信號(hào)與系統(tǒng)（第五版）課件第4章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的復(fù)頻域表示與分析

第4章

連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的復(fù)頻域表示與分析4.1拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)與定理4.3拉普拉斯反變換4.4LTI系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法4.5系統(tǒng)函數(shù)與復(fù)頻域分析法4.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬及信號(hào)流圖4.7LTI連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.8基于MATLAB的復(fù)頻域分析

4.1拉普拉斯變換

4.1.1單邊拉普拉斯變換

1.單邊拉氏變換定義因果信號(hào)的傅氏正、反變換為

傅氏變換處理某些信號(hào)不方便，主要原因是這類信號(hào)不收斂，例如階躍信號(hào)u(t)。為了使信號(hào)收斂，在進(jìn)行變換時(shí)，讓原信號(hào)f(t)乘以e-σt

。選擇合適的σ，使得f(t)e-σt

是一個(gè)收斂速度足夠快的信號(hào)，即有

式中，e-σt為收斂(衰減)因子，且f1(t)滿足絕對(duì)可積條件。則

因?yàn)閑-σt的作用，式(4.1-2)與式(4.1-5)是適合指數(shù)階信號(hào)的變換。又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0時(shí)為零的因果信號(hào)，故稱“單邊”變換。將兩式重新表示在一起，單邊拉氏變換定義為

亦稱s=σ+jω

為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)為像函數(shù)，f(t)為原函數(shù)。

像函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系還可以表示為

s=σ+jω

可以用直角坐標(biāo)的復(fù)平面(s平面)表示，σ是實(shí)軸，jω

是虛軸，如圖4.1-1所示。

圖4.1-1復(fù)平面

2.單邊拉氏變換收斂區(qū)

收斂區(qū)是使f(t)e-σt

滿足可積的σ取值范圍，或是使f(t)的單邊拉氏變換存在的σ取值范圍。

由式(4.1-3)的推導(dǎo)可見，因?yàn)閑-σt

的作用，使得f(t)e-σt

在一定條件下收斂，即有

式中，σ0

叫做收斂坐標(biāo)，是實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)。穿過σ0

并與虛軸jω

平行的直線叫做收斂邊界。收斂軸的右邊為收斂區(qū)，收斂區(qū)不包括收斂軸。一旦σ0

確定，f(t)的拉氏變換的收斂區(qū)就確定了。

以f(t)隨時(shí)間變化的趨勢，收斂區(qū)的大致范圍為：

(1)若f(t)是有限時(shí)寬的，則收斂區(qū)為全s平面，σ0=-∞。例如，單脈沖信號(hào)。

(2)f(t)的幅度是隨時(shí)間衰減的，σ0<0，例如單邊指數(shù)信號(hào)e-atu(t)(a>0)的σ0=-a，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖4.1-2(a)所示。

(3)f(t)的幅度是隨時(shí)間不變的，σ0=0，例如u(t)、sinω0tu(t)，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖4.1-2(b)所示。

(4)f(t)的幅度是隨時(shí)間增長的，σ0>0，例如eatu(t)(a>0)的σ0=a，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖4.1-2(c)所示。

圖4.1-2收斂區(qū)示意圖

當(dāng)σ0<0時(shí)，收斂區(qū)包含虛軸jω，信號(hào)的傅氏變換存在；當(dāng)σ0>0時(shí)收斂區(qū)不包含虛軸jω，信號(hào)的傅氏變換不存在；當(dāng)σ0=0時(shí)，收斂區(qū)雖不包含虛軸jω，但信號(hào)的傅氏變換存在，不過有沖激項(xiàng)。

因?yàn)橹笖?shù)階信號(hào)的單邊拉氏變換一定存在，所以一般可以不標(biāo)明收斂區(qū)。

4.1.2常用函數(shù)的單邊拉普拉斯變換

通過求常用函數(shù)的像函數(shù)，可以掌握求解單邊拉氏變換的基本方法。

1.F(s)=F(jω)|s=jω的函數(shù)

當(dāng)拉氏變換的收斂區(qū)包括jω

軸，F(xiàn)(s)可由F(jω)直接得到，僅將jω

換為s，即

例4.1-1已知f(t)=e-atu(t)(a>0)以及求f(t)的拉氏變換。

解

f(t)的收斂域如圖4.1-2(a)所示，包括jω

軸，所以

2.t的指數(shù)函數(shù)eatu(t)(a為任意復(fù)常數(shù))

利用式(4.1-10)，可以推出以下常用信號(hào)的拉氏變換。

3.t的正冪函數(shù)

即

依此類推，

特別地，

表4-1列出了常用函數(shù)的單邊拉氏變換。

4.1.3雙邊拉普拉斯變換

1.定義

先討論e-σt的作用。當(dāng)σ一定時(shí)，若t>0時(shí)e-σt為收斂因子，則t<0時(shí)e-σt為發(fā)散因子，有

但是，如果有函數(shù)在σ(σ1<σ<σ2)給定的范圍內(nèi)，使得

則函數(shù)的雙邊拉氏變換存在，并記為

或

2.雙邊拉氏變換的收斂區(qū)

雙邊拉氏變換收斂區(qū)是使f(t)e-σt

滿足可積的σ取值范圍，或是使f(t)的雙邊拉氏變換存在的σ取值范圍。

例4.1-2已知函數(shù)f(t)=u(t)+etu(-t)，試確定f(t)雙邊拉氏變換及收斂區(qū)。

解

將積分分為兩項(xiàng)

