2023-2024學(xué)年四川省涼山州高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省涼山州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線方程可化為：，故直線的一個(gè)方向向量為：，因?yàn)?，所以D對(duì).故選：D2.“牛角栱”是涼山彝族民房檐枋裝飾藝術(shù)中的重要特色之一，如圖，已知牛角栱外側(cè)弧線部分為拋物線的一部分，寬度，高度根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，則這條拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)拋物線方程為：，由題意可得，將代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故選：D.3.等差數(shù)列中，，，則的值為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，，而，所以.故選：C4.經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題知：，解得：，交點(diǎn).直線的斜率為，所求直線斜率為.所求直線為：，即.故選：B.5.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不大于10的素?cái)?shù)中，選兩個(gè)不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不大于10的素?cái)?shù)有2，3，5，7，從中任取兩個(gè)數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，其中和為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有，其3個(gè)，所以和為偶數(shù)的概率為.故選：D6.已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，由底面為正方形，，得，即，又，則，有，即，在中，由余弦定理得，則為正三角形，由，得是直線與所成的角，即，，所以直線與所成角的正弦值為.故選：A7.過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)弦長最短時(shí)的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，記為點(diǎn)，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，弦長最短，此時(shí)，所以的面積.故選：A8.空間四邊形中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，在空間四邊形中，，為中點(diǎn)，∴,∴,故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列結(jié)論正確的是（）A.若向量，，，則，，共面B.已知平面，不重合，平面和平面的一個(gè)法向量均為，則C.若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則D.若向量，，則在上投影向量為【答案】AB【解析】對(duì)A觀察可知，，所以共面，A正確；對(duì)B，平面和平面的一個(gè)法向量相等，則,B正確；對(duì)C，，所以或，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，，所以，所以在上的投影向量為，D錯(cuò)誤；故選:AB.10.已知正方體的棱長為1，則下列說法正確的是（）A.直線與所成的角為B.點(diǎn)與平面的距離為C.平面與平面所成的角為D.直線與平面所成的角為【答案】BD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A選項(xiàng)，則，故，故，故直線與所成的角為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)平面法向量為，，令得，，故，故點(diǎn)到平面的距離為，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，令，則，故，平面的法向量為，故，故平面與平面所成的角不為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角大小為，顯然，故直線與平面所成的角為，D正確.故選：BD11.已知等比數(shù)列的公比為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】BC【解析】由等比數(shù)列的公比為，，，可得，即，故A錯(cuò)誤；，故B正確；又，所以，即是一個(gè)以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確；驗(yàn)證當(dāng)時(shí)的結(jié)果，此時(shí)，則，所以，，，得，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC.12.我們把離心率為的雙曲線叫做理想雙曲線，若雙曲線是理想雙曲線，左右頂點(diǎn)分別為，，虛軸?點(diǎn)為，，右焦點(diǎn)為，離心率為，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，則到漸近線的距離為C.D.外接圓的面積為【答案】AC【解析】雙曲線是理想雙曲線，則，設(shè)，則有，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)，雙曲線的漸近線，則到漸近線的距離為，而，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)，即有，于是，，即，C正確；對(duì)于D，，則，即，因此線段是的外接圓的直徑，該圓半徑為，該圓面積，由于，不確定，因此的外接圓面積不確定，D錯(cuò)誤.故選：AC二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．）13.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_______________.【答案】或【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，直線方程為，即，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故答案為或．14.已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】【解析】由點(diǎn)，，，得，所以點(diǎn)到直線的距離.故答案為：15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差不為0，若，則______．【答案】1【解析】在等差數(shù)列中，由，得，整理得，所以故答案為：116.過拋物線的焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若為等邊三角形，則的值為______．【答案】4【解析】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，得，且平分，而為等邊三角形，即，于是，，則點(diǎn)，又拋物線的焦點(diǎn)，所以，即.故答案為：4三、解答題（本大題共6小題、共計(jì)70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程）17.已知直線．（1）求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；（2）若直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．解：（1）直線，化為，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，所以直線過定點(diǎn).（2）依題意，顯然，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，而點(diǎn)分別在軸的正半軸上，即，于是，則的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，直線的方程的方程為.18.為參加涼山州第八屆“學(xué)憲法講憲法”演講比賽，某校組織選拔活動(dòng)，通過兩輪比賽最終決定參加州級(jí)比賽人選，已知甲同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為，乙同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為．若甲、乙能進(jìn)入第二輪，在第二輪比賽中甲、兩人能勝出的概率均為．假設(shè)甲、乙第一輪是否晉級(jí)和在第二輪中能否勝出互不影響．（1）若甲、乙有且只有一人能晉級(jí)第二輪的概率為，求的值；（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩人中有且只有一人能參加州級(jí)比賽的概率．解：（1）設(shè)事件表示“甲在初賽中晉級(jí)”，事件表示“乙在初賽中晉級(jí)”，由題意可知，，解得.（2）設(shè)事件為“甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級(jí)比賽”，為“甲能參加市級(jí)比賽”，為“乙能參加市級(jí)比賽”，則，，所以.19.三棱柱中，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，．設(shè)，，（1）試用，，表示向量；（2）若，，求的長．解：（1）三棱柱中，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，則，，因此.（2），，則，同理得，所以.20.已知數(shù)列中，滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），于是因?yàn)?，即?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列．因?yàn)?，所以?）由（1）知，所以21.如圖為直三棱柱，，，設(shè)為的中點(diǎn)．