2025年人教版高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年人教版高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷848考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知△ABC中；AB=4，AC=3，∠BAC=60°，則BC=（）

A.

B.13

C.5

D.10

2、已知角α的余弦線是單位長度的有向線段；那么α的終邊（）

A.在x軸上。

B.在直線y=x上。

C.在y軸上。

D.在直y=x或y=-x上。

3、已知向量=（a，﹣2），=（1，1﹣a），=（a，0），且⊥（﹣），則實(shí)數(shù)a=（）A.1B.0或1C.3D.0或34、閱讀如圖所示的算法框圖；輸出的結(jié)果S的值為（）

A.B.C.D.5、函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ǎ〢.（-1，+∞）B.（-1，3）C.（3，+∞）D.[3，+∞）6、已知集合U={1,2,3,4,5}A={1,2,3}B={2,5}

則A隆脡(?UB)=(

)

A.{2}

B.{2,3}

C.{3}

D.{1,3}

7、若sin婁脕=鈭?513

且婁脕

為第三象限角，則tan婁脕

的值等于(

)

A.125

B.鈭?125

C.512

D.鈭?512

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)8、Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C是α外一點(diǎn)，AC、BC與α所成角分別為30°和45°．則平面ABC與α所成銳角為____．9、下表給出一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”滿足每一列成等差數(shù)列，從第三行起，每一行成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，記第i行，第j列的數(shù)為aij（i≥j，i，j∈N*），則a84等于____．

10、【題文】已知集合A＝{x|33－x<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，則A∩B＝________．11、【題文】對于函數(shù)存在區(qū)間當(dāng)時(shí)，則稱為倍值函數(shù)。已知是倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．12、【題文】已知為上的奇函數(shù)，且若則13、已知函數(shù)y=kcos（kx）在區(qū)間單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．評卷人得分三、計(jì)算題(共8題，共16分)14、己知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根，則p=____，q=____．15、文昌某校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長到三亞進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐；為了便于管理，所有人員必須乘坐在同一列火車上；根據(jù)報(bào)名人數(shù)，若都買一等座單程火車票需17010元，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則需11220元；已知學(xué)生家長與教師的人數(shù)之比為2：1，文昌到三亞的火車票價(jià)格（部分）如下表所示：

。運(yùn)行區(qū)間公布票價(jià)學(xué)生票上車站下車站一等座二等座二等座文昌三亞81（元）68（元）51（元）（1）參加社會(huì)實(shí)踐的老師；家長與學(xué)生各有多少人？

（2）由于各種原因；二等座火車票單程只能買x張（x小于參加社會(huì)實(shí)踐的人數(shù)），其余的須買一等座火車票，在保證每位參與人員都有座位坐的前提下，請你設(shè)計(jì)最經(jīng)濟(jì)的購票方案，并寫出購買火車票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）請你做一個(gè)預(yù)算，按第（2）小題中的購票方案，購買一個(gè)單程火車票至少要花多少錢？最多要花多少錢？16、已知拋物線y=2x2-4x-1

（1）求當(dāng)x為何值時(shí)y取最小值；且最小值是多少？

（2）這個(gè)拋物線交x軸于點(diǎn)（x1，0），（x2，0），求值：

（3）將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度后，所得二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，請你直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．17、若⊙O和⊙O′相外切，它們的半徑分別為8和3，則圓心距OO′為____．18、設(shè)，c2-5ac+6a2=0，則e=____．19、等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是互不相等的實(shí)數(shù)，則的值是____．20、已知關(guān)于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．

（1）求k的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．21、設(shè)集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，求集合B．評卷人得分四、解答題(共2題，共16分)22、（14分）病人按規(guī)定的劑量服用某藥物，測得服藥后，每毫升血液中含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）滿足：前1小時(shí)內(nèi)成正比例遞增，1小時(shí)后按指數(shù)型函數(shù)（為常數(shù)）衰減．如圖是病人按規(guī)定的劑量服用該藥物后，每毫升血液中藥物含量隨時(shí)間變化的曲線．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知每毫升血液中含藥量不低于0.5毫克時(shí)有治療效果，低于0.5毫克時(shí)無治療效果．求病人一次服藥后的有效治療時(shí)間為多少小時(shí)？23、【題文】如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點(diǎn)．

(1)求證：AB1⊥面A1BD；

(2)求二面角A－A1D－B的正弦值；

評卷人得分五、作圖題(共1題，共8分)24、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．評卷人得分六、證明題(共3題，共9分)25、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．26、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G．求證：AD⊥BF．27、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G．求證：AD⊥BF．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、A【分析】

