《電子設備可靠性工程》課件第3章

第3章

典型系統(tǒng)的可靠性分析3.1可靠性框圖

3.2串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

3.3并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性3.4網(wǎng)絡系統(tǒng)

3.1可靠性框圖

1.流體系統(tǒng)

圖3－1（a）表示控制管中流體的兩個閥門1和2，在結(jié)構(gòu)上它們是串聯(lián)在一起的。

如果其功能是為了使液體流通，則兩個閥門有任何一個打不開（關(guān)閉），系統(tǒng)就不能正常工作，其可靠性框圖（功能模型）表示為一個串聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－1（b）所示。

如果該結(jié)構(gòu)的功能是為了截住流體，則任一閥門能關(guān)閉，就能保證系統(tǒng)的正常，只有兩個閥門均不能關(guān)閉時，系統(tǒng)才失效，所以其可靠性框圖表示為一個并聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－1（c）所示。圖3－1流體系統(tǒng)

2.電容器系統(tǒng)

電路中經(jīng)常使用并聯(lián)電容器，如圖3－2（a）所示，對于這個系統(tǒng)，從可靠性角度來討論就有兩種分析結(jié)果。

如果所設計的系統(tǒng)在電容器短路時失效，顯然，任何一個電容器失效均會導致該電路系統(tǒng)失效，從功能關(guān)系來看，該電容器系統(tǒng)的可靠性框圖應表示為一個串聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－2（b）所示。

若系統(tǒng)的失效模式定義為開路，電容器以開路失效為其失效模式，則此時系統(tǒng)的可靠性框圖就表示為一個并聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－2（c）所示。圖3－2電容器系統(tǒng)

3.振動系統(tǒng)

振動系統(tǒng)的力學模型如圖3－3（a）所示。振動系統(tǒng)中各要素有：彈簧剛度K、系統(tǒng)阻尼C、外摩擦f、外載荷F?？梢愿鶕?jù)其力學特性，利用各要素間的相互關(guān)系，建立振動方程，也就是系統(tǒng)的數(shù)學模型。從力學模型看，各要素之間是并聯(lián)關(guān)系，但從可靠性角度看，系統(tǒng)中任一要素失效，系統(tǒng)即喪失工作能力，因此其功能邏輯關(guān)系為串聯(lián)形式，如圖3－3（b）所示。圖3－3振動系統(tǒng)

3.2串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

串聯(lián)系統(tǒng)是指系統(tǒng)中只要有一個單元失效就會導致整個系統(tǒng)失效的系統(tǒng)，或者說只有當系統(tǒng)中所有單元都正常工作時，系統(tǒng)才能正常工作的系統(tǒng)。

串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性框圖如圖3－4所示。該系統(tǒng)由n個相互獨立的單元組成，很容易看出，若要求整個系統(tǒng)正常工作，則各單元都必須正常工作。圖3－4串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性框圖假設第i個單元的壽命為

，可靠度為

，根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)的定義，系統(tǒng)壽命

為于是系統(tǒng)的可靠度Rs(t)為（3-1）

例如圖3－5所示的某一測量雷達系統(tǒng)，以分系統(tǒng)為單元，其可靠度可表示為（3-2）概率密度函數(shù)為（3-3）

下面從式（3－1）出發(fā)開始討論，得出一些等效的關(guān)系式來。易得到系統(tǒng)失效分布Fs(t)與各單元失效分布Fi(t)的關(guān)系為圖3－5所示的某一測量雷達系統(tǒng)當?shù)趇個單元的失效率為λi(t)時，系統(tǒng)的可靠度為（3-4）系統(tǒng)失效率

為4（3-5）式(3－5)表明，由獨立單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)的失效率是所有單元失效率之和。

當n個單元（部件）的壽命服從λi(t)=λi（常數(shù)）的指數(shù)分布時，系統(tǒng)的可靠度和平均壽命分別為（3-6）（3-7）特殊地，若各單元失效率相等，即當

時，系統(tǒng)的失效率和可靠度分別為式中:定義

為單元的平均失效時間

,。從上面的分析可見：

（1）串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度比組成系統(tǒng)的每個單元的可靠度低；

（2）串聯(lián)系統(tǒng)的平均壽命MTTFs比單元的MTTFi要下降；

（3）串聯(lián)系統(tǒng)的失效率

比單元失效率

增大。

例3－1某系統(tǒng)由三個單元串聯(lián)構(gòu)成，若各單元的平均失效時間（單位：h）為250，100，350，求系統(tǒng)的平均失效時間，并比較系統(tǒng)和各單元在30h的可靠度（設各單元均服從指數(shù)分布）。