對(duì)第①項(xiàng)，只有1-σ>0，即1>σ時(shí)積分收斂；收斂區(qū)如圖4.1-3(a)的陰影部分。

對(duì)第②項(xiàng)，只有σ>0時(shí)積分收斂，收斂區(qū)如圖4.1-3(b)的陰影部分，兩項(xiàng)的公共收斂區(qū)為0<σ<1。因此只有當(dāng)0<σ<1時(shí)，∫-∞∞f(t)e-σtdt<∞，雙邊拉氏變換存在，f(t)波形與收斂區(qū)如圖4.1-4所示。其雙邊拉氏變換為

通常，雙邊拉氏變換有兩個(gè)收斂邊界，一個(gè)取決于t>0的函數(shù)，是左邊界，用σ1-表示；另一個(gè)取決于t<0的函數(shù)，是右邊界，以σ2-表示。若σ1<σ2-時(shí)，則t>0與t<0的變換有公共收斂區(qū)，雙邊拉氏變換存在。因此，雙邊拉氏變換的收斂區(qū)是s平面上σ1<σ<σ2-的帶狀區(qū)，如圖4.1-5陰影部分。

若σ1≥σ2-時(shí)，t>0與t<0函數(shù)的拉氏變換沒有公共收斂區(qū)，雙邊拉氏變換不存在。

圖4.1-3例4.1-2①、②收斂區(qū)

圖4.1-4例4.1-2的f(t)與收斂區(qū)

圖4.1-5雙邊拉氏變換收斂區(qū)示意圖

例4.1-3已知求所有可能的f(t)。

解

因?yàn)镕B(s)中的s不能等于0、1，否則FB(s)不收斂。因此FB(s)的收斂區(qū)及對(duì)應(yīng)的f(t)有三種情況，分別為

(a)收斂區(qū)0<σ<1，對(duì)應(yīng)雙邊信號(hào)f1(t)=u(t)+etu(-t)；

(b)收斂區(qū)σ>1，對(duì)應(yīng)因果信號(hào)f2(t)=(1-et)u(t)；

(c)收斂區(qū)σ<0，對(duì)應(yīng)非因果信號(hào)f3(t)=(et-1)u(-t)。

從以上分析可見，雙邊拉氏變換的收斂區(qū)必須標(biāo)明，否則不能正確確定時(shí)域信號(hào)。

4.1.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系

由傅氏變換引出了拉氏變換的概念，現(xiàn)在借助圖4.1-6，重新回顧雙邊拉氏變換、單邊拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系。圖4.1-6拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系

4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)與定理

1.線性若f1(t)?

F1(s)，f2(t)?

F2(s)，則

證

線性在實(shí)際應(yīng)用中是用得最多、最靈活的性質(zhì)之一。例如，

2.時(shí)延(位移、延時(shí))特性

若f(t)u(t)?

F(s)，則

證

例4.2-1以f1(t)=sinωtu(t)為例，畫出f1(t)、f2(t)=sinω(t-t0)u(t)、f3(t)=sinωtu(t-t0)、f4(t)=sinω(t-t0)u(t-t0)的波形并分別求其拉氏變換。

解

f1(t)、f2(t)、f3(t)、f4(t)如圖4.2-1所示。

可以直接用公式的是f1(t)、f4(t)：

f2(t)、f3(t)經(jīng)一定的變化后方可用性質(zhì)。

圖4.2-1例4.2-1的波形圖

例4.2-2f(t)如圖4.2-2所示，求其像函數(shù)。

圖4.2-2例4.2-2的波形圖

例4.2-3求周期函數(shù)的單邊拉普拉斯變換，或求圖4.2-3所示單邊“周期”函數(shù)的拉普拉斯變換。圖4.2-3例4.2-3的單邊“周期”函數(shù)

例4.2-4求如圖4.2-4(a)所示周期的半波整流波形的單邊像函數(shù)。圖4.2-4例4.2-3的波形

解

半波整流波形第一個(gè)周期的波形如圖4.2-4(b)所示，可由兩個(gè)波形疊加，即

3.s域平移

若f(t)?

F(s)，則

式中，s0為復(fù)常數(shù)。

證

例4.2-5已知f(t)=e-atcosω0tu(t)，求像函數(shù)F(s)。

例4.2-6已知f(t)如圖4.2-5(a)所示，求F(s)。圖4.2-5例4.2-6的波形

解

f(t)=e(t)e-t?

F(s)=E(s+1)，e(t)如圖4.2-5(b)。

4.尺度變換

若f(t)?

F(s)，則

證

例4.2-7已知f(t)?

F(s)，求f1(t)=e-t/af(t/a)的像函數(shù)F1(s)。

解

先頻移

后尺度

例4.2-8求δ(at)、u(at)的像函數(shù)。

解

5.時(shí)域微分

若f(t)?

F(s)，則

式中，f(0)是f(t)在t=0時(shí)的值。

可以將式(4.2-6)推廣到高階導(dǎo)數(shù)：

特別地，當(dāng)f(0)=f'(0)=f″(0)=…=f(n-1)(0)=0時(shí)，式(4.2-6)和式(4.2-7)可分別化簡為

式中，s為微分因子。

不難證明，當(dāng)初始條件為f(r)(0-)(r=0，1，…，n-1)時(shí)，式(4.2-6)和式(4.2-7)也滿足，即

6.時(shí)域積分

若f(t)u(t)?

F(s)，則

7.復(fù)頻域微分

若

L[f(t)]=F(s)，則

證

可以推廣至復(fù)頻域的高階導(dǎo)數(shù)

用這一性質(zhì)可證明t的正冪函數(shù)的像函數(shù)

8.復(fù)頻域積分

9.初值定理

比較等式左、右兩邊得

例4.2-11已知求f(0+)、f(t)。

10.終值定理

11.時(shí)域卷積定理

若f1(t)?

