2024年滬教版高一數(shù)學上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年滬教版高一數(shù)學上冊月考試卷977考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、若集合A={x|y=log2（2x-1）}，則A∩B=（）

A.

B.

C.

D.{y|0＜y＜1或y＞1}

2、已知A={x|-2＜x≤3}、則A∩B=（）

A.{x|1＜x＜3}

B.{x|-2＜x＜1}

C.{x|1≤x≤3}

D.R

3、已知向量向量則的最大值、最小值分別是（）.A.B.C.D.4、【題文】已知集合則()A.B.C.D.5、sin330°的值為()A.B.C.D.6、定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈（-∞，0）（x1≠x2），有＜0，則（）A.f（-3）＜f（-2）＜f（1）B.f（1）＜f（-2）＜f（-3）C.f（-2）＜f（1）＜f（-3）D.f（-3）＜f（1）＜f（-2）7、根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖．以下結(jié)論不正確的是（）

A.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)B.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢C.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)8、已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，1），則函數(shù)f（x+1）的定義域為____．9、設全集U={-1，0，1，2，3，4}，A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，則CU（A∪B）=____．10、奇函數(shù)在[1．+∞）上增，f（1）=2，f（2）＜3，則b=____．11、向量的坐標分別是(1,2)、(3,-4),則在上的射影=____▲.12、【題文】點為第一象限內(nèi)的點，且在圓上，的最大值為____13、【題文】圓心是A(2，–3)，半徑長等于5的圓的標準方程是____；14、如果函數(shù)f（x）=x2+2ax+2在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，那么實數(shù)a的值范圍是______．15、已知sin（θ+kπ）=-2cos（θ+kπ）（k∈Z），則=______．16、在等差數(shù)列{an}

中，若a2+a4+a6+a8+a10=80

則S11

的值為______．評卷人得分三、計算題(共7題，共14分)17、把一個六個面分別標有數(shù)字1；2，3，4，5，6有正方體骰子隨意擲一次，各個數(shù)字所在面朝上的機會均相等．

（1）若拋擲一次；則朝上的數(shù)字大于4的概率是多少？

（2）若連續(xù)拋擲兩次，第一次所得的數(shù)為m，第二次所得的數(shù)為n．把m、n作為點A的橫、縱坐標，那么點A（m、n）在函數(shù)y=3x-1的圖象上的概率又是多少？18、一次函數(shù)y=3x+m與反比例函數(shù)y=的圖象有兩個交點；

（1）當m為何值時；有一個交點的縱坐標為6？

（2）在（1）的條件下，求兩個交點的坐標．19、比較大?。?，，則A____B．20、計算：．21、解方程

（1）3x2-32x-48=0

（2）4x2+x-3=0

（3）（3x+1）2-4=0

（4）9（x-2）2=4（x+1）2．22、比較大?。?，，則A____B．23、如圖，某一水庫水壩的橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬CD=5米，斜坡AD=16米，壩高6米，斜坡BC的坡度i=1：3，求斜坡AD的坡角∠A（精確到1分）和壩底寬AB（精確到0.1米）．評卷人得分四、作圖題(共4題，共16分)24、如圖A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．25、如圖A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．26、以下是一個用基本算法語句編寫的程序；根據(jù)程序畫出其相應的程序框圖．

27、繪制以下算法對應的程序框圖：

第一步；輸入變量x；

第二步，根據(jù)函數(shù)f（x）=

對變量y賦值；使y=f（x）；

第三步，輸出變量y的值．評卷人得分五、綜合題(共4題，共20分)28、數(shù)學課上；老師提出：

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A點的坐標為（1，0），點B在x軸上，且在點A的右側(cè)，AB=OA，過點A和B作x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y=x2的圖象于點C和D，直線OC交BD于點M，直線CD交y軸于點H，記點C、D的橫坐標分別為xC、xD，點H的縱坐標為yH．