解系統(tǒng)的平均失效時間為當t=30h時，則因此有

例3－2

10個獨立和相同的分系統(tǒng)組成一個串聯(lián)系統(tǒng)。每個分系統(tǒng)的失效時間服從指數(shù)分布，其MTTFi(i=1，2，…，10)為2000h。假定在時刻t=0時系統(tǒng)開始工作，計算當t=50h時該串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度。 3.3并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

并聯(lián)系統(tǒng)又稱并聯(lián)冗余系統(tǒng)。為了使系統(tǒng)工作更保險可靠，往往在系統(tǒng)的工作過程中使所需要的零件、部件有一定的儲備，以用來改進系統(tǒng)可靠性。為了完成某一工作目的所設置的設備除了滿足運行的需要外，還有一定冗余的儲備，就稱為并聯(lián)冗余系統(tǒng)。例如將某些控制系統(tǒng)設計成兩套并聯(lián)系統(tǒng)，或設計成同時具有機械式、電氣式和液壓式的系統(tǒng)，只要有一套在正常工作，就能維持系統(tǒng)正常工作。

并聯(lián)系統(tǒng)可分為工作儲備系統(tǒng)和非工作儲備系統(tǒng)，它們又分別稱為平行冗余和開關(guān)系統(tǒng)。

工作儲備系統(tǒng)是使用多個零部件來完成同一任務的組合。在該系統(tǒng)中，所有的單元一開始就同時工作，但其中任一個單元（零部件）都能單獨地支持整個系統(tǒng)工作，也就是說，在系統(tǒng)中只要不是全部單元都失效，系統(tǒng)就可以正常運行。有的工作儲備系統(tǒng)要求同時有兩個以上的單元正常工作，系統(tǒng)才能正常工作。例如飛機有四個發(fā)動機，只要有兩個發(fā)動機正常工作就能飛行，這就稱為“n中取k”或“表決”系統(tǒng)。

非工作儲備系統(tǒng)是指系統(tǒng)中有一個或多個單元處于工作狀態(tài)，其余單元則處于“待命”狀態(tài)，當工作的某單元出現(xiàn)故障后，處于“待命”狀態(tài)的單元立即轉(zhuǎn)入工作狀態(tài)。轉(zhuǎn)入工作狀態(tài)時，必須經(jīng)過轉(zhuǎn)換開關(guān)，而這時就存在一個能否及時發(fā)現(xiàn)故障的監(jiān)測問題和轉(zhuǎn)換開關(guān)本身的可靠性問題。那么，在這里所說的“理想”開關(guān)是指開關(guān)本身完全可靠，不發(fā)生故障，且監(jiān)測可靠安全。

除常見的串、并聯(lián)系統(tǒng)外，還有網(wǎng)絡系統(tǒng)和其他更復雜的系統(tǒng)，將在本章后兩節(jié)介紹。

綜上所述，可將系統(tǒng)分類如下：

一般來說，非工作儲備系統(tǒng)的可靠度要高于工作儲備系統(tǒng)。這是因為雖然工作儲備系統(tǒng)的每個單元均在不滿負荷狀態(tài)下運行，但它們畢竟是在運行，設備的損耗總是不可避免地存在。而非工作儲備系統(tǒng)就不存在這個問題，但非工作儲備系統(tǒng)存在著何時啟用“待命單元”的監(jiān)測及“待命單元”啟動投入運行的“開關(guān)”可靠性問題。因此，“非工作儲備”比“工作儲備”可靠性高的結(jié)論是假定單元在儲備期不失效，并且在系統(tǒng)監(jiān)測故障完全準確及時和轉(zhuǎn)換開關(guān)“理想”的條件下得出的。實際上，開關(guān)的可靠度問題總是存在的。3.3.1純并聯(lián)系統(tǒng)

圖3－6為n個相互獨立的單元組成的純并聯(lián)系統(tǒng)。在圖示系統(tǒng)中，只要有一個單元正常工作，系統(tǒng)就能正常運行；反之，只有當系統(tǒng)的n個單元全部失效，系統(tǒng)才失效。