F1(s)，f2(t)?

F2(s)，則

證

因?yàn)閒1(t)、f2(t)為有始函數(shù)，所以

交換積分次序

利用延時(shí)特性

12.復(fù)頻域卷積定理

4.3拉普拉斯反變換

拉普拉斯反(逆)變換是將像函數(shù)F(s)變換為原函數(shù)f(t)的運(yùn)算，即

這個(gè)公式的被積函數(shù)是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，其積分是沿著收斂區(qū)內(nèi)的直線σ-j∞→σ+j∞進(jìn)行的。這個(gè)積分可以用復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算。但一般情況下計(jì)算函數(shù)比計(jì)算積分更容易，因此可以利用復(fù)變函數(shù)理論中的圍線積分和留數(shù)定理求反變換。但當(dāng)像函數(shù)為有理函數(shù)時(shí)，更簡便的是代數(shù)方法，這種方法就是部分分式展開法，簡稱為“部分分式法”。

F(s)為s的有理函數(shù)時(shí)，一般形式可表示為

式中，ai、bi

為實(shí)常數(shù)，n、m

為正整數(shù)。

部分分式法的實(shí)質(zhì)是利用拉氏變換的線性特性，先將F(s)分解為若干如表4-1所示的簡單函數(shù)之和，再分別對(duì)這些簡單像函數(shù)求原函數(shù)。

將分母多項(xiàng)式表示為便于分解的形式

式中，p1，p2，…，pn

是A(s)=0方程式的根，也稱F(s)的極點(diǎn)。

同樣，分子多項(xiàng)式也可以表示為

式中，z1，z2，…，zm

是B(s)=0方程式的根，也稱F(s)的零點(diǎn)。

4.3.1m<n，F(xiàn)(s)均為單極點(diǎn)時(shí)的部分分式展開法

式中，p1，p2，…，pn

為單極點(diǎn)，F(xiàn)(s)可分解為

則

例4.3-1已知像函數(shù)

解

4.3.2m≥n，F(xiàn)(s)均為單極點(diǎn)時(shí)的部分分式展開法

當(dāng)m≥n

時(shí)，利用長除法將分子多項(xiàng)式的高次項(xiàng)提出，對(duì)余下的真分式(m'<n)部分處理同上。對(duì)提取的sr部分(0≤r≤mm')，利用微分性質(zhì)：

例4.3-2已知像函數(shù)

求原函數(shù)f(t)。

解

例4.3-3已知像函數(shù)求原函數(shù)f(t)。

解

一般共軛復(fù)根可配成二次項(xiàng)的平方作為整體考慮，而不是分為兩個(gè)單根。

4.3.3m<n，F(xiàn)(s)有重極點(diǎn)時(shí)的部分分式展開法

設(shè)

其中，s=p1-是F(s)的k

階極點(diǎn)，由F(s)可展開為

對(duì)式(4.3-16)兩邊求導(dǎo)

令式(4.3-17)的s=p1，右邊除了第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為0，所以，

同理對(duì)式(4.3-17)再求導(dǎo)，可得

再令式(4.3-19)的s=p1，并解得

類推重極點(diǎn)展開式一般項(xiàng)系數(shù)

對(duì)剩下的中若均為單極點(diǎn)，用前面單極點(diǎn)的處理方法展開，如還有重極點(diǎn)可用上面的方法處理。重極點(diǎn)反變換式中一般項(xiàng)為

所以最后

4.4LTI系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法4.4.1用拉普拉斯變換求解線性微分方程用拉氏變換求解線性微分方程，可以把對(duì)時(shí)域求解微分方程的過程，轉(zhuǎn)變?yōu)樵趶?fù)頻域中求解代數(shù)方程的過程，再經(jīng)拉氏反變換得到方程的時(shí)域解。下面以二階常系數(shù)線性微分方程為例討論用拉氏變換求解線性微分方程的一般方法，高階微分方程求解方法類推。二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為

1.零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。當(dāng)f(t)是因果激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)零輸入初始條件為零(y(0)=y'(0)=0)，則式(4.4-2)為

由式(4.4-3)得零狀態(tài)響應(yīng)為

2.零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)，由零輸入初始條件y(0)、y'(0)確定。此時(shí)激勵(lì)f(t)=0，式(4.4-2)變?yōu)?/p>

3.全響應(yīng)

利用拉氏變換，實(shí)際上不需要分別求零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)，因零輸入初始條件y(0)，y'(0)已“自動(dòng)”引入，所以可直接求解微分方程的全響應(yīng)。式(4.4-2)即為全響應(yīng)的拉氏變換，所以

由解此題過程可見：

(1)時(shí)域中的微分方程求解，在復(fù)頻域中為代數(shù)方程求解Y(s)。

(2)零輸入響應(yīng)初始條件y(0)、y'(0)在變換中自動(dòng)引入，其解為微分方程的完全解。

具體步驟：

(1)由具體電路列出微積分方程(組)。

(2)對(duì)微積分方程(組)取拉氏變換。

(3)用代數(shù)方法解出Y(s)或{Yi(s)}。

(4)求出y(t)=L-1{Y(s)}。

例4.4-4已知

且f(t)=1，y1(0)=2，y2(0)=1，求響應(yīng)y1(t)、y2(t)。

解

對(duì)方程兩邊取單邊拉氏變換，

代參數(shù)并整理

4.4.2s域的網(wǎng)絡(luò)模型——運(yùn)算電路法

根據(jù)元件上的電壓、電流關(guān)系列寫電路系統(tǒng)的微、積分方程，然后對(duì)方程取拉氏變換的方法，在分析電路響應(yīng)時(shí)有許多優(yōu)點(diǎn)，但是對(duì)比較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)(多網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn))，以及對(duì)初始條件的處理(需要標(biāo)準(zhǔn)化或等效)還有許多不便之處，我們可以用類似頻域電路的方法，簡化獲得網(wǎng)絡(luò)拉氏變換方程的過程，并且可以將n