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB?ACCosA

=16+9-2×3×4cos60°=13

∴

故選A

【解析】【答案】由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB?ACCosA代入可求BC

2、A【分析】

在單位園中；由于正弦線和余弦線的長度的平方和等于1，角α的余弦線是單位長度的有向線段；

故α的終邊在x軸上；

故選A．

【解析】【答案】根據(jù)正弦線和余弦線的長度的平方和等于1；而角α的余弦線是單位長度的有向線段，故α的終邊在x軸上．

3、B【分析】【解答】解：∵向量=（a，﹣2），=（1；1﹣a）；

∴﹣=（a﹣1；a﹣3）；

∵=（a，0），且⊥（﹣）；

∴?（﹣）=a（a﹣1）=0；

解得a=0或a=1

故選：B．

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的垂直計(jì)算即可．4、A【分析】【分析】程序框圖；三角函數(shù)的周期.

【解答】退出循環(huán)體時(shí)n=2012,所以

因?yàn)?/p>

所以S=選A。

【點(diǎn)評】確定退出循環(huán)體時(shí)n=2012是解題的關(guān)鍵，研究出從而知道具有周期性是解此題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).5、C【分析】解：由解得x＞3．

∴函數(shù)y=的定義域?yàn)椋?；+∞）．

故選：C．

由對數(shù)式的真數(shù)大于0；分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0聯(lián)立不等式組得答案．

本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了指數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．【解析】【答案】C6、D【分析】解：隆脽U={1,2,3,4,5}B={2,5}

隆脿CUB={1,3,4}

隆脽A={3,1,2}

隆脿A隆脡(CUB)={1,3}

故選D．

由題意全集U={1,2,3,4,5}B={2,5}

可以求出集合CUB

然后根據(jù)交集的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．

此題主要考查集合和交集的定義及其運(yùn)算法則，是一道比較基礎(chǔ)的題．【解析】D

7、C【分析】解：隆脽sin婁脕=鈭?513

且婁脕

為第三象限角，隆脿cos婁脕=鈭?1鈭?sin2婁脕=鈭?1213

則tan婁脕=sin婁脕cos偽=512

故選：C

．

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號，求得tan婁脕

的值．

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號.

屬于基礎(chǔ)題．【解析】C

二、填空題(共6題，共12分)8、略

【分析】

過點(diǎn)C做CD垂直平面α；CE垂直AB，連接AD，BD，CE，DE

設(shè)CD=h；如圖所示：

∴平面ABC和平面α所成二面角為∠CED；

∵AC；BC與α所成角分別為30°和45°；

易得∠CED=60°；∠CAD=45°

則AC=2h，BC=

Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi)，∴AB=

∵BC?AC=AB?CE得：

CE==

故sin∠CED==．

故平面ABC與α所成銳角為∠CED=60°．

故答案為：60°．

【解析】【答案】過點(diǎn)C做CD垂直平面a；CE垂直AB，連接AD，BD，CE，DE，說明平面ABC和平面a所成二面角為∠CED，根據(jù)AC；BC與α所成角分別為30°和45°求出AC，BC，結(jié)合直角三角形兩直角邊之積等于斜邊與斜邊上高，求出CE，然后求出平面ABC與α所成銳角．

9、略

【分析】

第一列公差d=-=

第8行第一個(gè)+×（8-1）=2

每一行的公比是=

所以a84=2×=

故答案為：．

【解析】【答案】先根據(jù)題意求得第一列的公差；進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得第8行第一個(gè)數(shù)，根據(jù)同一行上的數(shù)求得每一行的公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．

10、略

【分析】【解析】由33－x<6，知3－x36，即x>3－log36；

所以A＝(2－log32；＋∞)．

由lg(x－1)<1，知0<10，即1<11；

所以B＝(1，11)，所以A∩B＝(2－log32，11)．【解析】【答案】(2－log32，11)11、略

【分析】【解析】根據(jù)新的定義可知當(dāng)變量給定時(shí)，那么對應(yīng)的值域就是確定的，并且最大值和最小值時(shí)自變量的最大值和最小值的k倍，那么根據(jù)這一點(diǎn)設(shè)出函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，并分析單調(diào)性得到實(shí)數(shù)k的范圍是k>e+1.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：當(dāng)k＞0時(shí)，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得≤x≤+m∈Z；

∵函數(shù)y=kcos（kx）在區(qū)間單調(diào)遞減；

∴解得m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．

當(dāng)k＜0時(shí)，令-π+2mπ≤-kx≤2mπ，解得-≤x≤-m∈Z；

∵函數(shù)y=kcos（kx）在區(qū)間單調(diào)遞減；

∴解得m∈Z，∴-6≤k≤-4，或k=-12；

綜上；k的取值范圍是[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．

故答案為：[-6；-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．

對k的符號進(jìn)行討論，利用符合函數(shù)的單調(diào)性及余弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求出f（x）的減區(qū)間，令區(qū)間為f（x）單調(diào)減區(qū)間的子集解出k的范圍．

