分類31 點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系(含解析)

31點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系（含解析）

一、選擇題

1.（2020?內(nèi)蒙古通遼，T7,3分）如圖，PA,P8分別與O相切于4,8兩點(diǎn)，NP=72。,

則NC=（）

A.108°B.72°C.54°D.36°

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；M5：圓周角定理

【專題】67：推理能力：55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】連接OA、OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NPAO=90。，/尸8。=90。，求出NAOB,

根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解答】解：連接。4、OB,

PA.P8分別為。的切線，

..OALPA,OBLPB,

??.ZPAO=90°,NPBO=90°,

ZAOB=360°-ZPAO-Z.PBO-ZP=360°-90°-90°-72°=108°,

由圓周角定理得，ZC=-ZAO?=54°,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解

題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東濟(jì)寧，T10,3分）如圖，在AABC中，點(diǎn)。為AABC的內(nèi)心，2A=60°,CD=2,

BD=4.則ADBC的面積是（）

D

B

A.46B.26C.2D.4

【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì)；MI：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【專題】67：推理能力；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；66：運(yùn)算能力

【分析】過(guò)點(diǎn)8作3H_LCO于點(diǎn)H.由點(diǎn)。為AABC的內(nèi)心，NA=60。，得N30C=120。,

則/5?！?60。，由%>=4,求得BH,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)8作B〃_LCO于點(diǎn)

點(diǎn)。為A45C的內(nèi)心.NA=60>.

.,./OBC+N/)CB='(ZABC+4CB)=L(1800-ZA),

22

.?.ZfiDC=90°+-ZA=90o+-x60o=120°?

22

則4BDH=60°,

BD=4,

:.DH=2,BH=26

CD=2t

AOBC的面積BH=-x2x2>j3=2yl3,

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)心的相關(guān)計(jì)算，熟練運(yùn)用含30。角的直角三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

1.(2020哈爾濱，T5,3分)如圖，AB為。的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，OB交。于點(diǎn)C,

點(diǎn)。在。上，連接4)、CD,OA,若NAOC=35。，則NA8O的度數(shù)為()

A.25°B.20°C.30°D,35°

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；M5：圓周角定理

【專題】554：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；67：推理能力

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：回為圓。的切線，

AB1OA,即N04B=90°,

ZADC=35°,

/.Z.AOB=2ZADC=70°,

NA3O=90。-70。=20°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

1.（2020湖南湘西州，T8,4分）如圖，PA./曲為圓。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,PO

交于點(diǎn)C,PO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)￡>.下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.MP4為等腰三角形

B.A3與產(chǎn)力相互垂直平分

C.點(diǎn)A、8都在以產(chǎn)。為直徑的圓上

D.PC為MQA的邊上的中線

【考點(diǎn)】KI：等腰三角形的判定；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì)

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算；67：推理能力

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：（A）PA.PB為圓。的切線，

:.PA=PB,

.?.MP4是等腰三角形，故4正確.

(B)由圓的對(duì)稱性可知：科_1_也＞,但不一定平分,

故3不一定正確.

(C)連接。8、0A,

PA.為圓。的切線，

/OBP=ZOAP=90°,

.?.點(diǎn)A、B、尸在以O(shè)P為直徑的圓上，故C正確.

(D)是等腰三角形，PD±AB,

??.PC為MP4的邊力5上的中線，故。正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)，本題屬于中等題型.

1.(2020寧夏，T6,3分)如圖，等腰直角三角形ABC中，ZC=90\AC=應(yīng),以點(diǎn)C

為圓心畫(huà)弧與斜邊A8相切于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,交3C于點(diǎn)尸，則圖中陰影部分的面積

是()

A.1--B.-C.2--D.1+-

4444

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面積的計(jì)算

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算；64：幾何直觀

【分析】連接CO,利用切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出CO的值，再分別計(jì)算出

扇形EC/的面積和等腰三角形4cB的面積，用三角形的面積減去扇形的面積即可得到陰影

部分的面積.

【解答】解：連接C。，如圖,

是圓C的切線,

CD1AB,

M5C是等腰直角三角形,

??.AB=?AC=0乂屈=2,

:.CD=-AB=1,

2

圖中陰影部分的面積=S”8c-S班形圻

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連

過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了扇形的面積和等腰直角三角形的性質(zhì).