階系統(tǒng)的初始狀態(tài){xk(0-)}(其中k=1，2，…，n)直接引入，充分體現(xiàn)拉氏變換的優(yōu)越性，這種方法稱為s域網(wǎng)絡(luò)(電路)模型法或運(yùn)算電路法。

1.元件的s域模型

首先討論無初始條件電阻、電感、電容的s域模型。此時(shí)R、L、C

元件的時(shí)域電壓電流關(guān)系為

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得到

由上式可見，如果認(rèn)為R、Ls、1/Cs是復(fù)頻域阻抗，則s域的電壓電流關(guān)系滿足復(fù)頻域(廣義)的歐姆定律。這樣就可以將原來的微、積分運(yùn)算關(guān)系變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算關(guān)系。式(4.4-9)所表示的電壓電流關(guān)系可以用如圖4.4-1所示的s域網(wǎng)絡(luò)模型表示。圖4.4-1無初始條件元件的s域網(wǎng)絡(luò)模型

再考慮電感、電容具有初始條件的s域模型，此時(shí)L、C時(shí)域模型如圖4.4-2所示，其電壓電流關(guān)系為圖4.4-2-有初始條件元件的時(shí)域模型

分別對(duì)式(4.4-10)進(jìn)行拉氏變換，得到

上式所表示的電壓電流關(guān)系，可以用如圖4.4-3所示的s域網(wǎng)絡(luò)模型表示。圖4.4-3-有初始條件元件的s域網(wǎng)絡(luò)模型

由式(4.4-11)還可解出：

所對(duì)應(yīng)的s域網(wǎng)絡(luò)模型如圖4.4-4所示。圖4.4-4有初始條件元件的s域網(wǎng)絡(luò)模型另一種形式

例4.4-5電路如圖4.4-5所示，激勵(lì)為e(t)，響應(yīng)為i(t)，求s域等效模型及響應(yīng)的s域方程。圖4.4-5例4.4-5電路系統(tǒng)

解

s域等效模型(運(yùn)算等效電路)如圖4.4-6所示，列回路KVL方程：

解出圖4.4-6例4.4-5電路的s域網(wǎng)絡(luò)模型

例4.4-6已知電路如圖4.4-7所示，求izi(t)。其中：R1=0.2Ω，R2=1Ω，C=1F，L=0.5H；vC(0-)=-0.2V，iL(0-)=-1A。圖4.4-7例4.4-6電路系統(tǒng)

解

s域等效模型如圖4.4-8所示，列網(wǎng)孔方程式：圖4.4-8例4.4-6電路的s域網(wǎng)絡(luò)模型

例4.4-7電路如圖4.4-9所示，已知e(t)=10V；vC(0-)=5V，iL(0-)=4A，求i1(t)。圖4.4-9例4.4-7電路

解

例4.4-7電路的s域等效模型如圖4.4-10所示，列網(wǎng)孔KVL方程：圖4.4-10例4.4-7電路的s域網(wǎng)絡(luò)模型

若要求計(jì)算零狀態(tài)、零輸入響應(yīng)，可以先分別繪出與輸入及初始狀態(tài)有關(guān)的s域等效模型如圖4.4-11(a)、(b)所示，再列出各自KVL方程，具體求解留給讀者完成。圖4.4-11例4.4-7電路零狀態(tài)、零輸入的s域網(wǎng)絡(luò)模型

4.5系統(tǒng)函數(shù)與復(fù)頻域分析法

4.5.1系統(tǒng)函數(shù)H(s)系統(tǒng)函數(shù)在零狀態(tài)下定義為系統(tǒng)函數(shù)也稱轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳輸函數(shù)、傳遞函數(shù)。

由式(4.5-1)可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)像函數(shù)為

對(duì)式(4.5-2)取拉氏反變換得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

特別的，激勵(lì)為δ(t)時(shí)，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)是單位沖激響應(yīng)

式(4.5-4)表明系統(tǒng)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)拉氏變換對(duì)。

1.微分方程

n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

系統(tǒng)為零狀態(tài)且f(t)為因果信號(hào)時(shí)，對(duì)方程兩邊取變換，可得

2.電路系統(tǒng)

例4.5-1如圖4.5-1(a)所示為一電路系統(tǒng)，圖(b)為其s

域等效電路，若輸入為v1(t)，輸出為v2(t)，試求系統(tǒng)函數(shù)

H(s)。圖4.5-1例4.5-1電路

解

利用廣義分壓公式，可得

由輸入、輸出像函數(shù)F(s)、Y(s)所處的端口，以及輸入f(t)、輸出y(t)的物理意義，H(s)有不同的含義，可以是s域(運(yùn)算)阻抗，s域(運(yùn)算)導(dǎo)納、電壓、電流傳輸函數(shù)等。如上例的系統(tǒng)函數(shù)就是電壓傳輸函數(shù)。

3.轉(zhuǎn)移算子

已知穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子，將其中的p

用s替代，可以得到系統(tǒng)函數(shù)。一般n階系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子為