本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論思想，屬于中檔題．【解析】[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}三、計(jì)算題(共8題，共16分)14、略

【分析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求得設(shè)方程x2-x-1=0的二根分別為x1、x2，由韋達(dá)定理，得x1+x2=1，x1?x2=-1；然后將x1、x2分別代入方程x6-px2+q=0列出方程組，再通過解方程組求得pq的值．【解析】【解答】解：設(shè)方程x2-x-1=0的二根分別為x1、x2，由韋達(dá)定理，得x1+x2=1，x1?x2=-1；則。

x12+x22=（x1+x2）2-2x1?x2=1+2=3；

（x12）2+（x22）2=（x12+x22）2-2x12?x22=7．

將x1、x2分別代入方程x6-px2+q=0；得。

x16-px12+q=0①

x26-px22+q=0②

①-②；得。

（x16-x26）-p（x12-x22）=0；

【（x12）3-（x22）3】-p（x12-x22）=0；

（x12-x22）【（x12）2+（x22）2+x12?x22】-p（x12-x22）=0；

由于x1≠x2，則x12-x22≠0；所以化簡，得。

【（x12）2+（x22）2+x12?x22】-p=0；

則p=（x12）2+（x22）2+（x1?x2）2=7+（-1）2=8；

①+②；得。

（x16+x26）-8（x12+x22）+2q=0；

【（x12）3+（x22）3】-24+2q=0；

∴（x12+x22）【（x12）2+（x22）2-x12?x22】-24+2q=0；

∴3【（x12）2+（x22）2-（x1?x2）2】-24+2q=0；

∴3（7-1）-24+2q=0；解得。

q=3；

綜上所述；p=8，q=3．

故答案是：8、3．15、略

【分析】【分析】（1）設(shè)參加社會(huì)實(shí)踐的老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學(xué)生都需買二等座學(xué)生票，根據(jù)題意得到方程組；求出方程組的解即可；

（2）有兩種情況：①當(dāng)180≤x＜210時(shí)；學(xué)生都買學(xué)生票共180張，（x-180）名成年人買二等座火車票，（210-x）名成年人買一等座火車票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②當(dāng)0＜x＜180時(shí)，一部分學(xué)生買學(xué)生票共x張，其余的學(xué)生與家長老師一起購買一等座火車票共（210-x）張，得到解析式是y=-30x+17010；

（3）由（2）小題知，當(dāng)180≤x＜210時(shí)，y=-13x+13950和當(dāng)0＜x＜180時(shí)，y=-30x+17010，分別討論即可．【解析】【解答】解：（1）設(shè)參加社會(huì)實(shí)踐的老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學(xué)生都需買二等座學(xué)生票，依題意得：；

解得；

則2m=20；

答：參加社會(huì)實(shí)踐的老師；家長與學(xué)生分別有10人、20人、180人．

（2）解：由（1）知所有參與人員總共有210人；其中學(xué)生有180人；

①當(dāng)180≤x＜210時(shí)；最經(jīng)濟(jì)的購票方案為：

學(xué)生都買學(xué)生票共180張；（x-180）名成年人買二等座火車票，（210-x）名成年人買一等座火車票．

∴火車票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=51×180+68（x-180）+81（210-x）；

即y=-13x+13950（180≤x＜210）；

②當(dāng)0＜x＜180時(shí)；最經(jīng)濟(jì)的購票方案為：

一部分學(xué)生買學(xué)生票共x張；其余的學(xué)生與家長老師一起購買一等座火車票共（210-x）張；

∴火車票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=51x+81（210-x）；

即y=-30x+17010（0＜x＜180）；

答：購買火車票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-13x+13950（180≤x＜210）或y=-30x+17010（0＜x＜180）．

（3）由（2）小題知；當(dāng)180≤x＜210時(shí)，y=-13x+13950；

∵-13＜0；y隨x的增大而減?。?/p>

∴當(dāng)x=209時(shí)；y的值最小，最小值為11233元；

當(dāng)x=180時(shí)；y的值最大，最大值為11610元．

當(dāng)0＜x＜180時(shí)；y=-30x+17010；

∵-30＜0；y隨x的增大而減小；

∴當(dāng)x=179時(shí)；y的值最小，最小值為11640元；

當(dāng)x=1時(shí)；y的值最大，最大值為16980元．

所以可以判斷按（2）小題中的購票方案；購買一個(gè)單程火車票至少要花11233元，最多要花16980元；

答：按（2）小題中的購票方案，購買一個(gè)單程火車票至少要花11233元，最多要花16980元．16、略

【分析】【分析】（1）把函數(shù)解析式利用配方法；由一般式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，根據(jù)a大于0，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，y有最小值，當(dāng)x等于頂點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，y的最小值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)；

