江蘇省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)講義03：指數(shù)與對數(shù)部分

2024-2025學(xué)年度江蘇省高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)--指數(shù)與對數(shù)部分一、指數(shù)及其運(yùn)算1、根式的概念及性質(zhì)（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．（2）性質(zhì)：①(且)；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①；②；③.4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)二、對數(shù)及其運(yùn)算1．對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．2．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.(2)對數(shù)的性質(zhì)①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、單選題1．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）若實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）若，，則下列答案不正確的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·江蘇鹽城·期末）我們知道，任何一個(gè)正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示成（為正整數(shù)），此時(shí)，當(dāng)時(shí)，稱的位數(shù)是.根據(jù)以上信息可知的位數(shù)是（

）（）A．27 B．28 C．29 D．305．（22-23高一上·江蘇南通·期末）設(shè)，則（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·江蘇南京·期中）我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，是位數(shù)，則是（

）位數(shù)（參考數(shù)據(jù)：，）A．14 B．15 C．55 D．567．（22-23高一上·江蘇無錫·期末）設(shè)，計(jì)算機(jī)程序中用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為取整函數(shù)．例如；．已知函數(shù)，其中，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）人類是數(shù)據(jù)的創(chuàng)造者和使用者，自結(jié)繩記事起，它就已慢慢產(chǎn)生，隨著計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)的廣泛應(yīng)用，人類產(chǎn)生創(chuàng)造的數(shù)據(jù)量呈爆炸式增長，中國已成為全球數(shù)據(jù)總量最大、數(shù)據(jù)類型最豐富的國家之一，人類采集、存儲和處理數(shù)據(jù)能力大幅提升，使數(shù)據(jù)應(yīng)用滲透到我們生活中的每個(gè)角落．目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從級別躍升到，乃至級別．國際數(shù)據(jù)公司的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為，2010年增長到．若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與年份的關(guān)系為，其中均是正的常數(shù)，則2024年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2023年的（

）倍．A．0.5 B．2.25 C．1.5 D．15二、多選題9．（22-23高一上·福建廈門·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若，，且，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．11．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）若時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)可取下面哪些值（

）A． B． C． D．三、填空題12．（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）已知，，則.（用數(shù)字作答）13．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）設(shè)，則（用來表示．）14．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）設(shè)為正實(shí)數(shù)，，，則．四、解答題15．（23-24高一上·江蘇南京·期末）（1）已知，求的值；（2）求值：.16．（23-24高一上·江蘇常州·期末）（1）計(jì)算：；（2）已知，計(jì)算的值并證明．17．（24-25高一上·江蘇連云港·期中）（1）求值：；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.18．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）（1）計(jì)算：；（2）因式分解：；（3）已知，，，，求的值.19．（24-25高一上·江蘇徐州·期中）我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都可以表示成．當(dāng)時(shí)，記的整數(shù)部分的位數(shù)為，例如；當(dāng)時(shí)，記的非有效數(shù)字的個(gè)數(shù)為，例如．(1)求，，并寫出的表達(dá)式（不必寫出過程）；(2)若，且取，求以及；(3)已知，猜想：與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

參考答案：1．B【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，對所求式子平方后即可求解.【詳解】由，可得.故選：B.2．A【分析】把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，利用對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，，由換底公式得：，.所以.故選：A3．C【分析】根據(jù)題意，，，結(jié)合對數(shù)性質(zhì)，基本不等式，指數(shù)性質(zhì)判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】依題意，，所以，.對于A，，A正確.對于B，，B正確.對于C，，C錯(cuò)誤.對于D，，，,所以，D正確.故選：C.4．C【分析】通過求，根據(jù)已知估值計(jì)算即可求解．【詳解】，則的位數(shù)是是．故選：C．5．A【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以有，由，因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)椋?，因此，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)等式的形式構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.6．B【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】，所以是15位數(shù).故選：B7．B【分析】化簡，令，，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域，根據(jù)定義求函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B.8．C【分析】根據(jù)題意數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，然后利用指數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意，，，又，解得，.所以2024年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2023年的倍.故選：C.9．BCD【分析】運(yùn)用冪的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之間的內(nèi)在聯(lián)系即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，對于A選項(xiàng)，由，可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由，又，所以，則，故C項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，因故D項(xiàng)正確.故選：BCD.10．BD【分析】根據(jù)指數(shù)冪、對數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A：，故錯(cuò)誤；對于B：，正確；對于C：，故錯(cuò)誤；對于D：，正確.故選：BD11．BC【分析】由排除法和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對各個(gè)選項(xiàng)一一判斷可得正確答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，不等式不恒成立，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不等式即為，當(dāng)，，時(shí)，原不等式恒成立；時(shí)，原不等式恒成立，故B正確；當(dāng)時(shí)，不等式即為，當(dāng)，，時(shí)，原不等式恒成立；時(shí)，原不等式恒成立，故C正確；當(dāng)時(shí)，不等式即為，當(dāng)時(shí)，，，原不等式不恒成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)舉例解決不等式恒成立問題，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用．12．45【分析】利用指對數(shù)互化和指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】由，可得，又，則.故答案為：45.13．【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)樗?，，兩式相減可得：，解得：，.故答案為：14．/0.5【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)一步變形為，再利用基本不等式得，從而得，解出的值，代入即可求解.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，，則，即，，故，因?yàn)?，所以，又，，則由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.綜上，，則，解得，則.故答案為：.15．（1）；（2）4【分析】（1）將平方，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算，即可得答案；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求得答案.【詳解】（1）由于，則，故，因?yàn)?，所?（2）.16．（1）2（2）；證明見解析【分析】（1）結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化及對數(shù)的換底公式可求，然后結(jié)合基本不等式即可求證.【詳解】（1）（2）因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?，所以，且，所以，?17．（1），（2）1，（3）【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算化簡求解；（2）將指數(shù)式化成對數(shù)式得，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算求解；（3）將平方求得，再利用立方和公式化簡求解.【詳解】（1）．（2）依題意有，所以，所以．（3）因?yàn)?，設(shè)，平方得，即．．18．（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，及分母有理化與根式的化簡可求值；（2）利用十字相乘法可因式分解；（3）由已知可求得，利用立方和因式分解可求值.【詳解】（1）（2）；（3