則由

可得系統(tǒng)函數(shù)為

4.5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、

極點(diǎn)

分解系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式，可得

式(4.5-8)中，H(s)分母多項(xiàng)式D(s)的根pi(i=1，2，…，n)是

H(s)的極點(diǎn)，有n

個(gè)；H(s)分子多項(xiàng)式

N(s)的根zj(j=1，2，…，m)是H(s)的零點(diǎn)，有m

個(gè)。

若

H(s)是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)，其零、極點(diǎn)一定是實(shí)數(shù)或共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)。

例4.5-2已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，求系統(tǒng)的零、極點(diǎn)。

解

n=4，極點(diǎn)為p1=-1(二階)，p3=j2，p4=-j2；

m=3，零點(diǎn)為z1=0，z2=1+j，z3=1-j。

將系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)準(zhǔn)確地標(biāo)在s平面上，這樣的圖稱零、極點(diǎn)圖或零、極圖，其中“·”表示零點(diǎn)，“×”表示極點(diǎn)。如例4.5-2的零、極點(diǎn)如圖4.5-2-所示。

圖4.5-2例4.5-2系統(tǒng)零、極點(diǎn)圖

4.5.3零、

極點(diǎn)分布與時(shí)域特性

H(s)與h(t)是一對(duì)拉氏變換對(duì)，所以只要知道

H(s)在s

平面上的零、極點(diǎn)分布情況，就可以知道系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的變化規(guī)律。假設(shè)式(4.5-8)的所有極點(diǎn)均為單極點(diǎn)且m<n，利用部分分式展開

式中，pi=σi+jωi。

式(4.5-9)對(duì)應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為

H(s)由極點(diǎn)決定的各因子與h(t)的各分量一一對(duì)應(yīng)。

以jω

虛軸為界，將s平面分為左半平面與右半平面。由共軛極點(diǎn)pi=σi+jωi

在s平面的位置討論hi(t)與h(t)的變化規(guī)律。

(1)pi=σi±jωi

為一階(共軛)極點(diǎn)。

若σi>0，極點(diǎn)在s平面的右半平面，hi(t)隨時(shí)間增長；σi<0，極點(diǎn)在s平面的左半平面，hi(t)隨時(shí)間衰減；σi=0，極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)(ωi=0)或虛軸上，hi(t)對(duì)應(yīng)于階躍或等幅振蕩。

(2)pi=σi±jωi

為二階或二階以上共軛重極點(diǎn)。

σi>0或σi<0時(shí)，hi(t)隨時(shí)間變化的總趨勢同一階情況；σi=0時(shí)，重極點(diǎn)在S

平面的原點(diǎn)(ωi=0)或虛軸上，hi(t)對(duì)應(yīng)于t的正冪函數(shù)或增幅振蕩。

(3)系統(tǒng)函數(shù)

H(s)的全部極點(diǎn)在左半平面(σi<0)，h(t)隨時(shí)間衰減趨于零；系統(tǒng)函數(shù)

H(s)有極點(diǎn)在虛軸及右半平面(σi≥0)，h(t)不隨時(shí)間消失。

從以上分析可知，由系統(tǒng)函數(shù)

H(s)極點(diǎn)在s

平面上的位置，便可確定h(t)的模式，判斷單位沖激響應(yīng)是隨時(shí)間增長或衰減為零的信號(hào)，還是一個(gè)隨時(shí)間等幅振蕩或不變(階躍)的信號(hào)，如圖4.5-3所示。

圖4.5-3零、極點(diǎn)與單位沖激響應(yīng)模式

4.5.4零、

極點(diǎn)與各響應(yīng)分量

從s域出發(fā)，由激勵(lì)的像函數(shù)F(s)和系統(tǒng)函數(shù)

H(s)可以討論零狀態(tài)響應(yīng)中的自然、受迫、瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)分量等概念。

研究零狀態(tài)響應(yīng)像函數(shù)在s平面的零、極點(diǎn)分布，可以預(yù)見在給定激勵(lì)下，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)域模式。因?yàn)?/p>

顯然Yzs(s)的零、極點(diǎn)由F(s)、H(s)的零、極點(diǎn)共同決定，而F(s)、H(s)可分別表示為

由對(duì)零、極點(diǎn)分布與時(shí)域特性討論可判斷：s

左半平面極點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，虛軸及s右半平面的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖4.5-4給出了穩(wěn)定系統(tǒng)各響應(yīng)之間的關(guān)系。圖4.5-4穩(wěn)定系統(tǒng)各響應(yīng)關(guān)系

4.5.5零、

極點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻域特性

由系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布不但可知系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的模式，也可以定性了解系統(tǒng)的頻域特性。因?yàn)橛煞€(wěn)定系統(tǒng)的

H(s)在s平面上的零、極點(diǎn)圖，可以大致地描繪出系統(tǒng)的頻響特性|H(ω)|和φ(ω)。

取s=jω，即在s復(fù)平面中令s沿虛軸移動(dòng)，得到

對(duì)于任意零點(diǎn)zj和極點(diǎn)pi，相應(yīng)的復(fù)數(shù)因子(矢量)如圖4.5-5所示都可以表示為零點(diǎn)與極點(diǎn)矢量