2.1.（3分）（2020?通遼）如圖，PA,PB分別與。相切于4,8兩點(diǎn)，/尸=72。，貝ijNC=（

C.54°D.36°

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；M5：圓周角定理

【專題】67：推理能力；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】連接OA、OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NPAO=90。，NP8O=90。，求出NAOB,

根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解答】解：連接。A、0B,

PA,/歸分別為。的切線，

..OALPA,OBLPB,

Z.PAO=90°,/PBO=90°,

/.ZAOB=360°-/PAO-NPBO-ZP=360°-90°-90°-72°=108°,

由圓周角定理得，ZC=-ZAOB=54°,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解

題的關(guān)鍵.

3.1.（2020湖南永州，T7,4分）如圖，已知R4,PB是O的兩條切線，A,B為切點(diǎn),

線段。尸交。于點(diǎn)M.給出下列四種說(shuō)法:

@OPl.ABx

③四邊形O4P8有外接圓；

④“是AAOP外接圓的圓心.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

D.4

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；M4：三角形的外接圓與外心

【專題】30：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)31：點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系；

【分析】利用切線長(zhǎng)定理對(duì)①進(jìn)行判斷；利用級(jí)段的垂直平分線定理的逆定理對(duì)②進(jìn)行判斷：

利用切線的性質(zhì)和圓周角定理可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于只有當(dāng)NAPO=30。時(shí)，。。=2。4,此

時(shí)PM=OM,則可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【解答】解：PA,PB是。的兩條切線，A,B為切點(diǎn),

:.PA=PB,所以①正確；

OA=OB,PA=PB，

??.O尸垂直平分A8,所以②正確；

PA,PB是。的兩條切線，A,3為切點(diǎn)，

OAJ.PA,OBLPB,

ZOAP=Z.OBP=90°,

.?.點(diǎn)A、8在以O(shè)P為直徑的圓上，

二.四邊形0Ap區(qū)有外接圓，所以③正確；

只有當(dāng)N4PO=30。時(shí)，OP=2OA,此時(shí)PM=OW,

.?.M是不一定為AAOP外接圓的圓心，所以④錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連

過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了切線長(zhǎng)定理

4.1.（2020?甘肅天水T,5,4分）如圖所示，PA.尸8分別與「。相切于A、B兩點(diǎn)，

點(diǎn)C為。上一點(diǎn)，連接AC、BC,若NP=70。，則乙4CB的度數(shù)為（）

B

A.50°B.55°C.60。D.65°

【考點(diǎn)】MC,切線的性質(zhì)；A/5：圓周角定理

【專題】64：幾何直觀；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】連接OA、0B,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA_LPA,OB1PB,則利用四邊形內(nèi)

角和計(jì)算出NA08=110%然后根據(jù)圓周角定理得到ZACB的度數(shù).

【解答】解：連接。4、OB,如圖，

PA.P8分別與O相切于A、B兩點(diǎn),

OALPA,OB工PB,

NOAP=NO3P=90°,

N4OB+NP=180°,

ZP=70°,

NAO8=U0°,

/.^ACB=-ZAOB=55°.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連

過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了圓心角定理.

1.（2020南京,T6,2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸在第一象限，P與x軸、y軸

都相切，且經(jīng)過(guò)矩形AO8C的頂點(diǎn)C,與BC相交于點(diǎn)O.若P的半徑為5,點(diǎn)4的坐標(biāo)

是（0,8）.則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì)；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

【專題】67：推理能力；556：矩形菱形正方形；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；55C：與

圓有關(guān)的計(jì)算；531：平面直角坐標(biāo)系

【分析】設(shè)。與“、y軸相切的切點(diǎn)分別是尸、E點(diǎn),連接尸E、PF、PD,延長(zhǎng)律與

CD交于點(diǎn)G,證明四邊形尸尸為正方形，求得CG,再根據(jù)垂徑定理求得CO,進(jìn)而得

PG、DB,便可得。點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：設(shè)。與x、y軸相切的切點(diǎn)分別是尸、E點(diǎn),連接PE、PF、PD,延長(zhǎng)EP

