圓C的方程可化為(x-2)2+y2=4,圓心為(2,0).|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,整理得x2+(y-1)2=4,點P的軌跡是以(0,1)為圓心,2為半徑的圓.(2)舒騰尺是荷蘭數(shù)學家舒騰設計的一種作圖工具,如圖,O是滑槽AB的中點,短桿ON可繞O轉動,長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動.當點D在滑槽AB內做往復移動時,帶動點N繞O轉動,點M也隨之而運動.若ON=DN=1,MN=3,AB=4,則|MA|的最小值為

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解析

以滑槽AB所在的直線為x軸,O為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(-2,0),B(2,0).[對點訓練1](2024江蘇徐州一模)已知點A(1,0),B(5,0),若≤4,則點P到直線3x-y+1=0距離的最小值為

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角度二由圓周角的性質確定隱形圓例2(2024浙江嘉興二模)已知圓C:(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),B(0,8),若圓C上存在點P使得PA⊥PB,則r的取值范圍為(

)A.(0,5] B.[5,15] C.[10,15] D.[15,+∞)B解析

由PA⊥PB可知點P的軌跡是以AB為直徑的圓,設為圓M.因為A(-6,0),B(0,8),故圓M:(x+3)2+(y-4)2=25.依題意知圓M與圓C至少有一個公共點.因為C(5,-2),M(-3,4),則|CM|==10,由|r-5|≤|CM|≤5+r,解得5≤r≤15.故選B.[對點訓練2]在平面直角坐標系xOy中,點A(-6,-2),B(4,-2),直線kx-y+8k-2=0(k∈R)上存在點M(x0,y0)滿足∠AMB=90°,則實數(shù)k的一個可能取值是

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角度三阿波羅尼斯圓例3(2024湖南岳陽模擬)數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為“阿波羅尼斯圓”,簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中,A(-2,0),動點M滿足|MA|=2|MO|,得到動點M的軌跡是阿氏圓C.若對任意實數(shù)k,直線l:y=k(x-1)+b與圓C恒有公共點,則實數(shù)b的取值范圍是(

)C解析

設點M(x,y),因為|MA|=2|MO|,所以(x+2)2+y2=4x2+4y2,所以動點M的軌跡為阿波羅尼斯圓C:3x2+3y2-4x-4=0,又直