廣西全州縣某中學(xué)2024年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

廣西全州縣二中2024年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.定義在二上的函數(shù)二二二：二滿足二:二三二二T,且二二二，二十二為奇函數(shù)，則二二二(二的圖象可能是()

2.已知函數(shù)/(x)=lnx+】n(3-x),則()

A.函數(shù)在(0,3)上單調(diào)遞增B.函數(shù)/⑴在(0,3)上單調(diào)遞減

33)

C.函數(shù)圖像關(guān)于.1二不對稱D.函數(shù)/*)圖像關(guān)于:,0對稱

2、2)

4.已知數(shù)列｛可｝是公比為2的正項等比數(shù)列，若%、%滿足2%＜冊＜1024%,則(加一if+〃的最小值為()

A.3B.5C.6D.10

5.已知函數(shù)〃x)=lnx,g(x)=(2〃z+3)x+〃，若V式￡((),+<?)總有/(x)Wg(x)恒成立.記(2機(jī)+3)〃的最小值

為F(肛n),則的最大值為()

111

A.1B.—C.~rD.-r

6.已知函數(shù)〃#=半二.下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；②函數(shù)八x）是周期函數(shù)；③當(dāng)x=g時,

x~+\2

函數(shù)/（X）取最大值；④函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=’的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）

x

A.0@B.②@C.①③④D.①②④

7.直線干-十、7_（經(jīng)過橢圓.；■:的左焦點口,交橢圓于--兩點，交-軸于一點，若

-、'「三+2（二＞二＞0）”MeUUU

三］一二三,則該橢圓的離心率是（）

A-V3-JB.邑C.入7TD?

8.復(fù)數(shù)2=（2+，）（1+。的共粗復(fù)數(shù)為（）

A.3-3/B.3+3iC.1+3/D.1-3/

9.已知拋物線C:V=4），,過拋物線C上兩點AB分別作拋物線的兩條切線PAPB,P為兩切線的交點O為坐標(biāo)原點

若PA.PB=0,則直線OA與OB的斜率之積為（）

1.1

A.一一B.-3C.一一D.-4

48

10.己知復(fù)數(shù)z=（l+i）（3—i）（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.2B.2/C,4D.4/

x>l

11.已知實數(shù)乂》滿足線性約束條件x+yN(),則包的取值范圍為(

)

x-^+2>0

A.(-2,-1]B.(-1,4]C.1-2,4)D.[0,4J

12.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（l+i）（2+i）,則其共規(guī)復(fù)數(shù)』=（）

A.1+3/B.l-3zC.-1+3/D.-l-3z

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

412

13.在「.AbC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是。，b,c,^cos?=-,cosC=—,b=l,則。=_________.

513

14.古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有種.（用數(shù)字作

答）

22

15.已知"，居為雙曲線。:=-2=1（"0力＞0）的左、右焦點，過點”作直線/與圓％2+丁2=〃2相切于點A,且

ab~

與雙曲線的右支相交于點若A是5G上的一個靠近點寫的三等分點，且忸工|二10,則四邊形AO&8的面積為

16.正方體ABC。-44GR的棱長為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的

弦），尸為正方體表面上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，尸的取值范圍是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）新高考，取消文理科，實行“3+3”，成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中

學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人（把年齡在［15,45）稱為

中青年，年齡在［45,75）稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表:

年齡（歲）[15,25)[25,35)135,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數(shù)515101055

了解4126521

（1）分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率;

（2）請根據(jù)上表完成下面2x2列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)?

了解新高考不了解新高考總計

中青年

中老年

總計

n(ad-be)2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

（3）若從年齡在155,65）的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為X,求X的分

布列以及E（X）.

18.（12分）在&A8c中，角A3,C的對邊分別為a,,且滿足csinA二asin（c+方）.

（I）求角C的大小；

（II）若aABC的面積為班，a-b=\,求。和cos（2A-C）的值.

19.（12分）在如圖所示的多面體中，四邊形/1AEG是矩形，梯形ZX7"為直角梯形，平面/9G即J_平面人AEG,

且DG1GE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2,

（1）求證：尸6_1平面8底廠.

（2）求二面角A-M-E的大小.

20.（12分）已知。，b,c分別是AA8c三個內(nèi)角A,B,C的對邊，acosC+>/3csmA=b-c-

（1）求A;

（2）若a=〃+c=3,求b,c,

21.（12分）已知橢圓C:二+匚=1（。>〃>0）的焦點為6,居，離心率為!，點尸為橢圓。上一動點，且△P/茁,

a-b-2

的面積最大值為有，。為坐標(biāo)原點.