與CD交于點(diǎn)G,

則軸，尸產(chǎn)_Lx軸，

Z￡OF=90°,

二.四邊形PEOF是矩形，

PE=PF,PEHOF,

二.四邊形PEO廠為正方形,

;.OE=PF=PE=OF=5,

A(0,8),

/.04=8,

AE=8-5=3,

四邊形0AC8為矩形，

..BC=OA=S,BC//OA,ACHOB,

:.EGMAC,

：.四邊形AEGC為平行四邊形，四邊形OEGB為平行四邊形，

CG=AE=3,EG=OB,

PELAO,AO//CB,

..PG±CD,

:.CD=2CG=6,

DB=BC—CD=8-6=2,

PD=5,DG=CG=3,

..PG=4,

:.OB=EG=5+4=9,

/.D(9,2).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理,

勾股定理，關(guān)鍵是求出CG的長(zhǎng)度.

5.1.（2020重慶AT5,4分）如圖，A3是。的切線，A為切點(diǎn)，連接OA,。8,若N6=20。,

則N4O8的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)

【專題】67：推理能力；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解答】解：是0的切線，A為切點(diǎn)，

ZA=90°,

4B=20°,

.?.ZAOB=90°-20°=70°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.11.（3分）（2020?雅安）如圖，A4BC內(nèi)接于圓，乙4。8=90。，過(guò)點(diǎn)。的切線交A8的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，NP=28。.則NC4B=（）

c

A.62°B.31。C.28°D.56°

【考點(diǎn)】A/C：切線的性質(zhì)；MA：三角形的外接圓與外心

【專題】554：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；64：幾何直觀

【分析】連接0C，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到ZPCO=90°,則利用互余計(jì)算出ZPOC=62°,

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算NA的度數(shù).

【解答】解：連接OC,如圖，

PC為切線，

0cPC,

...ZPCO=90°,

/.ZPOC=90°-ZP=90°-28°=62°,

OA=OC,

N4=ZOCA,

而ZPOC=NA+Z.OCA,

/.ZA=-x62°=31°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連

過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.

7.1.(2020?泰安12.4分)如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A(2,0),5(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平

面內(nèi)一點(diǎn)，5C=1,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM,則OM的最大值為()

A.&+1B.>/2+-C.2&+1D.2V2--

22

【考點(diǎn)】M8：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；KX：三角形中位線定理；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

【專題】552：三角形；69：應(yīng)用意識(shí)

【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為1的B上，通過(guò)畫(huà)圖可知，C在8D與

圓A的交點(diǎn)時(shí),OM最小，在QA的延長(zhǎng)線卜時(shí),OM最大，根據(jù)二角形的中位線定理可得

結(jié)論.

【解答】解：如圖，

點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，8c=1,

在B的圓上，且半徑為1,

取00=04=2,連接CO,

AM=CM,OD=OAf

：.OM是A4CO的中位線,

:.OM=-CD,

2

當(dāng)?！弊畲髸r(shí)，即CO最大，而。，B,。三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)。在。8的延長(zhǎng)線上時(shí)，0M最

大，

OB=OD=2tN8OO=90°,

:.BD=2&，

:.CD=2五+

:.OM=-CD=yf2+-,即OM的最大值為應(yīng)+,；

222

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最大值

是點(diǎn)C的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn).

8.L（2020浙江湖州，T9,3分）如圖，已知07是RtAABO斜邊A8上的高線，40=80.以

。為圓心，。丁為半徑的圓交0A于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作。的切線C。，交AB于點(diǎn)、D.則下

列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.DC=DTB.AD=41DTC.BD=BOD.2OC=5AC

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；MCz切線的性質(zhì)；KW：等腰直角三角形

【專題】69：應(yīng)用意識(shí)；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】如圖，連接OO.想辦法證明選項(xiàng)A,B,C正確即可解決問(wèn)題.

DC是O的切線，

DC=DT,故選項(xiàng)A正確,

OA=OB,408=90°,

/.ZA=ZB=45°,

QC是切線，

CDJ.OC,

ZACD=90°,

.\ZA=ZADC=45O,

;.AC=CD=DT,

AD=42CD=41DT,故選項(xiàng)B正確，

00=00,OC=OTfDC=DT,

bDOC"DOT(SSS),

/DOC=/DOT,

OA=OB.OTLAB,NAOB=900?

