2024年集英苑夏季競賽高中數(shù)學試題（含答案）

集英苑2024夏季賽本試題卷分為選擇題和非選擇題兩部分。全卷共3頁，滿分150分，考試時間150分鐘。一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)y=sinx的最大值是2.底面半徑和高均為1的圓柱體體積為A.πB.2πC.3π3.若實數(shù)a,b滿足a3+b2=1,則一定有A.b≥-1B.b≤1C.a≥-14.臨終前，她在病榻上寫道：“新中國成立那年，我與他初識，那時一眼便是萬年.1970年，我的人生過半，父母皆已離我而去，但他依然在我身邊.1997年，我在病床前握著他漸漸無力的雙手，原來時間過得這么慢，又這么快，從相識到離別，他帶走了我2/3的人生."由此推測，作者去世于5.設{an}為等差數(shù)列.那么"a?,a?,ag構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列"是“ag=0”的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.設三角形ABC的三邊長為a,b,c,若角C為直角，則f(x)=aea+beb-ceC在A.單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增C.先遞減再遞增D.先遞增再遞減7.設橢圓的焦點為F?,F?,若以F?F?為直徑的圓和橢圓交于A,B,C,D四點且四邊形ABCD的面積為√3,則稱該橢圓為“好橢圓”.那么好橢圓共有A.一定是實數(shù)B.不一定是實數(shù)，但不是純虛數(shù)C.一定是純虛數(shù)D.不一定是純虛數(shù)，但不是實數(shù)數(shù)學試題第1頁(共3頁)9.稱集合B是A的廣義子集，當BC{x|x∈A或x-1∈A或若A.10B.14C.1710.定義新運算。滿足：對x,y∈{a,b},xoy等于a或b或無定義.當x,y,z,w均取遍二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。的中位數(shù)是4,且d,e,f的中位數(shù)是6,設a,b,c,d,e,f的中位數(shù)為x.(II)設二面角A-DE-C的平面角為α,若∠AEC=β,求的值.數(shù)學試題第2頁(共3頁)(第15題圖)16.(15分)已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足a?=0,且對于任意的n∈N*,均有|an+1-An|≤2,17.(20分)已知拋物線y=x2,P為直線y=x上一點.過P點的直線PA與拋物線相切(I)若直線PA的斜率為4,求P點坐標.(II)若存在過P點的直線l與拋物線交于不重合的B,C兩點，且滿足|AB|=|AC|,求P點橫坐標的取值范圍.18.(20分)稱多項式f(x)=aaxd+ad-1xd-1+…+a?x+ao,為臨界多項式ai∈[1,1.001].現(xiàn)有一未知的臨界多項式f(x),你想知道關(guān)于多項式的信息，但你只能事先選取屬于(0,1)的有限個實數(shù)b?,b?,…,bm,然后得到f(b?),f(b?),…,f(6m)的值.(I)若選取b?=0.1,b?=0.2,b?=0.3,得到函數(shù)值分別為1.101,1.201,1.301,求f(x)的表達式.(III)若已知d≤2024,至少需選取幾個實數(shù)，使得一定可以推斷出臨界多項式的次數(shù)學試題第3頁(共3頁)集英苑2024夏季賽參考答案一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分。二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。三、解答題：本題共5小題，共85分。14.本題主要考查中位數(shù)、古典概型等基礎知識，同時考查邏輯推理等素養(yǎng)。滿分15分。(II)記事件A={a,b,c的中位數(shù)是4,d,e,f的中位數(shù)是6},B={a,b,c,d,e,f的中位數(shù)是5}.則故最有可能的取值是5.15.本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，平面和平面所成角等基礎知識，同時考查直觀想象和數(shù)學運算等素養(yǎng)。滿分15分。AC2+CE2=AB2+BD2=BC2+(BD-CE)2.因為AC=BC>AB,故因此BD=2CE,則F和E到平面ABC的距離相等.(II)取DE中點G,BC中點H.則AG⊥DE,DH⊥平面ACE.數(shù)學答案第1頁(共5頁)(II)不妨設a100=M≥2,對于k=0,1,….,M-2,對于bk>1,Ab-1<k,則A?9≥M-2.設bk=min{1≤n≤99|An≥k}.故bk+1≥2bk.因此99≥bM-2≥2M-2b?=2M-2,得M≤8.滿分20分。h(II)設A的坐標為(a,a2),B的坐標為(b,b2),C的坐標為(c,c2).x2-kx-(1-k)p=0,故b+c=k,bc=(k-1)p,k2+4(1-k)p>0.設BC的中點為M(xM,yM).則數(shù)學答案第2頁(共5頁)(2a-1)k2+(2a2-2a)k+(2a-1)=0.故設f(x)=a?x+ao,解得a?=1,ao=1.001.那么對于0≤k<m,1≤l<N,數(shù)學答案第3頁(共5頁)靠這些函數(shù)值無法推斷出d,矛盾.(III)至少選取2個.下記M=1000.先證明m=1不可，假設選取了b?.那么考慮令下證m=2可行.選取b?=