（1）求橢圓。的方程；

⑵設(shè)點M（%，x）,Nd，%）為橢圓C上的兩個動點，當(dāng)不用+）'出為多少時，點O到直線MN的距離為定值.

22.（10分）已知橢圓提+/=］（a〉b>0）,上、下頂點分別是4、B,上、下焦點分別是月、人,焦距為2,

點（白，「在橢圓上.

/

(1)求橢圓的方程；

(2)若Q為橢圓上異于A、8的動點，過A作與X軸平行的直線/,直線。3與/交于點s,直線尼s與直線A。交

于點尸，判斷NSPQ是否為定值，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)二二二二十二為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于｛上7中心對稱，排除二二計算二二,導(dǎo)1三、：排除二得到答案.

【詳解】

二二二二十二為奇函數(shù)，即匚'匚+.；二-二〔一二+函數(shù)關(guān)于中心對稱，排除二二

二-2排除二

故選：二

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關(guān)于..二中心對稱是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解析】

3

依題意可得了(3-X)=/(R),即函數(shù)圖像關(guān)于x=5對稱，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;

【詳解】

解：由/(3-x)=ln(3-x)+ln[3-(3-x)]=ln(3-#+lnx=f(x),

.-./(3-x)=/a),所以函數(shù)圖像關(guān)于x=3對稱,

又K3一1…2x-一33)

,/*)在(0,3)上不單調(diào).

故正確的只有C

故選：c

【點睛】

本題考查函數(shù)的對稱性的判定，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

根據(jù)x<0,/(x)>0,可排除A。，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：。<0,

所以當(dāng)x<0時，/(x)>0,

又/(%)=，+4,

4/(x)>o,則X

令(x)v0,則x<ln(-?)

所以函數(shù)/(x)在(TO,ln(-〃))單調(diào)遞減

在(ln(-a),+8)單調(diào)遞增，

故選：B

【點睛】

本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：(1)定義域；(2)奇偶性；(3)特殊值；(4)單調(diào)性；(5)值域，屬

基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)嘉的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得1io再根據(jù)此范圍求(〃Liy+〃的

最小值.

【詳解】

數(shù)列｛%｝是公比為2的正項等比數(shù)列，4”、/滿足2%v%fvlO24a“，

由等比數(shù)列的通項公式得2q-2"T<4?2恒vl024q?2"T,即2〃<2g<2,,+9?

.2<2時”<3°,可得1<加一〃<10,且根、〃都是正整數(shù)，

求(利—if十〃的最小值即求在1<5—〃<10,且小、〃都是正整數(shù)范圍下求〃7—1最小值和〃的最小值，討論機(jī)、〃

取值.

..?當(dāng)〃7=3且〃=1時，（m―1）2+〃的最小值為（3—1）2+1=5.

故選：B.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)塞的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思

想，是中等題.

5、C

【解析】

根據(jù)VXE（O,E）總有恒成立可構(gòu)造函數(shù)/2（力=11巾-（26+3卜一〃,求導(dǎo)后分情況討論/小）的最大

值可得最大值最大值h|1=-ln（2m+3）-1一〃，

\2/w+3J

即—ln（2m+3）—,根據(jù)題意化簡可得（2〃？卜3）九二（2利卜3）［In（2/??+3）1］,求得

尸（〃?,〃）=（2機(jī)+3）［—皿2機(jī)+3）-1］,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.

【詳解】

由題,VXG（0,+OO）總有l(wèi)nxK（2〃z+3）x+〃即lnx-（2/「+3）x-恒成立.

設(shè)〃（司二111%一（2m+3）1一凡則/?（到的最大值小于等于0.

又〃（X）,-（2M+3）,

若2〃?+3<0貝〃2'（力>。,力（力在（0,+8）上單調(diào)遞增，力（力無最大值.

若2m+3>0,則當(dāng)x>有片時,〃。）<0,〃（另在（景？+8）上單調(diào)遞減，

I（?>

不時,）〉心）在［。，爾）上單調(diào)遞增.

當(dāng)0<x<g0,

故在"=/處用力取得最大值七總H上Tii⑵"3）T-〃?

故一In（2m+3）-1一〃<0,化簡得（2加+3）〃>（2m+3）［-In（2/??+3）-1］.

故77（〃7,〃）=（2〃2+3）［-11］（2根+3）-1］,令，=2〃2+3,（/>0）,可令人（1）=一/0111+1）,

故K（.）=-Inf-2,當(dāng)/>1吐K⑺<0陽，）在佶,+oo］遞減；

當(dāng)0<f<4■時,K⑺>0風(fēng))在e，；］遞增.