ZAOT=^BOT=45°,

..4DOT=ZDOC=22.5°,

/BOD=NODB=675。,

.BO=BD,故選項(xiàng)C正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

2.（2020浙江金華，T8,3分）如圖，。是等邊兇8c的內(nèi)切圓，分別切AB,BC,AC

于點(diǎn)E,F,D,P是。尸上一點(diǎn)，則NEPF的度數(shù)是（)

【考點(diǎn)】KK：等邊三角形的性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì)；Ml：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；M5：

圓周角定理

【專題】69：應(yīng)用意識(shí)；55C：與圓有關(guān)的計(jì)算

【分析】如圖，連接。“，OF.求出/E。"的度數(shù)即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，連接。E,OF.

。是A48C的內(nèi)切圓，E,尸是切點(diǎn)，

..OE1AB,OFIBCf

NOEB=NOFB=90°,

△ABC是等邊三角形，

NB=60°,

二./EO尸=120°,

/.NEPF=L/EOF=60。,

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

3.（2020浙江嘉興，T9,3分）如圖，在等腰&48C中，AB=AC=2x/5,BC=8,按下列

步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,

尸為圓心，大于尸的長(zhǎng)為半徑作弧相交于點(diǎn)”，作射線A"；

2

②分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交

2

射線A”于點(diǎn)O；

③以點(diǎn)。為圓心，線段04長(zhǎng)為半徑作圓.

則。的半徑為（）

A.2x/5B.10C.4D.5

【考點(diǎn)】N3：作圖-復(fù)雜作圖；M2：垂徑定理；KH：等腰三角形的性質(zhì)

【專題】13：作圖題；69：應(yīng)用意識(shí)

【分析】如圖，設(shè)04交BC于7\解直角三角形求出47，再在RiAOCT中，利用勾股定理

構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，設(shè)。A交8c于T.

AB=AC=254。平分N8AC,

:.AO±BC,BT=TC=4,

:.AT=y/AC2-CT2=7(2X/5)2-42=2,

在RtAOCT中,則有/=(-2)2+42,

解得，=5,

故選：￡>.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理

解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

4

9.1.（2020廣州，T7,3分）如圖,RtAABC中,ZC=90°,48=5,cosA=-,以點(diǎn)B

5

為圓心，r為半徑作8,當(dāng)r=3時(shí)，6與4C的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無(wú)法確定

【考點(diǎn)】MB：直線與圓的位置關(guān)系；T7：解直角三角形

【專題】67：推理能力；66：運(yùn)算能力；55/1：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC，根據(jù)勾股定理求得8C,和8的半徑比較即可.

4

【解答】解：RtAABC中，ZC=90°,AB=5,cosA=-,

5

ACAC4

--------------?

AB5----5

1.AC=4,

:.BC=>jAB2-AC2=3,

r=3,

.-.B與AC的位置關(guān)系是相切，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：相切、

相交、相離.

1.（2020呼和浩特，T16,3分）已知A8為O的直徑且長(zhǎng)為2r,C為O上異于A,B

的點(diǎn)，若與過(guò)點(diǎn)C的。的切線互相垂直，垂足為①若等腰二角形AOC的頂角為

120度，貝!）CO='r,②若&4OC為正三角形，貝iJCO=^r,③若等腰三角形AOC的對(duì)稱

22

軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，則CD=r,④無(wú)論點(diǎn)。在何處，將AAOC沿4c折疊，點(diǎn)。一定落在直徑AB

上，其中正確結(jié)論的序號(hào)為②③④.

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理：KH：等腰三角形的性質(zhì)；MC,切線的性質(zhì)；KK：等邊三角

形的性質(zhì)；KO：含30度角的直角三角形；P2：軸對(duì)稱的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問(wèn)

題）；M5：圓周角定理

【專題】67：推理能力；14：證明題；17：推理填空題

【分析】①過(guò)點(diǎn)。作OE_LAC,垂足為E,求出NC4D=3O。，得到CO=」AC,再說(shuō)明

2

OE=-r,利用NOCAwNCOE,得到CEwOE,即可判斷；②過(guò)點(diǎn)A作AE_LOC,垂足

2

為E,證明四邊形AECO為矩形，即可判斷；③畫(huà)出圖形，證明四邊形AOCO為矩形，即

可判斷；④過(guò)點(diǎn)C作CE_LAO,垂足為E,證明AADC=AAEC,從而說(shuō)明AC垂直平分DE,

得到點(diǎn)。和點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，也可判斷.

