一特征值與特征向量的概念(2)教學(xué)教材

特征值與特征向量一、特征值與特征向量的概念二、特征值和特征向量的性質(zhì)一、特征值與特征向量的概念定義：設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)與n維非零列向量x使得稱為A的一個(gè)特征值，x

為對應(yīng)于特征值的特征向量。注：

1.特征值向量x0,特征值問題是對方陣而言的.2.n階方陣A的特征值，就是使齊次線性方程組有非零解的值，3.

是A的特征值，則

的特征向量的全體加零向量構(gòu)成Rn

的線性子空間，記V

,其維數(shù)為n-r(

E-A)這是一個(gè)n次方程，稱為矩陣A的特征方程記它是一個(gè)n次多項(xiàng)式，稱為A的特征多項(xiàng)式。注：在復(fù)數(shù)域中，特征值有n個(gè)（包括重?cái)?shù)）在一般數(shù)域中不然。求矩陣特征值與特征向量的步驟：1.計(jì)算A的特征多項(xiàng)式3.對特征值求齊次線性方程組的非零解，就是對應(yīng)于的特征向量。2.求A的特征方程的全部根，即A的特征值當(dāng)時(shí),由例２

解當(dāng)時(shí),由即解得基礎(chǔ)解系：當(dāng)時(shí),由而解得基礎(chǔ)解系：例４

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得是特征值的性質(zhì)

當(dāng)A可逆時(shí)，一定有否則，有非零向量X,滿足AX=0,與A可逆矛盾。二、特征值和特征向量的性質(zhì)1.設(shè)n階方陣A的特征值為：則A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT

有相同的特征值，事實(shí)上有相同的特征多項(xiàng)式。稱為矩陣的跡若

是矩陣A的特征值,x

是A的屬于

的特征向量，則(2).

m

是矩陣Am的特征值(1).k

是矩陣kA的特征值(4).當(dāng)A可逆時(shí)，是矩陣

的特征值則g()

是矩陣g(A)的特征值為A的伴隨矩陣A*的特征值(3).設(shè)

證明則即類推之，有定理設(shè)是方陣A的特征值，是與之對應(yīng)的特征向量，如果各不相等，證明線性無關(guān)。把上列各式合寫成矩陣形式，得推論線性無關(guān)。定理

是n階方陣A的k

重特征值，V

是其對應(yīng)的特征子空間，則特征子空間的維數(shù)

dim(V

)k,即幾何重?cái)?shù)不超過代數(shù)重?cái)?shù)。設(shè)是n階方陣A的不同的特征值，是A對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量，則向量組證明：設(shè)V0的維數(shù)為r，一組基為：再補(bǔ)充n-r個(gè)線性無關(guān)的向量使其成為Rn的一組基，則令因而A的特征多項(xiàng)式：所以即即這說明

0作為A的特征值至少是r重根注意１.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．２.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．３.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值．3的說明思考題思考題解答矩陣的對角化相似矩陣的定義相似矩陣的性質(zhì)定義1易得:若A與B相似，則Am與Bm

相似,

kA與kB相似，

g(A)與g(B)相似.矩陣A,B都是n階方陣，若有可逆矩陣P，使

P-1AP=B則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與B相似，記A~B若n階矩陣A與B相似，它們有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值，相同的行列式，相同的跡。即A的跡B的跡4.若n階方陣A與對角陣則是A的特征值相似矩陣的性質(zhì)利用對角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式k個(gè)利用上述結(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式

.定理證明：二、矩陣相似于對角陣的條件對n階方陣A，若可找到可逆矩陣P，使得為對角陣，稱為把矩陣A對角化。推論若A有n個(gè)不同的特征值，則A可對角化。定理n階方陣A與對角陣相似（即A能對角化）的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。命題得證.反之，若A恰好有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，不妨設(shè)為以這n個(gè)特征向量為列向量構(gòu)成的矩陣記為P,顯然它是可逆的，并且易證：即如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對角化，如果能找到個(gè)線性無關(guān)的特征向量，還是能對角化．注:定理

0是n階方陣A的k

重特征值，V0是其對應(yīng)的特征子空間，則特征子空間的維數(shù)滿足：

dim(V

)k,即幾何重?cái)?shù)不超過代數(shù)重?cái)?shù)。推論：A相似于對角陣當(dāng)且僅當(dāng)幾何重?cái)?shù)=代數(shù)重?cái)?shù)。例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣？解解之得基礎(chǔ)解系由當(dāng)時(shí)，求得基礎(chǔ)解系由

當(dāng)時(shí)，顯然線性無關(guān)即A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A可對交化。解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對角矩陣.由解例判斷能否對角化？若能對角化，求出矩陣P，使為對角陣，并求An解之得基礎(chǔ)解系由當(dāng)時(shí)，同理當(dāng)時(shí)，可解得其特征向量：所以可對角化.令則注意

即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．例設(shè)矩陣問a,b,c為何值時(shí)A相似于對角陣？并求出它相似的對角陣解顯然A的特征值為1，2并且都是2重特征值，因此對應(yīng)于

=1，與=2都應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

所以E-A

與2E-A的秩都應(yīng)為2顯然顯然所以a=c=0，b任意，并且習(xí)題ｎ階矩陣Ａ滿足

證明：Ａ能相似于對角矩陣。

實(shí)對稱矩陣的對角化正交矩陣定義：正交矩陣的性質(zhì)：(2)正交矩陣的行向量與列向量都是

標(biāo)準(zhǔn)正交向量組(3)若A、B都是正交矩陣，則AT,A-1,AB也是正交矩陣(4)若A是正交矩陣,則證明見下頁(5)正交矩陣的特征值只能為把矩陣A按行分塊下面給出列向量兩兩正交的證明例

判別下列矩陣是否為正交陣．解所以它不是正交矩陣．(1)考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣．由于(2)例解定理1

實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對稱矩陣．1.對稱矩陣的性質(zhì)對稱矩陣的對角化于是有兩式相減，得定理1的意義證明于是定理3設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，則存在正交矩陣Q，使得A對角化，即其中為A的特征值有標(biāo)準(zhǔn)正交化過程知，必能找到ｋ－１個(gè)ｋ維向量，為兩兩正交的單位向量組，則Ｑ１為正交矩陣，且證:對Ａ的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)ｎ＝１時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)當(dāng)ｎ＝ｋ-1是時(shí)，結(jié)論成立，設(shè)Ａ為看k階實(shí)對稱矩陣，因?yàn)椋恋奶卣鞲珵閷?shí)數(shù)，所以至少有一個(gè)實(shí)特征向量，不妨設(shè)為

１為Ａ的實(shí)特征向量，且為單位向量，１為對應(yīng)的特征值，其中為ｋ－１階實(shí)對稱矩陣，有歸納假設(shè)，存在ｋ－１階正交矩陣Ｐ使得，顯然Ｑ為正交陣，且顯然Ｑ為正交矩陣，且此定理說明，ｎ階實(shí)對稱矩陣一定有ｎ個(gè)線性無關(guān)的特征向量推論設(shè)Ａ為ｎ階對稱矩陣，則其代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)相等。即，設(shè)Ａ為ｎ階對稱矩陣，是Ａ的特征方程的ｒ重根，則Ａ恰有ｒ個(gè)線性無關(guān)的特征向量。即

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有ｒ個(gè)解向量。

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法解例對下列各實(shí)對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系第二步求出Ａ的特征向量當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化