（1）證明；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在直三棱柱中，平面，平面，則，又，且，平面，因此平面，又平面，所以.（2）由（1）知，直線兩兩垂直，令，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，則，令二面角的大小為，因此，所以二面角的正弦值為.22.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過直線上一點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為，，證明：直線過定點(diǎn)．解：（1）點(diǎn)在橢圓上，得，由離心率是，得的半焦距，于是，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）設(shè)，顯然切線的斜率存在，且，設(shè)直線的方程為，即，由消去并整理得，即，而，因此，解得，則直線的方程為，整理得，同理得直線的方程為，于是，顯然點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，從而得直線的方程為，又，即直線：，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，所以直線恒過定點(diǎn).四川省涼山州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線方程可化為：，故直線的一個(gè)方向向量為：，因?yàn)?，所以D對(duì).故選：D2.“牛角栱”是涼山彝族民房檐枋裝飾藝術(shù)中的重要特色之一，如圖，已知牛角栱外側(cè)弧線部分為拋物線的一部分，寬度，高度根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，則這條拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)拋物線方程為：，由題意可得，將代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故選：D.3.等差數(shù)列中，，，則的值為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，，而，所以.故選：C4.經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題知：，解得：，交點(diǎn).直線的斜率為，所求直線斜率為.所求直線為：，即.故選：B.5.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不大于10的素?cái)?shù)中，選兩個(gè)不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不大于10的素?cái)?shù)有2，3，5，7，從中任取兩個(gè)數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，其中和為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有，其3個(gè)，所以和為偶數(shù)的概率為.故選：D6.已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，由底面為正方形，，得，即，又，則，有，即，在中，由余弦定理得，則為正三角形，由，得是直線與所成的角，即，，所以直線與所成角的正弦值為.故選：A7.過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)弦長最短時(shí)的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，記為點(diǎn)，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，弦長最短，此時(shí)，所以的面積.故選：A8.空間四邊形中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，在空間四邊形中，，為中點(diǎn)，∴,∴,故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列結(jié)論正確的是（）A.若向量，，，則，，共面B.已知平面，不重合，平面和平面的一個(gè)法向量均為，則C.若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則D.若向量，，則在上投影向量為【答案】AB【解析】對(duì)A觀察可知，，所以共面，A正確；對(duì)B，平面和平面的一個(gè)法向量相等，則,B正確；對(duì)C，，所以或，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，，所以，所以在上的投影向量為，D錯(cuò)誤；故選:AB.10.已知正方體的棱長為1，則下列說法正確的是（）A.直線與所成的角為B.點(diǎn)與平面的距離為C.平面與平面所成的角為D.直線與平面所成的角為【答案】BD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A選項(xiàng)，則，故，故，故直線與所成的角為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)平面法向量為，，令得，，故，故點(diǎn)到平面的距離為，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，令，則，故，平面的法向量為，故，故平面與平面所成的角不為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椤推矫妫矫?，所以⊥，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角大小為，顯然，故直線與平面所成的角為，D正確.故選：BD11.已知等比數(shù)列的公比為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】BC【解析】由等比數(shù)列的公比為，，，可得，即，故A錯(cuò)誤；，故B正確；又，所以，即是一個(gè)以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確；驗(yàn)證當(dāng)時(shí)的結(jié)果，此時(shí)，則，所以，，，得，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC.12.我們把離心率為的雙曲線叫做理想雙曲線，若雙曲線是理想雙曲線，左右頂點(diǎn)分別為，，虛軸?點(diǎn)為，，右焦點(diǎn)為，離心率為，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，則到漸近線的距離為C.D.外接圓的面積為【答案】AC【解析】雙曲線是理想雙曲線，則，設(shè)，則有，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)，雙曲線的漸近線，則到漸近線的距離為，而，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)，即有，于是，，即，C正確；對(duì)于D，，則，即，因此線段是的外接圓的直徑，該圓半徑為，該圓面積，由于，不確定，因此的外接圓面積不確定，D錯(cuò)誤.故選：AC二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．）13.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_______________.【答案】或【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，直線方程為，即，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故答案為或．14.已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】【解析】由點(diǎn)，，，得，所以點(diǎn)到直線的距離.故答案為：15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差不為0，若，則______．【答案】1【解析】在等差數(shù)列中，由，得，整理得，所以故答案為：116.過拋物線的焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若為等邊三角形，則的值為______．【答案】4【解析】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，得，且平分，而為等邊三角形，即，于是，，則點(diǎn)，又拋物線的焦點(diǎn)，所以，即.故答案為：4三、解答題（本大題共6小題、共計(jì)70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程）17.已知直線．（1）求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；（2）若直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．解：（1）直線，化為，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，所以直線過定點(diǎn).（2）依題意，顯然，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，而點(diǎn)分別在軸的正半軸上，即，于是，則的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，直線的方程的方程為.18.為參加涼山州第八屆“學(xué)憲法講憲法”演講比賽，某校組織選拔活動(dòng)，通過兩輪比賽最終決定參加州級(jí)比賽人選，已知甲同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為，乙同學(xué)晉級(jí)第二輪的概率為．若甲、乙能進(jìn)入第二輪，在第二輪比賽中甲、兩人能勝出的概率均為．假設(shè)甲、乙第一輪是否晉級(jí)和在第二輪中能否勝出互不影響．（1）若甲、乙有且只有一人能晉級(jí)第二輪的概率為，求的值；（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩人中