【解答】解：①Z4OC=120°,

ZCAO=ZACO=300,

和圓。相切，ADLCDt

ZOCD=90°,AD//CO,

.-.ZACD=60°,NOW=30°,

:.CD=-AC,過(guò)點(diǎn)。作OE_LAC,垂足為E,

2

則CE=AE,AC=CO,

2

^OE=-OC=-r,乙OCA手乙COE,CE^OE,

②若A4OC為正三角形，

ZAOC=ZOAC=60°,AC=OC=OA=rt

Z.OAE=30°,

:.OE=-AO,AE=—AO=—r,

222

過(guò)點(diǎn)A作A￡_LOC,垂足為E,

四邊形AEC。為矩形，

:.CD=AE=—r故②正確；

2t

D

③若等腰三角形AO。的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,如圖,

..AD=CD,而NA。。=90°,

ZDAC=ZDCA=45°,又NOCD=90。，

:.ZACO=ZCAO=45°

ZDAO=90°,

四邊形AOCO為矩形，

.CD=AO=rt故③正確：

④過(guò)點(diǎn)C作CE_LAO，垂足為E，

OCLCDyAD±CD,

??.OC//AD，

ZCAD=ZACO，

OC=OAt

Z.AOC=ZCAO,

/.ZCAD=ZCAO，

CD=CE，

在AAOC和zUEC中,

ZD=ZAEC,CD=CE,AC=AC,

AAOC=AAEC(HL),

:.AD=AE,

二.AC垂直平分OE,則點(diǎn)0和點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱,

故正確的序號(hào)為：②③

故答案為：②③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

切線的性質(zhì)，垂徑定理，知識(shí)點(diǎn)較多，多為一些性質(zhì)定理，解題時(shí)要逐一分析，利用性質(zhì)定

理進(jìn)行推導(dǎo).

二、填空題

1.（2020?棗莊，T15,4分）如圖，是O的直徑，P4切。于點(diǎn)4,線段產(chǎn)。交O

于點(diǎn)C.連接BC,若NP=36。，貝1］々=_27。_.

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；MC：切線的性質(zhì)

【專題】554：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；67：推理能力

【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出NOAP=90。,再利用三角形內(nèi)角和定理得出乙40尸=54。,

結(jié)合圓周角定理得出答案.

【解答】解：E4切。于點(diǎn)A,

ZOAP=90°，

ZP=36°,

??.ZAOP=54°,

/.ZB=-ZAOP=27°.

2

故答案為：27。.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出NAOP的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

2.（2020?眉山，T18,4分）如圖，點(diǎn)尸為。外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作0的切線BA、PB,點(diǎn)

A、B為切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交尸8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作CO_LPO,交PO的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)￡>.已知尸A=6,AC=8,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)2石

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)

【專題】554：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；64：幾何直觀

（分析］連接08,如圖，利用切線長(zhǎng)定理得到P8=PA=6,利用切線的性質(zhì)得到OBA.PC,

OA_LPA,再利用勾股定理計(jì)算出PC=10,則BC=4,設(shè)。的半徑為r,則。0,

OC=8-r,在RlABCO中利用勾股定理可求出r=3,所以04=3,OC=5,然后證明

△CODsbPOA,再利用相似比求出CO.

【解答】解：連接。8,如圖，

PA.PB為。的切線，

：.PB=PA=6,OBA.PC,O41PA,

/./CAP=Z.CBO=90°,

在RtAAPC中，PC=d6+G=10,

BC=PC-PB=4,

設(shè)。的半徑為r,貝ljQA=OB=r,OC=8-r,

在RtABCO中，42+r=（8-r）2,解得r=3,

OA—3，OC—5,

在RtAOPA中，OP==3x[5f

CD上PO,

ZCDO=90°,

ZCOD=ZPOA,ZCDO=NPAO,

..ACODsbPOA,

:.CD:PA=OC:OP,即CO:6=5:3^,

:.CD=2后.