同學發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②數(shù)值相等關系：xC?xD=-yH

（1）請你驗證結(jié)論①和結(jié)論②成立；

（2）請你研究：如果上述框中的條件“A的坐標（1；0）”改為“A的坐標（t，0）（t＞0）”，其他條件不變，結(jié)論①是否仍成立（請說明理由）；

（3）進一步研究：如果上述框中的條件“A的坐標（1，0）”改為“A的坐標（t，0）（t＞0）”，又將條件“y=x2”改為“y=ax2（a＞0）”，其他條件不變，那么xC、xD與yH有怎樣的數(shù)值關系？（寫出結(jié)果并說明理由）29、取一張矩形的紙進行折疊；具體操作過程如下：

第一步：先把矩形ABCD對折；折痕為MN，如圖（1）所示；

第二步：再把B點疊在折痕線MN上；折痕為AE，點B在MN上的對應點為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）所示；

第三步：沿EB′線折疊得折痕EF；如圖（3）所示；利用展開圖（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論．

（2）對于任一矩形；按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由．

（3）如圖（5）；將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在DC邊上的點A′處，x軸垂直平分DA，直線EF的表達式為y=kx-k（k＜0）

①問：EF與拋物線y=有幾個公共點？

②當EF與拋物線只有一個公共點時，設A′（x，y），求的值．30、若記函數(shù)y在x處的值為f（x），（例如y=x2，也可記著f（x）=x2）已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象如圖所示，且ax2+（b-1）x+c＞0對所有的實數(shù)x都成立，則下列結(jié)論成立的有____．

（1）ac＞0；

（2）；

（3）對所有的實數(shù)x都有f（x）＞x；

（4）對所有的實數(shù)x都有f（f（x））＞x．31、已知△ABC的一邊AC為關于x的一元二次方程x2+mx+4=0的兩個正整數(shù)根之一，且另兩邊長為BC=4，AB=6，求cosA．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、C【分析】

集合A={x|y=log2（2x-1）}={x|2x-1＞0}={x|x＞}=（+∞），

集合B={y|y=2，x∈R}={y|y＞0且y≠1}=（0，1）∪（1，+∞），

故集合A∩B=（+∞）∩[（0，1）∪（1，+∞）]={}，

故選C．

【解析】【答案】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域求出集合A；再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求出集合B，再利用兩個集合的交集的定義求出A∩B．

2、C【分析】

因為={x|x≥1}；

則A∩B={x|-2＜x≤3}∩{x|x≥1}={x|1≤x≤3}；

故選C．

【解析】【答案】通過求解函數(shù)的定義域求出集合B；然后求解交集即可．

3、D【分析】試題分析：即考點：平面向量的坐標運算、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】

試題分析：由可得又因為所以

考點：1.二次不等式的解法.2.集合的運算.【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】sin330°=sin(360°－30°)=－sin30°=故選B。

【分析】簡單題，利用誘導公式逐漸轉(zhuǎn)化成0°--90°范圍內(nèi)的三角函數(shù)值。6、B【分析】解：∵對任意的x1，x2∈（-∞，0）（x1≠x2），有＜0；

∴f（x）在x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2）單調(diào)遞減；

又f（x）是偶函數(shù)，故f（x）在x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）上單調(diào)遞增；．

∵f（-2）=f（2）；f（-3）=f（3），3＞2＞1＞0；

∴f（1）＜f（-2）＜f（-3）；

故選B．

確定f（x）在x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2）單調(diào)遞減，在x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）上單調(diào)遞增；進而可判斷出f（-3），f（-2）和f（1）的大?。?/p>

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應用和函數(shù)的單調(diào)性的應用．屬基礎題．【解析】【答案】B7、D【分析】解：A從圖中看出；2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故A正確；