設第i個單元的壽命為ξi，可靠度為Ri(t)(i=1，2，…，n)，并已知ξ1，ξ2，…，ξn相互獨立。在初始時刻t=0，所有單元都是新的，且同時開始工作，由定義知，純并聯(lián)（通常稱并聯(lián)）系統(tǒng)的壽命ξ在各單元壽命ξi中是最大者，即圖3－6純并聯(lián)系統(tǒng)則系統(tǒng)的可靠度Rs(t)為可得系統(tǒng)的失效分布為（3－9）即并聯(lián)系統(tǒng)的不可靠度等于各單元不可靠度的連乘積。系統(tǒng)的失效分布密度為＝

例3-3

由四個零件A，B，C，D組成的工作儲備系統(tǒng)，四個零件的可靠度分別為RA=0.9，RB=0.8，RC=0.7，RD=0.6，求該系統(tǒng)的可靠度Rs。

解根據(jù)式（3-8）得：由結(jié)果可以看出，工作儲備系統(tǒng)將大大提高系統(tǒng)的可靠度。

例3－4已知可靠度相同的三單元并聯(lián)工作系統(tǒng)，每個單元的平均壽命為2500h，試確定使系統(tǒng)可靠度達到0.9962所允許的系統(tǒng)工作時間。

即使系統(tǒng)可靠度滿足要求的系統(tǒng)工作時間為424.15h。3.3.2串并聯(lián)系統(tǒng)

如圖3－7所示，若各單元的可靠度函數(shù)分別為R

ij(t)(i=1，2，…，n；j=1，2，…，mi)，且所有單元壽命都相互獨立，則按串聯(lián)和并聯(lián)公式得

圖3－7串并聯(lián)系統(tǒng)示意圖3.3.3并串聯(lián)系統(tǒng)

如圖3－8所示，若各單元的可靠度函數(shù)分別為Rij(t)(i

=1，2，…，m；j=1，2，…，ni)，且所有單元壽命都相互獨立，則同樣依串聯(lián)和并聯(lián)公式得圖3-8并串聯(lián)系統(tǒng)示意圖圖3－9復合系統(tǒng)可靠性框圖

設圖3－9中各單元相互獨立，且可靠度均為R(t)，則系統(tǒng)可靠度為

從串、并聯(lián)系統(tǒng)的討論可知，對串聯(lián)系統(tǒng)來說，元器件的可靠性水平及元器件數(shù)目的多少是系統(tǒng)可靠性的決定因素，故為提高串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度，必須盡量減少串聯(lián)元件數(shù)并提高每個元件的可靠度。由圖3－10(a)可知，隨元件可靠度的提高，系統(tǒng)可靠度的增量變小。

通常認為并聯(lián)系統(tǒng)可提高系統(tǒng)的可靠度，但這也是有一定限度的。由圖3－10(b)可以看出，對于并串聯(lián)系統(tǒng)，過多增加并聯(lián)支路數(shù)是無效的，當m>4以后，系統(tǒng)可靠度的增量很有限。

于系統(tǒng)配置來講，要合理利用并聯(lián)冗余的優(yōu)點，又要綜合考慮其性能與成本的影響，特別對于機械系統(tǒng)，設計并聯(lián)系統(tǒng)通常使其結(jié)構(gòu)復雜化，且價格較昂貴。故采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)時更應慎重。圖3－10元件數(shù)與系統(tǒng)可靠度的關(guān)系

例3－5如圖3－11所示的由六個單元組成的系統(tǒng)，每個單元的可靠度相同，即R=0.9，試確定每個系統(tǒng)的可靠度并比較之。圖3－11六單元組成的系統(tǒng)解

從計算結(jié)果可以看出，同樣的六個元件，不同的配置下其可靠度相差很大，顯然串并聯(lián)系統(tǒng)（見圖3－11(d)）的系統(tǒng)可靠度最高。3.3.4

n中取k（表決）系統(tǒng)

n中取k系統(tǒng)用符號k/n(G)表示。它是這樣一種系統(tǒng)：在并聯(lián)的n個單元中，至少有k個單元正常工作時，系統(tǒng)才正常工作。顯然，n/n(G)系統(tǒng)為n單元串聯(lián)系統(tǒng)，1/n(G)系統(tǒng)為n單元純并聯(lián)系統(tǒng)。例如由總數(shù)為n的硅片組成的太陽能電池系統(tǒng)，當大于等于k片硅片工作時，系統(tǒng)即正常供電，就屬于這種表決系統(tǒng)。圖3－12即為表決系統(tǒng)的可靠性框圖。