故答案為2&.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連

過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

3.（2020湖北荊州，T13,3分）已知：△ABC,求作：△ABC的外接圓.作法：①分別作

線段8C,AC的垂直平分線Er和MM它們相交于點(diǎn)O；②以點(diǎn)。為圓心，08的長(zhǎng)為

半徑畫(huà)圓.如圖，。。即為所求，以上作圖用到的數(shù)學(xué)依據(jù)有：線段的垂直平分線的

性質(zhì).（只需寫(xiě)一條）

【考點(diǎn)】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；MA：三角形的外接圓與外心；N3：作圖一復(fù)雜

作圖.

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；64：幾何直觀.

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到04=。。=。8,然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可

判斷點(diǎn)A、。在。。上.

【解答】解：???點(diǎn)O為AC和BC的垂直平分線的交點(diǎn)，

：.OA=OC=OB,

.二。。為△ABC的外接圓.

故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖■復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，

一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

1.1.（4分）（2020山東東營(yíng)，T17,4分）如圖，在R3AOB中，08=26，ZA=30°,

。的半徑為1,點(diǎn)尸是48邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作。的一條切線尸2（其中點(diǎn)。為切點(diǎn)）,

則線段P。長(zhǎng)度的最小值為20.

【考點(diǎn)】KO：含30度角的直角三角形；MC：切線的性質(zhì)

【專題】23：直角三角形與勾股定理：31：點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系；67：推理能力

【分析】連接0尸、OQ,作于P,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OQ_LPQ,根據(jù)勾股定

理得到=產(chǎn)-1,根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)OP_L48時(shí)，OP最小，根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：連接OP、OQ,作于P,

PQ是。的切線，

..OQLPQ,

PQ=ylOF^-OQ1=S產(chǎn)-1,

當(dāng)OP最小時(shí)，線段P。的長(zhǎng)度最小，

當(dāng)OP_L4B時(shí)，OP最小，

在R3AOB中，Z4=30°,

OB

:,OA=6，

tanA

在RtAAOP中，NA=30。，

:.OP,=-OA=3,

2

二.線段PQ長(zhǎng)度的最小值=也-1=2&,

故答案為：2友.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)

過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

2.1.(2020黑龍江龍東地區(qū)，T16,3分如圖，AO是&48c的外接圓。的直徑，若

ZBAD=40°,則NACB=50°.

【考點(diǎn)】MA：三角形的外接圓與外心

【專題】67：推理能力；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】連接8。，如圖，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接如圖，

4)為的外接圓。的直徑，

/.ZABD=90°,

/.ND=90°-/BAD=90°-40°=50°,

二.Z.ACB=NO=50°.

故答案為50.

c

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所

對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

2.（2020湖北鄂州,T15,3分）如圖，半徑為2cm的O與邊長(zhǎng)為2c機(jī)的正方形ABCD的邊AB

相切于E,點(diǎn)尸為正方形的中心，直線OE過(guò)尸點(diǎn).當(dāng)正方形ABCO沿直線O尸以每秒

（2-出）cm的速度向左運(yùn)動(dòng)1或（11+63）秒時(shí),O與正方形重疊部分的面積為

【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；MO：扇形面積的計(jì)算；LEx正方形的性質(zhì)

【專題】69：應(yīng)用意識(shí)；25：動(dòng)點(diǎn)型；55C：與圓有關(guān)的計(jì)算

【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)4,8落在。上時(shí)，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C,。落在O

上時(shí)，分別求解即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)A,8落在0上時(shí)，。與正方形重疊部分的面積為

此時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間f=（2-揚(yáng)+（2-揚(yáng)=1（秒）

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C,。落在O二時(shí)，。與正方形重疊部分的面積為（2萬(wàn)-6）0〃2

3

圖2

此時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間/=[4+2_（2_6）]+（2_百）=（1]+6若）（秒）,

綜上所述，滿足條件的，的值為1秒或（11+班）秒.

故答案為1或（11+班）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，扇形的面積，三角形的面積等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是理解題意學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

3.（2020湖北鄂州,T16,3分）如圖，已知直線y=々5%+4與x、y軸交于4、8兩點(diǎn)，。

的半徑為1,0為A3上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切。于。點(diǎn).當(dāng)線段尸。長(zhǎng)取最小值時(shí)，直線PQ交

y軸于M點(diǎn)，。為過(guò)點(diǎn)M的一條直線，則點(diǎn)尸到直線。的距離的最大值為_(kāi)2石_.