I1\吟+1二

故在/=三處/2(。取得極大值，為％-=

故F^m,ri)的最大值為/■.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍，再分析函數(shù)的最值，進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造

函數(shù)求解(2m+3)〃的最大值.屬于難題.

6、A

【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤：函數(shù)定義域為R,最值點即為極值點，由

知③錯誤；令g(x)=/(x)-L在x〉0和x<0兩種情況下知g(1)均無零點，知④正確.

X

【詳解】

由題意得：/(力定義域為R,

sin(r)sinx

(一)2+［八］--/(-V),.?./(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，①正確;

?「y=sinx為周期函數(shù)，)，二d+1不是周期函數(shù)，.?"(X)不是周期函數(shù)，②錯誤;

(x2+l)cosx-2.rsinx

/'HJHO，,71不是最值，③錯誤;

(叫22)

1sinx-x--

令/、/、1sinx1x?

xx2+l

當(dāng)x>0時，sinx<x,—>0,.,.g(x)<0,此時/(式)與y=，無交點;

X八

當(dāng)x<0時，sinx>x?—<0,(x)>0,此時/(x)與y」無交點;

XX

綜上所述：與y=g無交點，④正確.

故選：A-

【點睛】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的

求解；本題綜合性較強(qiáng)，對于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.

7、A

【解析】

由直線匚_、三二4、1=5過橢圓的左焦點二，得到左焦點為二一、三5,且二?_：：?==，

再由元=而已求得一代入橢圓的方程，求得.」進(jìn)而利用橢圓的離心率的計算公式，即可求解.

￥=號

【詳解】

由題意，直線二一、M二.白=二經(jīng)過橢圓的左焦點二，令二二?解得二=

所以二=即橢圓的左焦點為二.6.0），且二?一二：=二①

直線交二軸于口（0.）所以，二?二1|二二|二..|二二=?

因為所以二二=$，所以-,2

又由點-在橢圓上，得.。②

WVV

由二二，可得J二:一刀二；+9=?解得_：=經(jīng)時

所%=3=品=?-初=（6-1?

所以橢圓的離心率為二=\?_7.

故選A.

【點睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率（或范圍），常見有兩種方法：①求出二二，代入

公式②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于二-二的齊次式，轉(zhuǎn)化為二二的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于二的方程，即可

n=H

得二的值（范圍）.

8、D

【解析】

直接相乘，得1+33由共匏復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果

【詳解】

Vz=(2+z)(l+0=l+3Z

，其共枕復(fù)數(shù)為1一3九

故選：D

【點睛】

熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共挽復(fù)數(shù)的性質(zhì).

9、A

【解析】

設(shè)出A,3的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過A,B的切線的斜率，結(jié)合PA.P8=0,可得工d2=-1.再寫出0408所在

直線的斜率，作積得答案.

【詳解】

22

解：設(shè)4(用,工)，B(“日匚)，

14-4

由拋物線C：必=1/得y=則y，=gx.

??kAP——X,,kPB——x2,

由2VPA=0,可得;%占二-1，即XIX2=T.

又％=今，*吟,

.內(nèi)為一41

??%?"『正一"

故選：A.

點睛：(1)本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌

握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點，先設(shè)

A(2a,a2),B(2〃,〃)，標(biāo)b，再求切線PA,PB方程，

求點P坐標(biāo)，再根據(jù)PAP8=0得到必=-1，最后求直線04與03的斜率之積.如果先設(shè)點P的坐標(biāo)，計算量就大一

些.

10、A

【解析】

對復(fù)數(shù)z進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計算得到z=4+2i,從而得到虛部為2.

【詳解】

因為z=(l+i)(3—i)=4+2i,所以z的虛部為2.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計算過程要注意f二一1.

11、B

【解析】

作出可行域，包表示可行域內(nèi)點尸(％)，)與定點連線斜率，觀察可行域可得最小值.

X

【詳解】

作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)，區(qū)表示可行域內(nèi)點P(x,y)與定點連線斜率，A(L3),

x

ZQA=W?=4,過。與直線x+y=O平行的直線斜率為-1,???TV%PQ?4.

1—0

故選：B.

【點睛】

本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題山表示動點P(x,y)與定點

x

連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.

12、B

【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算出z,然后再根據(jù)共枕復(fù)數(shù)的概念直接寫出之即可.

【詳解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以其共扼復(fù)數(shù)1二i—3i.