現(xiàn)以圖3－13所示的3中取2系統(tǒng)為例，來說明這種系統(tǒng)可靠度的計算方法。圖3－12表決系統(tǒng)的可靠性框圖圖3－13

3中取2系統(tǒng)的可靠性框圖

裝有三臺發(fā)動機的飛機至少有兩臺發(fā)動機正常工作時，飛機才能正常飛行。如果三臺發(fā)動機的壽命分別為ξi(i=1，2，3)，且相互獨立，其可靠度Ri(t)=P{ξi>t}，則系統(tǒng)正常工作有四種可能組合：三臺發(fā)動機都正常；兩臺正常一臺失效。因此系統(tǒng)的可靠度為（3-20）若發(fā)動機壽命服從指數(shù)分布，即

則

（3－21）系統(tǒng)的平均壽命為（3-22）如果三個單元的壽命同分布，可靠度相同，即R1(t)=R2(t)=R3(t)=R(t)，則

同樣，對于由n個獨立單元組成的k/n(G)系統(tǒng)，假設所有單元壽命同分布，可靠度相同，則系統(tǒng)的可靠度為（3-25）系統(tǒng)平均壽命為（3-26）（3-27）

例3-6

—架具有三臺發(fā)動機的噴氣式飛機，至少要有兩臺發(fā)動機正常工作才能飛行。設飛機事故僅由發(fā)動機事故引起，發(fā)動機的失效率為常數(shù)

，

，試計算飛行10h末和100h末飛機的可靠度。

解

這是3中取2系統(tǒng)，由式（3-25）得：

由已知條件

得

在10h末：

在100h末：

可見使用10h飛機發(fā)生事故的可能性為萬分之一，100h后就降為千分之一了

例3-7

設計一臺設備的電源，要求平日最大供電為6kW，緊急情況下為12kW。若利用發(fā)電機作為電源，可提供以下三種方案：①一臺12kW發(fā)電機；②二臺6kW發(fā)電機；③三臺4kW發(fā)電機。設各種發(fā)電機的可靠度相同，均等于R，且它們的失效相互獨立，試比較這三種方案。圖3-14各種系統(tǒng)的可靠度比較

3.3.5非工作儲備系統(tǒng)圖3-15非工作儲備系統(tǒng)1.冷儲備系統(tǒng)

冷儲備系統(tǒng)的備用部件在備用狀態(tài)下不會發(fā)生失效，不劣化，儲備期的長短對以后的使用壽命沒有影響，即備用故障率η=0。

冷儲備系統(tǒng)中，依開關(guān)K的性質(zhì)又分為理想轉(zhuǎn)換開關(guān)和非理想轉(zhuǎn)換開關(guān)兩種。

1)理想轉(zhuǎn)換開關(guān)的可靠度

有理想開關(guān)條件下的兩部件冷儲備系統(tǒng)如圖3－16所示，現(xiàn)在來求系統(tǒng)的可靠度和平均壽命。圖3－16兩部件冷儲備系統(tǒng)狀態(tài)圖在(0，t)內(nèi)，部件1正常工作的概率為部件2在（t1，t）內(nèi)正常工作的概率為

所以，在（0，t）內(nèi)系統(tǒng)正常工作的概率為

（3-28）

可以證明，由兩個指數(shù)型部件組成的冷儲備系統(tǒng)的可靠度Rs(t)為

（3-29）兩個部件冷儲備系統(tǒng)的平均壽命為

（3-30）若系統(tǒng)是由n個指數(shù)型部件組成的冷儲備系統(tǒng)，則其系統(tǒng)壽命為ξ=ξ1+ξ2+…+ξn。同樣可以證明，系統(tǒng)的可靠度為（3-31）系統(tǒng)的平均壽命為（3-32）在n個部件組成的系統(tǒng)中，各部件失效率相等且相互獨立，即λ1=λ2=…=λn=λ，則（3-33）系統(tǒng)的平均壽命為