其中，Nj、Mi

分別是零、極點(diǎn)矢量的模；ψj、θi

分別是零、極點(diǎn)矢量與正實(shí)軸的夾角。則

式中

由圖4.5-5可見

圖4.5-5零點(diǎn)與極點(diǎn)矢量

例4.5-4用矢量作圖法求如圖4.5-6所示高通濾波器的幅頻、相頻特性。

式中，α=1/(RC)，零點(diǎn)z1=0，極點(diǎn)p1=-1/(RC)，零點(diǎn)與極點(diǎn)矢量如圖4.5-7所示。

圖4.5-6例4.5-4高通濾波器

圖4.5-7例4.5-4的零點(diǎn)與極點(diǎn)矢量

(1)幅頻特性|H(ω)|=N1/M1。

當(dāng)ω=0時(shí)，N1=0，所以|H(ω)|=0；隨著ω增大，N1、M1-增大，且使|H(ω)|增大；當(dāng)ω→∞時(shí)，N1?M1，使得|H(ω)|?1。

(2)相頻特性φ(ω)=ψ1-θ1。其中：ψ1=π/2，所以φ(ω)=π/2-θ1。

當(dāng)ω=0時(shí)，θ1=0，φ(ω)=π/2；隨著ω增大，θ1-增大，且使得φ(ω)減?。划?dāng)ω→∞時(shí)，θ1→π/2，φ(ω)趨于0。

(3)由3dB截止頻率ωc

定義

幅頻、相頻特性如圖4.5-8所示。

圖4.5-8例4.5-4的頻響特性

這種在虛軸上的零、極點(diǎn)情況是特例，而一般意義的零、極點(diǎn)通常表示為zj=αj+jωj，pi=αi+jωi。其中αj、αi

為零、極點(diǎn)的實(shí)部。當(dāng)αj、αi很小時(shí)，零、極點(diǎn)靠近虛軸，此時(shí)由零、極點(diǎn)定性繪出的系統(tǒng)幅頻特性及相頻特性曲線具有以下特點(diǎn)：

(1)幅頻特性

在ω=ωi

點(diǎn)，Mi=|pi|=|αi+jωi|最小，|H(ω)||ω=ωi

出現(xiàn)峰值；在ω=ωj點(diǎn)，Nj=|zj|=|αj+jωj|最小，|H(ω)||ω=ωj出現(xiàn)谷值。

(2)相頻特性

在ω=ωi、ω=ωj

附近相位變化均加快。零、極點(diǎn)靠近虛軸時(shí)系統(tǒng)幅頻特性及相頻特性曲線如圖4.5-9所示。

圖4.5-9靠近虛軸的零、極點(diǎn)頻響特性

4.5.6全通系統(tǒng)與最小相移系統(tǒng)的零、

極點(diǎn)分布

1.全通系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)幅頻特性在整個(gè)頻域內(nèi)是常數(shù)時(shí)，其幅度特性可無失真?zhèn)鬏敚@樣的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)。全通系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)函數(shù)

H(s)的零、極點(diǎn)對(duì)jω

軸成鏡像對(duì)稱，即零、極點(diǎn)

個(gè)數(shù)相同(m=n)，且零、極點(diǎn)矢量的大小相等(Nj=Mj)。三階全通系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布示意圖如圖4.5-10所示，不難看出由系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖就可判斷系統(tǒng)是否為全通系統(tǒng)。圖4.5-10全通系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布示意圖

全通系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性分別為

2.最小相移系統(tǒng)

實(shí)際應(yīng)用中，會(huì)遇到在幅頻特性相同情況下，希望得到系統(tǒng)的相移(時(shí)延)最小，這樣的系統(tǒng)稱為最小相移系統(tǒng)。本書不加證明給出最小相移系統(tǒng)的條件為：全部零、極點(diǎn)在s平面的左半平面(零點(diǎn)可在jω

軸上)，不滿足這一條件的為非最小相移系統(tǒng)。圖4.5-11是幅頻特性相同，最小相移系統(tǒng)與非最小相移系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布示意圖。圖4.5-11最小相移系統(tǒng)與非最小相移系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布示意圖

非最小相移系統(tǒng)可由全通系統(tǒng)與最小相移系統(tǒng)組成，組成圖4.5-11(b)非最小相移系統(tǒng)的最小相移系統(tǒng)與全通系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布示意圖如圖4.5-12所示。圖4.5-12組成非最小相移系統(tǒng)的最小相移與全通系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布示意圖

4.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬及信號(hào)流圖

4.6.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬(仿真)用系統(tǒng)的觀點(diǎn)來分析問題時(shí)，可以把系統(tǒng)看做一個(gè)“黑盒子”，不管其內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)、參數(shù)，所關(guān)心的只是輸入

輸出之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如圖4.6-1所示。圖4.6-1系統(tǒng)的輸入

輸出表示

例4.6-1分別求如圖4.6-2所示RL、RC

電路的系統(tǒng)函數(shù)。圖4.6-2例4.6-1RL、RC電路

解

這是兩個(gè)結(jié)構(gòu)、參數(shù)不同的一階系統(tǒng)，但由于它們傳輸函數(shù)相同，因此它們的輸入

輸出關(guān)系完全相同，數(shù)學(xué)模型都是一階微分方程

n

階LTI系統(tǒng)微分方程的一般形式為

其系統(tǒng)函數(shù)為

用三種基本運(yùn)算，就可對(duì)式(4.6-1)的運(yùn)算關(guān)系作系統(tǒng)模擬。這三種基本運(yùn)算是加法、標(biāo)量乘法與積分。它們對(duì)應(yīng)著三種基本模擬運(yùn)算器件：加法器、標(biāo)量乘法器、積分器。描述系統(tǒng)的輸入