故選：B.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共挽復(fù)數(shù)的概念，難度較易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

⑶史

39

【解析】

先求得sinasinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得。的值.

【詳解】

由于cosB=±cosC="，所以sin8=川-cos?B=3,sinC=Jl-cos?C=』,所以

513513

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=—x—+—x—=—.由正弦定理得

51351365

b56

Q56

=n635

s1?nAS1?B-

1*539

故答案為：—

39

【點睛】

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和

定理，屬于中檔題.

14、1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5x2xlxlxl=l.

考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題.

點評：本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景，利用分

步原理正確計數(shù)，本題較抽象，計數(shù)時要考慮周詳.

15、60

【解析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得忸制=3"忻用=2c?與忸段=3〃-2a,再在△即工中油余弦定理求解得

1。

-=y，繼而得到各邊的長度,再根據(jù)跖吻形=5+S2計算求解即可.

ClNAOB

【詳解】

如圖所示：設(shè)雙曲線C的半焦距為

因為。A|=*AK1OA,|O用=c,所以由勾股定理，得|A周二昭=7二〃.

所以cos/A"O=—.

因為A是8"上一個靠近點”的三等分點，。是片,鳥的中點，所以忸制=3〃,忻用=2c.

由雙曲線的定義可知：忸用一怛用二2%所以忸聞=3人一2生

在△此行中，由余弦定理可得忸用2=9b2+4/—2x3〃x2cxcosZAFp

=9b2+4c2-2x3Z?x2cx-=4c2-3",所以(3人一2a)2=4c2-3b°，整理可得-=

ca2

353

所以忸用二3〃-2a=3x]〃-24=/4=1(),解得0=4.所以〃=于=6.

632

則c=V42+62=2V13?則cosNA￡°=彳=-^-J==-J=，得sin=-j=.

2二36

則agOB的底邊Og上的高為〃=忸耳卜inNA"O=I8x

713-713

所以S四邊形八平8=S.AOB+S.F0B~2IA8|l401+51061〃

故答案為：60

【點睛】

本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法，需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度，再

在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量凡Ac的關(guān)系.屬于難題.

16、ro.2]

【解析】

由弦MN的長度最大可知A7N為球的直徑.由向量的線性運(yùn)用尸0表示出PM?PN，即可由PO范圍求得PM-PN

的取值范圍.

【詳解】

連接P0,如下圖所示:

設(shè)球心為。，則當(dāng)弦MN的長度最大時，MN為球的直徑，

由向量線性運(yùn)算可知

PM.PN=(PO+OM+ON)

=PO2+POON+OMPO+OM?ON

=P02+PO(ON+OM)+OMON

正方體ABC?！狝MGQ的棱長為2,則球的半徑為1,ON+OM=OQMON-1,

所以PO'+PO(ON+OM)+O/ON

=PO'-\，

而忸0k[1,6

所以。。：1￡[0,21

即PM.PN?(),2]

故答案為：[0,2].

【點睛】

本題考查了空間向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)P=~；(2)見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián)；(3)分布列見解析,

E(X)<.

**

【解析】

(1)分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數(shù)，即可求出概率；

(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出K?的觀測值，對照表格，即可得出結(jié)論；

(3)年齡在［55,65)的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，X可能取值為0,1,2,分別求出概率，列出隨

機(jī)變量分布列，根據(jù)期望公式即可求解.

【詳解】

2211

(1)由題中數(shù)據(jù)可知，中青年對新高考了解的概率。=4=百，

Q7

中老年對新高考了解的概率2=磊=￡.

(2)2x2列聯(lián)表如圖所示

了解新高考不了解新高考總計

中青年22830

老年81220

總計302050

“250x(22x12-8x8)2

K"=----------------------------?5.56>3.841,

30x20x20x30

所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).

(3)年齡在［55,65)的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人,

則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)X可能取值為0,1，2,

則P(x=o)=^?=p(x=\)=^-=—=-；

Cl1()C；105

P(X=2)=-ffl=-.

C；10

所以X的分布列為

X012

133

P

105lo

336

E(X)=Ox—4lx-+2x—=

105105

【點睛】

本題考查概率、獨立性檢驗及隨機(jī)變量分布列和期望，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18、(I)p(II)c=舊，cos(2A-C)q.

【解析】

(I)運(yùn)用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡csinA=〃sin(C+g｝即可求出角。的大小;

(II)通過面積公式和a-b=\,可以求出〃這樣用余弦定理可以求出用余弦定理求出cosA,根據(jù)同角的

三角函數(shù)關(guān)系，可以求出sinA,這樣可以求出sin2A,cos2A,最后利用二角差的余弦公式求出cos(2A-C)的值.