（3-34）

2)轉(zhuǎn)移開關(guān)不完全可靠的系統(tǒng)可靠度

設轉(zhuǎn)移開關(guān)的可靠度為RK(t)，則式(3－28)變成

（3-35）

（3－36）這時系統(tǒng)的平均壽命為

（3-37）若轉(zhuǎn)換開關(guān)的可靠度為常數(shù)，即RK(t)=RK，則式(3－36)和式(3－37)變?yōu)?/p>

（3－38）（3－39）

2.熱儲備系統(tǒng)

熱儲備系統(tǒng)的部件在備用狀態(tài)可能會發(fā)生故障，因此分析它的可靠性比分析冷儲備系統(tǒng)要復雜得多。這里，只研究最簡單的情形。

假設系統(tǒng)是由兩個指數(shù)型部件組成的熱儲備系統(tǒng)，其工作壽命分別為ξ1和ξ2，且相互獨立，失效率分別為λ1和λ2。假設備用件的儲備壽命為η，也服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，并且轉(zhuǎn)入工作狀態(tài)后的失效率仍為λ2。

設有隨機變量x，當ξ1<η時，儲備有效；當ξ1>η時，儲備無效，即

則系統(tǒng)的壽命可表示為

其可靠度為

或

當轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠時，系統(tǒng)的可靠度為

（3-40）系統(tǒng)的平均壽命為

（3-41）當轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠且RK(t)=RK時，系統(tǒng)的可靠度為

（3-42）而平均壽命為

（4－43）當

時，則有

假設系統(tǒng)是由n個相同部件組成的熱儲備系統(tǒng)，一個部件在工作時，另外n-1個部件備用，工作時部件失效率為λ，儲備時失效率為μ，轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠，圖3－17顯示了失效率的變化情況。圖3－17熱儲備系統(tǒng)狀態(tài)變化圖（理想開關(guān)）（3-45）例3－8某兩單元組成的非工作冷儲備系統(tǒng)，各單元的失效率為λ1=λ2=0.0001h-1，求系統(tǒng)工作到1000h的可靠度。設開關(guān)的可靠度為1。

解根據(jù)式(3－33)得該系統(tǒng)的可靠度計算式為

將

代入上式即可求得系統(tǒng)可靠度為0.9953。 3.4網(wǎng)絡系統(tǒng)

3.4.1概述

可靠性工程中系統(tǒng)的概念是由系統(tǒng)和單元之間的功能關(guān)系定義的。在實際問題中，系統(tǒng)與單元之間的關(guān)系錯綜復雜，除串聯(lián)、并聯(lián)、儲備、混聯(lián)等系統(tǒng)外，還有大型的非串聯(lián)、非并聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)成的網(wǎng)絡系統(tǒng)。例如在一臺大型自動機床上，綜合了機械、液壓、氣動、電子線路等，構(gòu)成一個復雜的網(wǎng)絡。在電氣系統(tǒng)中，也會經(jīng)常遇到通信網(wǎng)絡、電路網(wǎng)絡、計算機網(wǎng)絡等。再如圖3－18(a)所示的并網(wǎng)供電系統(tǒng)，當開關(guān)K不完全可靠時，其可靠性框圖如圖3－18(b)所示。顯然，它不屬于前面定義過的任何一種系統(tǒng)，為此，要引入新的網(wǎng)絡系統(tǒng)概念。簡單講，網(wǎng)絡是一些節(jié)點以及連接某些節(jié)點對之間的弧組成的圖。設節(jié)點是

的集合，弧是

的有限集合，對于V滿足非空集，而且每一個

，與V中有序或無序元素

相對應，且

，則稱(V，E)組成一個網(wǎng)絡圖G。V中的元素是G的節(jié)點，E中的元素是G的弧。連接兩個節(jié)點的弧是有向的，稱為有向孤；連接兩個節(jié)點的弧若沒有方向（或是雙向的），則稱為無向弧。若在G中同時存在有向弧和無向弧，則稱G為混合型網(wǎng)絡。網(wǎng)絡分析中，還常用到“路”的概念。任意兩個節(jié)點間由有向弧或無向弧組成的弧序列稱為節(jié)點間的一條路。路中所包含的弧的數(shù)目稱為路的長度。兩個節(jié)點間有許多條路，對于某一條路，如果從其序列中除去任意一條弧，它就不再是連接兩個節(jié)點間的路了，則稱此路為該兩節(jié)點間的最小路。