輸出關(guān)系既可用數(shù)學(xué)方程描述，亦可由基本運(yùn)算器組成的模擬圖描述?；具\(yùn)算模擬的加法器、標(biāo)量乘法器、積分器有時(shí)域、復(fù)頻域兩種表示方法，所以一般模擬圖既可用時(shí)域也可用復(fù)頻域表示。因?yàn)閺?fù)頻域的系統(tǒng)函數(shù)是有理式，并且運(yùn)算關(guān)系簡單，因此實(shí)際系統(tǒng)模擬更常用復(fù)頻域表示。

1.加法運(yùn)算關(guān)系

加法器如圖4.6-3所示。圖4.6-3加法器

2.標(biāo)量乘法運(yùn)算關(guān)系

標(biāo)量乘法器如圖4.6-4所示。圖4.6-4標(biāo)量乘法器

3.積分運(yùn)算關(guān)系

積分器如圖4.6-5所示。圖4.6-4標(biāo)量乘法器

4.6.2系統(tǒng)模擬的直接(卡爾曼)形式

1.全極點(diǎn)系統(tǒng)模擬的直接形式

一階系統(tǒng)的微分方程及系統(tǒng)函數(shù)表示

將一階線性系統(tǒng)的微分方程改寫為

將y'(t)作為積分器輸入，得到用基本運(yùn)算器組成的時(shí)域與復(fù)頻域模擬圖，如圖4.6-6所示。圖4.6-6-一階系統(tǒng)模擬

一階系統(tǒng)模擬的方法可推廣至全極點(diǎn)的二階系統(tǒng)模擬，其微分方程及系統(tǒng)函數(shù)為

改寫微分方程

積分器的輸入為y″(t)，經(jīng)兩次積分得到y(tǒng)(t)，其模擬如圖4.6-7所示。圖4.6-7無零點(diǎn)二階系統(tǒng)模擬

由二階系統(tǒng)模擬可推廣至全極點(diǎn)n

階系統(tǒng)，其微分方程及系統(tǒng)函數(shù)為

n階系統(tǒng)的模擬如圖4.6-8所示。

圖4.6-8全極點(diǎn)n階系統(tǒng)模擬

2.一般系統(tǒng)模擬的直接(卡爾曼)形式

以上模擬實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的極點(diǎn)，實(shí)際系統(tǒng)除了極點(diǎn)之外，一般還有零點(diǎn)。例如一般二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

將上式改寫為

式(4.6-10)的模擬如圖4.6-9所示。

圖4.6-9一般二階系統(tǒng)的模擬

由一般二階系統(tǒng)的模擬不難推廣到n

階系統(tǒng)(m≤n)

一般n

階系統(tǒng)的模擬如圖4.6-10所示。由圖可見，一般n

階系統(tǒng)模擬有n

個(gè)積分器。在系統(tǒng)模擬圖中，系數(shù)ai=bj=0時(shí)為開路；ai=bj=1時(shí)為短路。

圖4.6-10一般n階系統(tǒng)的模擬

4.6.3其他形式的模擬

1.級(jí)(串)聯(lián)形式

級(jí)(串)聯(lián)模擬實(shí)現(xiàn)方法是將

H(s)分解為基本(一階或二階)節(jié)相乘。

式中，Hi(s)是

H(s)的子系統(tǒng)。也有將級(jí)聯(lián)形式稱為串聯(lián)形式。式(4.6-11)表明級(jí)聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)是各子系統(tǒng)函數(shù)的乘積，子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)圖如圖4.6-11所示。圖4.6-11系統(tǒng)的級(jí)(串)聯(lián)方框圖

子系統(tǒng)的基本形式是由共軛極點(diǎn)(或兩個(gè)實(shí)單極點(diǎn))組成的二階節(jié)，實(shí)單極點(diǎn)的一階節(jié)是基本形式的特例。子系統(tǒng)模擬構(gòu)成原則是系統(tǒng)內(nèi)所有參數(shù)為實(shí)數(shù)。利用基本形式的模擬，再將各子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)起來，可得系統(tǒng)模擬圖，稱為級(jí)(串)聯(lián)模擬圖。

例4.6-2已知某系統(tǒng)函數(shù)為

畫出由一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的模擬圖。

解

一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的模擬圖如圖4.6-12所示。圖4.6-12例4.6-2系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)模擬圖

2.并聯(lián)模擬

并聯(lián)模擬實(shí)現(xiàn)的方法是將系統(tǒng)分解為基本(一階或二階)節(jié)相加：

式中，Hi(s)是

H(s)的子系統(tǒng)。

Hi(s)子系統(tǒng)模擬的基本形式同級(jí)聯(lián)模擬相似。整個(gè)系統(tǒng)可以看成是n

個(gè)子系統(tǒng)的疊加(并聯(lián))，其中每個(gè)子系統(tǒng)可按上面的子系統(tǒng)模擬，這種形式稱為并聯(lián)形式。子系統(tǒng)的并聯(lián)圖如圖4.6-13-所示。圖4.6-13系統(tǒng)的并聯(lián)方框圖

例4.6-3已知某系統(tǒng)函數(shù)為

畫出其并聯(lián)模擬圖。

解

系統(tǒng)的一階并聯(lián)模擬圖如圖4.5-14所示。

圖4.6-14例4.6-3系統(tǒng)的并聯(lián)模擬圖

實(shí)際工作中還用以下常用的兩種模擬方法。

3.混聯(lián)

混聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的計(jì)算要根據(jù)具體情況具體對(duì)待。如圖4.6-15所示系統(tǒng)，圖4.6-15(a)的系統(tǒng)函數(shù)為

圖4.6-15(b)的系統(tǒng)函數(shù)為

圖4.6-15混聯(lián)系統(tǒng)方框圖

4.反饋系統(tǒng)

