【八年級上冊數(shù)學蘇科版】專題10 勾股定理及其逆定理(原卷版)

第第頁專題10勾股定理及其逆定理考點一用勾股定理解三角形考點二以直角三角形三邊為邊的圖形面積考點三勾股定理與網(wǎng)格問題考點四勾股定理與折疊問題考點五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)考點六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系考點七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形考點八在網(wǎng)格中判斷直角三角形考點九圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點考點十利用勾股定理逆定理求解考點十一勾股定理逆定理解決實際問題考點一用勾股定理解三角形例題：（2022·湖南衡陽·八年級期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，則AC的長應是（

）A．5 B． C．5或 D．5或【變式訓練】1．（2022·福建省福州屏東中學八年級期中）已知一個直角三角形的兩邊分別為3和4，則第三邊的長可以是__________．（寫出一個即可）2．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的長．考點二以直角三角形三邊為邊的圖形面積例題：（2022·天津二中八年級期中）如圖所示，三個大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（

）A．225 B．144 C．81 D．無法確定【變式訓練】1．（2022·廣東陽江·八年級期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是________．2．（2022·全國·八年級）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為______．考點三勾股定理與網(wǎng)格問題例題：（2022·福建福州·八年級期末）在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、E在格點上，長度是的線段是（

）A．AB B．AC C．AD D．AE【變式訓練】1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為__________．2．（2022·遼寧鞍山·八年級期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1．求出四邊形ABCD的周長和面積．考點四勾股定理與折疊問題例題：（2022·湖北咸寧·八年級期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【變式訓練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在中，．將折疊，使點B恰好落在邊上，與點重合，為折痕，則的周長為__________．2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊，點B恰好落在線段DE上的點F處，則BE的長為______．考點五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)例題：（2021·貴州六盤水·八年級階段練習）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【變式訓練】1．（2022·全國·八年級課時練習）在中，，，則（

）．A．100 B．200 C．300 D．4002．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于_____．考點六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系例題：（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在等腰中，，點D是上一點，作等腰，且，連接．(1)求證：；(2)求證：．【變式訓練】1．（2022·福建·漳平市教師進修學校八年級階段練習）如圖，在中，，，在中，，與交于點，且．求證：（1）；（2）．考點七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例題：（2022·廣西柳州·八年級期中）以下列各組數(shù)為三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【變式訓練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級開學考試）若的三邊長a，b，c滿足，則是____________．2．（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學校八年級期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC是_____三角形．考點八在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題：（2022·湖北·谷城縣教學研究室八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C均在格點上（即小正方形的項點上），則圖中的度數(shù)為___________．【變式訓練】1．（2022·吉林松原·八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都相等，A，B，C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為___．2．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△的頂點都在格點上，．(1)__________；(2)判斷△的形狀，并說明理由．考點九圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點例題：（2022·全國·八年級專題練習）同一平面內(nèi)有，，三點，，兩點之間的距離為，點到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點有______個．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當_________s時，是等腰三角形；當_________s時，是直角三角形．2．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t秒．(1)求BC邊的長；(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值；(3)當△ABP為等腰三角形時，請直接寫出此時t的值．考點十利用勾股定理逆定理求解例題：（2022·河北衡水·八年級期中）如圖，已知在中，，．（1）的度數(shù)為_____；（2）若是的中點，則的度數(shù)為_____．【變式訓練】1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=8，AD=，∠ACD=90°，求∠B的度數(shù)．2．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一點，BD＝9，CD＝12(1)求證：CD⊥AB；(2)求AC的長．考點十一勾股定理逆定理解決實際問題例題：（2022·湖南張家界·八年級期中）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．【變式訓練】1．（2022·四川廣安·八年級期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖為該空地的示意圖，已知，，，，．現(xiàn)計劃在空地上種草，若每平方米草地造價30元，在這塊空地上全部種草的費用是多少元？2．（2022·四川宜賓·八年級期末）“村村通”公路是我國的一項重要的民生工程，如圖，A，B，C三個村都分別修建了一條互通公路，其中AB=BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個景點M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達景點M，又修建了一條公路AM，測得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判斷△ACM的形狀，并說明理由；(2)求公路AB的長.3．（2022·山東聊城·八年級期末）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？一、選擇題1．（2022·江蘇·海安市南莫中學八年級期中）下列四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．3、4、5 B．1、、2 C．13、14、15 D．8、15、172．（2022·福建龍巖·八年級期末）一個直角三角形有兩條邊分別是3cm，4cm，則第三條邊的長度是(

)A．5cm B．cm C．5cm或cm D．以上都不對3．（2022·遼寧鐵嶺·八年級期末）已知，則以a，b，c為三邊長的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定4．（2022·遼寧撫順·八年級期末）在中，，D為BC邊的中點，則AD的長為（

）．A．4 B．5 C． D．105．（2022·陜西咸陽·八年級期末）如圖，在長為2的線段AB上，用尺規(guī)作如下操作：過點B作BC⊥AB，使得BC=，連接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，則BD的長為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）在如圖所示的直角三角形中，x=____．7．（2022·河南許昌·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足為D．若AB=6．則DC的長為__________．8．（2022·上海市風華初級中學八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點D是BC的中點，如果將△ACD沿AD翻折后，點C的對應點為點E，那么CE的長等于________.9．（2022·遼寧沈陽·八年級期末）在中，，點D為的中點，點E在邊上，將沿著翻折，使點C落在點F處，當時，________．10．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，點是射線外一點，連接，cm，點到的距離為3cm．動點從點出發(fā)沿射線以2cm/s的速度運動．設(shè)運動的時間為秒，當為__________秒時，為直角三角形．三、解答題11．（2022·吉林白城·八年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．12．（2022·廣東清遠·八年級期中）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．(1)求的值；(2)試判斷△ABC的形狀，并說明理由．13．（2022·廣東·汕頭市藍田中學八年級期中）如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在網(wǎng)格上，且每個小正方形的邊長都為1．(1)BC＝，AD＝，連接BD，判斷△ABD的形狀為；(2)求四邊形ABCD的面積．14．（2022·山東聊城·八年級期中）如圖，在中，D是BC的中點，，垂足為D，交AB于點E，且．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求AE的長．15．（2022·河南洛陽·八年級期末）如圖，△中，，，，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)若