如圖3－19所示的橋形網(wǎng)絡是一個混合型網(wǎng)絡。在節(jié)點1和2間有四條最小路｛a，b｝,｛c，d｝,｛a，e，d｝,｛c，e，b｝。圖3－19橋形網(wǎng)絡3.4.2狀態(tài)枚舉法（真值表法）

狀態(tài)枚舉法是把復雜系統(tǒng)內(nèi)各單元可靠與失效兩種狀態(tài)的所有不同組合狀態(tài)全部排列出來的方法。系統(tǒng)的可靠或失效狀態(tài)，就是這些相應不同組合狀態(tài)的邏輯和。因此，求系統(tǒng)的可靠度或失效概率就是求這些相應組合狀態(tài)邏輯和的概率。由于這些狀態(tài)彼此互不相容，即系統(tǒng)出現(xiàn)了某一種狀態(tài)，就不可能同時出現(xiàn)另一種組合狀態(tài)，由概率論加法定理可知，不同組合狀態(tài)邏輯和的概率等于各個組合狀態(tài)概率之和。

對于一個由n條弧組成的網(wǎng)絡系統(tǒng)，假設單元均為正常和失效兩種狀態(tài)，分別用“1”和“0”表示，系統(tǒng)正常這一事件用s=1表示，系統(tǒng)故障用s=0表示，則可列出2n種不同的組合狀態(tài)。從中找出使s=1的所有狀態(tài)，于是可求出系統(tǒng)可靠度。例3－9求如圖3－19所示的橋形網(wǎng)絡的可靠度。假定每條弧正常的概率為0.7，且每條弧間相互獨立。

解每條孤及系統(tǒng)正常用“1”表示，失效用“0”表示。依次列出并分析各種組合狀態(tài)，以判斷系統(tǒng)的狀態(tài)，如表3－1所示。

將系統(tǒng)處于s=1的狀態(tài)組合列出，即

由獨立性假定得到：上式中pa=pb=pc=pd=pe=0.7，qa=qb=qc=qd=qe=1-0.7=0.3，帶入后的系統(tǒng)可靠度為Rs=0.80164。

表3-1橋形網(wǎng)絡真值表3.4.3概率圖法

如圖3－20所示，用二進制表示2n個狀態(tài)，使圖中每一個小方格表示一個n位的二進制數(shù)，此二進制數(shù)又表示弧的一種狀態(tài)，如在n=5中，“*”與“**”分別表示01110與11110，只有首位不同。圖3－20概率圖構(gòu)造示意圖（1）構(gòu)圖要求：相鄰兩個方格的二進制數(shù)，僅在一位上有差別。

（2）二進制數(shù)不是由小到大排列，而是采用格雷碼的二進制數(shù)。求格雷碼的方法是：當b1b2…bn為n位二進制數(shù)，c1c2…cn為對應的格雷碼時，有

例如三位的二進制數(shù)由小到大排列為000，001，010，011，100，101,110，111，對應的格雷碼則為000，001，011，010，110，111，101，100。

例3－10對例3－9的網(wǎng)絡系統(tǒng)，利用概率圖法求解其系統(tǒng)可靠度。

解如圖3－19所示為一個五單元網(wǎng)絡，依上述方法構(gòu)造其概率圖，如圖3－21所示。將系統(tǒng)正常時ab、cde分別對應狀態(tài)的小格作陰影標志。

按如圖3－21(a)所示方式劃分方塊后，可直接寫出系統(tǒng)正常時的事件和為

則系統(tǒng)的可靠度為

圖3-21網(wǎng)絡系統(tǒng)的概率圖3.4.4路徑枚舉法

1.直接觀察法

對于比較簡單的網(wǎng)絡，可采用直接觀察法列出路徑。例如圖3－22所示是一高壓氧供給系統(tǒng)的簡化網(wǎng)絡圖，通過觀察可以直接列出四條最小路徑：AD、CD、BE、CE，于是系統(tǒng)的可靠工作狀態(tài)為

式中：sT——以路徑表示系統(tǒng)的可靠狀態(tài)；

Ai——系統(tǒng)中的第i條路徑。圖3-22高壓氧供給系統(tǒng)的簡化網(wǎng)絡

2.聯(lián)絡矩陣

對于比較復雜的網(wǎng)絡，采用直接觀察法容易把有些路徑漏掉，聯(lián)絡矩陣法就可避免遺漏?，F(xiàn)在以如圖3－23所示的橋形網(wǎng)絡為例說明這種方法（實際可采用直接觀察法，這里僅僅作為例子加以說明）。先對圖上的節(jié)點標注序號，然后順序?qū)懗?～n階聯(lián)絡矩陣。圖3-23橋形網(wǎng)絡定義一階聯(lián)絡矩陣為