【考點(diǎn)】b5：一次函數(shù)的性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì)；A8：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【專題】66：運(yùn)算能力；64：幾何直觀；67：推理能力；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；55C：

與圓有關(guān)的計(jì)算：17：推理填空題

[分析】在直線y=-\^x+4上，x=0時(shí)，y=4,y=0時(shí)，x=,可得OB=4,OA=,

得角。刖=30。，根據(jù)P。切。于Q點(diǎn)可得OQ_LP。，由。。=1,因此當(dāng)OP最小時(shí)PQ長(zhǎng)

取最小值，此時(shí)若使點(diǎn)P到直線。的距離最大，則最大值為且M位于x軸

下方，過(guò)點(diǎn)P作尸E_Ly軸于點(diǎn)E,根據(jù)勾股定理和特殊角30度即可求出PM的長(zhǎng).

【解答】解：如圖,

yt

病

次X

在直線y=-々%+4上，x=0時(shí)，y=4,

當(dāng)y=0時(shí)，x=^^-,

3

八4石

.-.OB=4OA=—^~,

t3

OAG

OB3

AOBA=30°,

由P。切。于。點(diǎn)可知：OQ_LPQ,

22

..PQ=y/0P-0Q,

由于OQ=1,

因此當(dāng)OP最小時(shí)PQ長(zhǎng)取最小值，此時(shí)O尸_LA8,

：.OP=LOB=2,

2

此時(shí)PQ=>/22—I2—\/3,

BP=V42-22=2x/3,

:.OQ=^OP,即NOPQ=30。，

若使點(diǎn)尸到直線a的距離最大，

則最大值為PM，且M位于4軸下方，

過(guò)點(diǎn)P作PE_Ly軸于點(diǎn)E,

:.EP=-BP=43,

2

：.BE=?2/y_#y=3,

OE=4-3=1,

OE=-OP,

2

/.ZOPE=30°，

ZEPM=30°+30°=60°,

即ZEA/P=30°,

:.PM=2EP=26

故答案為：26.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連

過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了一次函數(shù)的性

3.1.（2020山東棗莊，T15,4分）如圖，A8是圓。的直徑，P4切圓。于點(diǎn)4,線段PO

交圓O于點(diǎn)C.連接8C,若NP=36。，則4=_27。_.

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理：MC：切線的性質(zhì)

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；67：推理能力

【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出/。4尸=90。，再利用三角形內(nèi)角和定理得出NAOP=54。,

結(jié)合圓周角定理得出答案.

【解答】解：附切。于點(diǎn)A：

/。4尸=90。,

々=36。，

/.NAO尸=54。，

/.ZB=-ZAOP=27°.

2

故答案為：27°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出乙40尸的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

4.1.（2020江蘇泰州,T14,3分）如圖，直線a_LA,垂足為〃，點(diǎn)P在直線b上，PH=4cm,

O為直線6上一動(dòng)點(diǎn)，若以1cm為半徑的O與直線°相切，則OP的長(zhǎng)為_(kāi)3cm^5cm_.

【考點(diǎn)】A/C：切線的性質(zhì)

【專題】67：推理能力；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【分析】當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)H的左側(cè)0與直線。相切時(shí)，0。=尸"-。"；當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)〃的右側(cè)

。與直線〃相切時(shí)，OP=PH+OH,即可得出結(jié)果.

【解答】解：直線〃JLb,0為直線6上一動(dòng)點(diǎn)，

O與直線a相切時(shí)，切點(diǎn)為“，

OH=\cm>

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)〃的左側(cè)，O與直線。相切時(shí)，如圖1所示：

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)”的右側(cè)，0與直線〃相切時(shí)，如圖2所示:

。與直線a相切，OP的長(zhǎng)為3cm或5cm,

故答案為：3c6或5cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)以及分類討論；熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020蘇州,T14,3分）如圖，已知48是。的直徑，AC是O的切線，連接。。交O

于點(diǎn)。，連接BO.若NC=40。，則的度數(shù)是25

B

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；MC：切線的性質(zhì)

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；67：推理能力

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得NQAC=90。，再利用互余計(jì)算出乙40c=90。-NC=50。，由

于/OBD=NODB,利用三角形的外角性質(zhì)得NO8O=LN4OC=25。.