【詳解】

(I)由正弦定理可知：，一二，一，己知csinA=asinfc+M，所以

smAsinCv37

sinCsinA=sinA?(sinC?cos—+cosC-siny),Ae(0,^-)/.sinAH0,

所以有sinC=J5cosc'ntanC=nC=巴.

3

(II)5=—6/Z?-sinC=3^3=>ab=\2,a-b=\=><°4,由余弦定理可知：

2[b=3

c2=a2+Z?2-lab-cosC=13=>c=V13,cosA="十°———=nsinA=Vl-cos2A=火電

2bc1313

sin2A-2sinAcosA=4石,cos2A_2cos2A—1=——

1313

UxL更x且

cos(24-C)=cos2A-cosC+sin24sinC=

13213226

【點睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了運(yùn)算

能力.

19、(1)見解析；(2)—

【解析】

(1)根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì)，可證明BEA.FG；由所給線段關(guān)系，結(jié)合勾股定理逆定理,可證明FEA.FG,

進(jìn)而由線面垂直的判定定理證明FG_L平面BEF.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并求得平面A所和平面EF8的法向量，由空間向量法求得兩個平面

夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可求得二面角A-M-E的大小.

【詳解】

(D證明：???平面平面A8EG,且BEtGE,

:.BE1平面DGEF，

:.BELFG,

由題意可得FG=FE=血,

:.FG2+FE2=GE2,

VFEA.FG,且FEcBE=E，

???依工平面應(yīng)產(chǎn).

⑵如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,0),50,2,0),E(0,20),尸(0,1,1),M=FB=(1,1,-1),

FE=(O,l,-l).

設(shè)平面AFB的法向量是〃=(玉，x,4),

則<二><，，，=><,

FBn=0[x[+y\-z,=0[y=（）

令X=l,〃=（l,0,l）,

由（1）可知平面EFB的法向量是〃7=6/=（0,1,1）,

—

/.cos</7,m>=

由圖可知，二面角A-BF-E'為鈍二面角，所以二面角的大小為彳.

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定，面面垂直及線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，空間向量法求二面角的大小，屬于中檔題.

20、(1)y；(2)b=\,c=2或b=2,c=\.

【解析】

(1)利用正弦定理，轉(zhuǎn)化原式為sinAcosC+J5sinCsin八=sin4+sinC，結(jié)合A—C,可得

sin(A-訃g,即得解；

(2)由余弦定理—26ccosA,結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可得解

【詳解】

(1)由ocosC+JicsinA=Z?+c及王弦定理得

sinAcosC+V3sinCsinA=sinB+sinC.

因為4="一A-C,所以sin3=sinAcosC+cosAsinC,代入上式并化簡得

V3sinCsinA=cosAsinC+sinC?

由于sinCwO,所以sin(A-?)=g.

7T

又0cA<〃，故4=一.

3

(2)因為〃=百，〃+c=3,A=—t

3

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos舊即3=(b+c)2-2bc-bc=9-3bc,

所以收、=2.

而8+c=3,

所以〃，。為一元二次方程f一3了+2=0的兩根.

所以〃=1,c=2或b=2,c=\.

【點睛】

本題考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

21、(1)—+^-=1；(2)當(dāng)%居+%%=0時，點。到直線MN的距離為定值2亙.

437

【解析】

(D△產(chǎn)片鳥的面積最大時，P是短軸端點，由此可得兒=JL再由離心率及/=^+c2可得從而得橢圓

方程；

(2)在直線MN斜率存在時，設(shè)其方程為)，=丘+機(jī)，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()D后應(yīng)用韋達(dá)定理得力+%，工/2,

注意/>0,一是計算玉々+y)’2,二是計算原點到直線MN的距離，兩者比較可得結(jié)論.

【詳解】

(1)因為尸在橢圓上，當(dāng)?是短軸端點時，2到x軸距離最大，此時△尸耳工面積最大，所以gx2cx/?=8c=G,

bc=C

a=2

cI,解得卜=6,

由1廠5

c=1

a2=b2+c

22

所以橢圓方程為二十匕=1.

43

"?in2

(2)在X。樂時，設(shè)直線MN方程為y=4+，〃，原點到此直線的距離為4=J?,即小二」」

Jl+公l+k2

y=b+m

22

由《xy,得(3+4-)％2+8加a+4〃?2-12=0,

—+