二階聯(lián)絡矩陣定義為

r階矩陣為

系統(tǒng)的路集就是各階矩陣中以輸入節(jié)點序號為行，以輸出節(jié)點序號為列的元素xij的邏輯和。其中一階矩陣中的相應元素x12表示路徑中僅包含一個單元，r階矩陣中的相應元素xij表示僅包含有r個單元的路徑。根據(jù)上述規(guī)則，可列出圖3－23的各階矩陣（系統(tǒng)的輸入節(jié)點i=1，輸出節(jié)點j=2）。

一階矩陣為

一階矩陣中x12=0表示系統(tǒng)中不存在由單個單元組成的路徑。二階矩陣為

三階矩陣為

三階矩陣中的相應元素x12=BCE+ADE，表示存在由三個單元組成的兩條路徑，即BCE與ADE。四階矩陣為

即不存在由四個單元組成的路徑。因此，如圖3－23所示橋形網(wǎng)絡存在四條路徑，即AC、BD、BCE、ADE。路徑枚舉法的第二步工作是計算系統(tǒng)的可靠度。由于各條最短路徑彼此之間是相容的，即一條路徑可靠工作并不排斥另一條路徑也同時可靠工作。因此，不像狀態(tài)枚舉法那樣，系統(tǒng)工作可靠狀態(tài)的概率等于各組合狀態(tài)可靠工作的概率之和。這時，可用下述方法計算系統(tǒng)可靠度。系統(tǒng)可靠度為

由概率加法定理得（3－47）例3－11設橋形網(wǎng)絡如圖3－24所示，已知各弧正常工作的概率pA=pB=pC=pD=pE=0.8，求該無向網(wǎng)絡系統(tǒng)的可靠度。

解由以上分析，該無向網(wǎng)絡輸入、輸出節(jié)點之間有四條最小路：AB，CD，AED，CEB，所以有圖3－24無向橋形網(wǎng)絡

同樣，對圖3－25(b)網(wǎng)絡中n條弧的并聯(lián)結(jié)構(gòu)也可用一條等價弧來代替，此時，則

上式中qi=1-pi，i=1，2，…，n。圖3－25串、并聯(lián)簡化

2.無向網(wǎng)絡的貝葉斯分解法

貝葉斯定理即是利用驗前概率和條件概率來求驗后概率。貝葉斯分解方法可以把非串、并聯(lián)網(wǎng)絡分解轉(zhuǎn)化為若干個互不相容的串、并聯(lián)網(wǎng)絡，以此求得系統(tǒng)的可靠度。這樣一來，求解非串、并聯(lián)復雜系統(tǒng)的可靠度就轉(zhuǎn)化為求串、并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度了。此方法的關(guān)鍵是選取某些單元，在對這些單元做出可靠或失效處理后，進行逐步簡化。

下面討論二終端無向網(wǎng)絡G。x是G的任一弧，用x或

表示該弧正?；蚴В扇怕使降镁W(wǎng)絡系統(tǒng)s的可靠度為

（3－48）式中：P{s|x}為在x正常的條件下，網(wǎng)絡系統(tǒng)G正常工作的條件概率；為在x失效條件下，網(wǎng)絡系統(tǒng)正常工作的條件概率。

用G(x)記G中把x弧兩端節(jié)點合二為一后所得的子網(wǎng)絡，記為G中去掉x弧后所得的子網(wǎng)絡，故可得

所以網(wǎng)絡系統(tǒng)的可靠度可寫為

式中：px=P{x}表示弧x正常的概率，px+qs=1。（3－49）

例3-12

如圖3-26，給定無向網(wǎng)絡G。1，2分別為輸入、輸出節(jié)點，a，b，…，h表示弧。試對此無向網(wǎng)絡進行簡化分解。

解（1）選e弧進行分解。如圖3-27，相應的子網(wǎng)絡G(e)，

如圖3-27(a)和(c)所示。對G(e)進行串、并聯(lián)簡化，如圖3-27(b)所示，故系統(tǒng)可靠度為

圖3－26