（2）令y=0，得到一個(gè)一元二次方程，由拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程的兩個(gè)根為x1，x2，由a，b及c的值；利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩個(gè)根之和與兩個(gè)根之積，把所求的式子通分后，分子再利用完全平方公式化簡，把求出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值；

（3）根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”，由已知拋物線的解析式，可得出平移后拋物線的解析式．【解析】【解答】解：（1）y=2x2-4x-1=2（x2-2x+1）-2-1=2（x-1）2-3；

當(dāng)x為1時(shí)；y最小值為-3．

（2）令y=0，得2x2-4x-1=0；

由題意得：方程的兩個(gè)根為x1，x2；

∵a=2，b=-4；c=-1；

∴x1+x2=-=2，x1x2==-；

則===-10；

（3）二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長度；

得到解析式為y=2（x-1-2）2-3，即y=2（x-3）2-3；

再向下平移1個(gè)單位長度，得y=2（x-3）2-3-1，即y=2（x-3）2-4；

則平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-4）．17、略

【分析】【分析】由兩圓的半徑分別為8和3，這兩個(gè)圓外切，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可求得它們的圓心距．【解析】【解答】解：∵兩圓的半徑分別為3和8；這兩個(gè)圓外切；

∴3+8=11；

∴它們的圓心距等于11．

故答案為：11．18、略

【分析】【分析】根據(jù)題意，將等式c2-5ac+6a2=0兩邊同時(shí)除以a2，得出關(guān)于e的一元二次方程，求解即可．【解析】【解答】解：∵c2-5ac+6a2=0；

∴（c2-5ac+6a2）÷a2=0；

即（）2-5×+6=0；

∵；

∴e2-5e+6=0

因式分解得；（e-2）（e-3）=0；

解得e=2或3．

故答案為2或3．19、略

【分析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到a（x-a）≥0，x-a≥0，則a≥0，而a（y-a）≥0，a-y≥0，則a≤0，得到a=0，把a(bǔ)=0代入已知條件中易得x=-y，然后把x=-y代入分式計(jì)算即可．【解析】【解答】解：∵a（x-a）≥0；x-a≥0；

∴a≥0；

又∵a（y-a）≥0；a-y≥0；

∴a≤0；

∴a=0；

把a(bǔ)=0代入已知條件則-=0；

∴x=-y；

∴原式==．20、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的情況的判斷方法，可得：；解可得答案；

（2）假設(shè)存在，由相反數(shù)的意義，即方程的兩根的和是0，依據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到兩根的和是=0，可得k的值；把k的值代入判別式△，判斷是否大于0可得結(jié)論．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意得：；（2分）

∴且k≠0；（3分）

（2）假設(shè)存在；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；

有x1+x2==0，即；（4分）

但當(dāng)時(shí)；△＜0，方程無實(shí)數(shù)根（5分）

∴不存在實(shí)數(shù)k，使方程兩根互為相反數(shù)．（6分）21、A∩B={2}；∴2∈A；

又∵A={5，log2（a+3）}；

∴2=log2（a+3）；∴4=a+3，∴a=1

又∵B={a，b}={1，b}，且2∈B，∴b=2；

∴B={1；2}

【分析】【分析】由題意2∈A，2=log2（a+3），求出a，然后確定b，即可解得集合B四、解答題(共2題，共16分)22、略

【分析】本試題主要是考查了正比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．關(guān)鍵是建立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)函數(shù)值相等時(shí)，分別求出自變量的值并作差。（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與成正比例，設(shè)為又過（1，4）點(diǎn)，∴∴當(dāng)時(shí)，又過（1，4）、（2,2）點(diǎn)，得到關(guān)系似的餓到M,a的值。（2）那么喲啊是的有效治療，則只要滿足f(x)即可得到結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，與成正比例，設(shè)為又過（1，4）點(diǎn)，∴∴2分當(dāng)時(shí)，又過（1，4）、（2,2）點(diǎn)，所以所以所以6分所以8分則當(dāng)時(shí)，有治療效果所以有效治療時(shí)間為小時(shí)14分（或解方程再求兩根差）【解析】【答案】（1）（2）有效治療時(shí)間為小時(shí)。23、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(1)取中點(diǎn)連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中；

平面平面

平面．2分。

連結(jié)

在正方形中，分別為。

的中點(diǎn)；

4分。

．在正方形中，

平面．6分。

(2)設(shè)與交于點(diǎn)在平面中，作于連結(jié)

由(Ⅰ)得平面．

為二面角的平面角．8分。

在中，由等面積法可求得又

．

所以二面角的正弦大小五、作圖題(共1題，共8分)24、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．