2

【解答】解：AC是。的切線，

OA1AC,

:.ZOAC=90°,

ZAOC=90°-ZC=90°-40°=50°,

OB=OD,

Z.OBD=Z.ODB,

而ZAOC=Z.OBD+Z.ODB,

^OBD=-ZAOC=25°,

2

即/鉆￡＞的度數(shù)為25。，

故答案為：25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了等腰三角形的

性質(zhì).

5.1.（2020?廣東*T17?4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯

住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理

想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，N48C=90°,點(diǎn)M,N分別在射線BA,BC

上，MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN=4,E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)。到84,BC的距離分別為4

和2.在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離OE的最小值為，卮山.

【考點(diǎn)】KP：直角三角形斜邊上的中線；M8：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

【專題】25：動(dòng)點(diǎn)型；552：三角形；69：應(yīng)用意識(shí).

【分析】如圖，連接BE,BD.求出BE,BD,根據(jù)OE2B。-BE求解即可.

【解答】解：如圖，連接BE,BD.

由題意BD=722+42:2鄧,

?；NMBN=90°,MN=4,EM=NE,

:,BE=；MN=2,

???點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓，

工當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，

JOE的最小值為2小-2.

故答案為2、后-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

6.1.（2020浙江杭州，T14,4分）如圖，已知是。的直徑，BC與O相切于點(diǎn)3,

連接AC,OC.若sin/8AC=1,則tanN8OC=—.

3—2—

【考點(diǎn)】77：解直角三角形；MC：切線的性質(zhì)；M5：圓周角定理

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；67：推理能力

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB，8C,設(shè)8C=x,AC=3x,根據(jù)勾股定理得到

AB=ylAC2-BC2=V(3x)2-x2=25/2x,于是得到結(jié)論.

【解答】解：是。的直徑，BC與。相切于點(diǎn)3,

ABA.BC,

.-.Z/4BC=90°,

/n…BC1

sinZ.BAC=---=-，

AC3

.?.設(shè)8C=x,AC=3xf

:.AB=qAd-BC2=7（3X）2-x2=2缶,

；.OB=LAB=OX,

2

..tanZfiOC=—=-^-=—,

OB0x2

故答案為：

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

1.(2020?遼寧遼陽(yáng)，T24,12分)如圖，在平行四邊形A8CO中，AC是對(duì)角線，

NCA8=9O。，以點(diǎn)A為圓心，以A8的長(zhǎng)為半徑作A,交8c邊于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸,

連接0E.

(1)求證：DE與4相切；

(2)若NA5C=60。，AB=4,求陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算；M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質(zhì)；L5：平

行四邊形的性質(zhì)；K0：含30度角的直角三角形

【專題】66：運(yùn)算能力；67：推理能力：554：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】(1)證明：連接AE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到月C,AD//BC,求得

ZDAE=ZAEB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NOE4=NCA8,得到。于是得到結(jié)

論；

(2)根據(jù)已知條件得到AABE是等邊三角形，求得NEA5=60。，得到

ZCAE=ZAC,得到CE=BE,根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接AE,

四邊形48CD是平行四邊形，

..AD=BCtADIIBC,

:.ZDAE=ZAEB,

AE=AB,

NAEB=ZABC,

ZDAE=NA3C,

/.AAED^ABAC(AAS),

ZDEA=Z.CAB,

ZC4￡?=90°,

/.ZDEA=90°,

:.DEYAE,

AE是A的半徑，

.?.OE與4相切；

⑵解：ZABC=60°,AB=AE=4,

.?.△ABE是等邊三角形,

...AE=BE,NEA8=600,

NC4B=90°,

Z.CAE=900-NEAB=90°-60°=30°,Z.ACB=90°-ZB=90°-60c=30。,

Z.CAE=ZACB,

AE=CE,

/.CE=BE,

S3=—ABAC=—X4X4-V3=8\/3,

MKc22、

'''SUCE=SMUC=5x8x/3=45/3,

ZCAE=30°,AE=4,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?遼寧營(yíng)口，T23,12分)如圖，&48C中，ZACB=90°,80為AA8c的角

平分線，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作O與線段AC交于點(diǎn)O.

(1)求證：A8為。的切線；

(2)若tanA=2,AD=2,求5。的長(zhǎng).

4

【考點(diǎn)】M