反饋系統(tǒng)應(yīng)用廣泛，自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)就是反饋系統(tǒng)。最基本的反饋系統(tǒng)方框圖如圖4.6-16所示。由此圖可見，信號(hào)的流通構(gòu)成閉合回路，即反饋系統(tǒng)的輸出信號(hào)又被引入到輸入端，這種與輸入相減的反饋稱為負(fù)反饋，若是與輸入相加的反饋則稱為正反饋。通常為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，采用的都是負(fù)反饋，但正反饋在振蕩電路中也有實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際需要可采用不同的反饋。

圖4.6-16反饋系統(tǒng)方框圖

由圖4.6-16可見，除了輸入外，輸出也形成了對(duì)系統(tǒng)的控制。這種輸出信號(hào)對(duì)控制作用有直接影響的反饋系統(tǒng)，也稱為閉環(huán)系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也稱為閉環(huán)增益。相應(yīng)地，若輸出信號(hào)對(duì)控制作用沒有影響的系統(tǒng)稱為開環(huán)系統(tǒng)，開環(huán)部分的傳遞函數(shù)亦稱其為開環(huán)增益。反饋(閉環(huán))系統(tǒng)一般可由開環(huán)系統(tǒng)與反饋兩部分組成。圖4.6-16中，除去反饋部分剩下的是開環(huán)系統(tǒng)，開環(huán)部分的傳遞函數(shù)為H1(s)，整個(gè)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(閉環(huán)增益)為

4.6.4連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示

信號(hào)流圖是用節(jié)點(diǎn)與有向支路來描述系統(tǒng)。用流圖表示系統(tǒng)的具體處理方法是：用帶箭頭的有向線段代替模擬圖中的方框；線段的兩個(gè)端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，表示原方框的輸入與輸出；線段箭頭的方向是信號(hào)傳輸?shù)姆较?，原方框的傳遞系數(shù)(支路增益)直接標(biāo)在箭頭旁；有兩個(gè)以上有向線段指向一個(gè)節(jié)點(diǎn)的，表示相加或相減(傳遞系數(shù)有負(fù)號(hào))。

前面的方框圖與模擬圖都可以用信號(hào)流圖表示，例如圖4.6-9的信號(hào)流圖如圖4.6-17-所示。

圖4.6-17二階系統(tǒng)模擬的信號(hào)流圖

圖4.6-10n

階系統(tǒng)模擬的信號(hào)流圖如圖4.6-18所示。圖4.6-18-n階系統(tǒng)的信號(hào)流圖

式(4.6-11)的信號(hào)流圖如圖4.6-19所示。圖4.6-19級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的信號(hào)流圖

例4.6-2系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖4.6-20所示。圖4.6-20例4.6-2系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)模擬信號(hào)流圖

式(4.6-12)的信號(hào)流圖如圖4.6-21所示。圖4.6-21并聯(lián)系統(tǒng)的信號(hào)流圖

例4.6-3系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖4.6-22所示。圖4.6-22例4.6-3系統(tǒng)的并聯(lián)信號(hào)流圖

式(4.6-14)的信號(hào)流圖如圖4.6-23所示。圖4.6-23混合系統(tǒng)的信號(hào)流圖

式(4.6-15)的信號(hào)流圖如圖4.6-24所示。圖4.6-24反饋系統(tǒng)的信號(hào)流圖

4.7LTI連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的性質(zhì)之一，與激勵(lì)信號(hào)無關(guān)。穩(wěn)定系統(tǒng)也是一般系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)之一。由不同角度，有不同的穩(wěn)定性定義形式。本書由輸入

輸出關(guān)系定義穩(wěn)定系統(tǒng)為：有界輸入產(chǎn)生有界輸出(簡稱BIBO)的系統(tǒng)。

如果對(duì)有界激勵(lì)，系統(tǒng)的響應(yīng)無界，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可積：

式中，M為一有界的實(shí)數(shù)。

4.7.1系統(tǒng)穩(wěn)定性分類

1.穩(wěn)定

由4.5節(jié)零、極點(diǎn)分析可知，若

H(s)的全部極點(diǎn)在s

的左半平面(不含jω

軸)，則單位沖激響應(yīng)滿足

系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.不穩(wěn)定

若

H(s)有極點(diǎn)落在右半平面，或者jω

軸、原點(diǎn)處有二階以上的重極點(diǎn)，則單位沖激響應(yīng)為

系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.邊(臨)界穩(wěn)定

若

H(s)在原點(diǎn)或jω

軸上有一階極點(diǎn)，雖然單位沖激響應(yīng)，但

例如純LC網(wǎng)絡(luò)，其單位沖激響應(yīng)為無阻尼(等幅)的正弦振蕩。因?yàn)檫?臨)界穩(wěn)定是處在穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩種情況之間，所以稱邊(臨)界穩(wěn)定。為使分類簡化，通常將其歸為非穩(wěn)定系統(tǒng)。

4.7.2H(s)中

m、n之間的限制

例4.7-1已知系統(tǒng)函數(shù)

H(s)為系統(tǒng)的電壓傳輸比，且m=n+1，則

4.7.3穩(wěn)定系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系

系統(tǒng)函數(shù)

設(shè)

穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)應(yīng)位于s平面的左半平面，因此D(s)根的實(shí)部應(yīng)為負(fù)值。它對(duì)應(yīng)以下兩種情況：

式(4.7-7)表明復(fù)數(shù)根只能共軛成對(duì)出現(xiàn)，否則不能保證b、c

為實(shí)數(shù)。又因?yàn)閺?fù)數(shù)根的實(shí)部應(yīng)為負(fù)值(α>0)，所以b、