B2004-2006年二氧化硫排放量越來越多；從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；

C從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少；且減少的最多，故C正確；

D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少；而不是與年份正相關，故D錯誤．

故選：D

A從圖中看出；2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故A正確；

B從2007年開始二氧化硫排放量變少；故B正確；

C從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量減少的最多；故C正確；

D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少；與年份負相關，故D錯誤．

本題考查了學生識圖的能力，能夠從圖中提取出所需要的信息，屬于基礎題．【解析】【答案】D二、填空題(共9題，共18分)8、略

【分析】

∵函數(shù)f（x）的定義域為（0；1）；

∴在函數(shù)f（x+1）中；0＜x+1＜1；

解得-1＜x＜0；

故答案為：（-1；0）．

【解析】【答案】由函數(shù)f（x）的定義域為（0；1），知在函數(shù)f（x+1）中，0＜x+1＜1，由此能求出函數(shù)f（x+1）的定義域．

9、略

【分析】

根據(jù)題意；A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；

則A∪B={-1；0，1，2，3}；

又由全集U={-1；0，1，2，3，4}；

則?U（A∪B）={4}；

故答案為{4}．

【解析】【答案】根據(jù)題意；由集合A；B，結(jié)合并集的意義，可得A∪B，又由全集U，結(jié)合補集的意義，計算可得答案．

10、略

【分析】

∵f（x）為奇函數(shù)；

故f（x）的定義域關于原點對稱。

又f（x）的定義域為（顯然b≠0；否則f（x）為偶函數(shù)）

∴即c=0

于是得且

∴

∴又b∈Z

∴b=1

故答案為1

【解析】【答案】求三個未知數(shù)；需要三個條件，一是定義域要關于原點對稱，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增可解．

11、略

【分析】【解析】

因為向量的坐標分別是(1,2)、(3,-4),則在上的射影【解析】【答案】-112、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】113、略

【分析】【解析】

試題分析：直接帶入公式得：

考點：圓的標準方程【解析】【答案】14、略

【分析】解：由于二次函數(shù)y=x2+2ax+2的圖象是開口向上的拋物線；其對稱軸為x=-a；

且函數(shù)f（x）=x2+2ax+2在區(qū)間[2；+∞）上]上是單調(diào)遞增函數(shù)；

故有-a≤2；則實數(shù)a的取值范圍為：[-2，+∞）．

故答案為：[-2；+∞）．

根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；可得a≥-2，從而得出結(jié)論．

本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題．【解析】[-2，+∞）15、略

【分析】解：∵sin（θ+kπ）=-2cos（θ+kπ）（k∈Z）；

∴tan（θ+kπ）=-2；

∵k∈z；進而tanθ=-2．（2分）

∴===10．

故答案為：10．

利用已知條件sin（θ+kπ）=-2cos（θ+kπ），k∈z求出tanθ=-2，將分子；分母同除以cosθ；將tanθ的值代入即可．

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．【解析】1016、略

【分析】解：隆脽

等差數(shù)列{an}

中；若a2+a4+a6+a8+a10=80

隆脽a2+a10=2a6

a4+a8=2a6

隆脿5a6=80

隆脿a6=16

隆脿S11=11(a1+a11)2=11a6=176

．

故答案為：176

．

由a2+a4+a6+a8+a10=80

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a6=16

利用S11=11(a1+a11)2=11a6

可得結(jié)論．

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題的關鍵是正確運用等差中項的性質(zhì)轉(zhuǎn)化項數(shù)．【解析】176

三、計算題(共7題，共14分)17、略

【分析】【分析】（1）讓大于4的數(shù)的個數(shù)除以數(shù)的總數(shù)即為所求的概率；

（2）列舉出所有情況，看點A（m、n）在函數(shù)y=3x-1的圖象上的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【解析】【解答】解：（1）依題意可知：隨意擲一次正方體骰子，面朝上的數(shù)可能出現(xiàn)的結(jié)果有1、2、3、4、5、6共6種，而且它們出現(xiàn)的可能性相等．滿足數(shù)字大于4（記為事件A）的有2種．所以P（A）=

（2）依題意列表分析如下：

。第二次n第

一

次

m

1234561（11）（12）（13）（14）（15）（16）（16）2（21）（22）（23）（24）（25）（26）（26）3（31）（32）（33）（34）（35）（36）（36）4（41）（42）（43）（44）（45）（46）（46）5（51）（52）（53）（54）（55）（56）（56）6（61）（62）（63）（64）（65）（66）（66）由表可以看出；可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種，而且它們出現(xiàn)的可能性相等．所得點A（記為事件A）的有（12）和（25）兩種情況，所以在函數(shù)y=3x-1的圖象上的概率為

P（A）==．18、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)圖象；有一個交點的縱坐標為6，即可得出y=6，代入解析式得出二元一次方程組即可求出m的值；

（2）將m的值代入兩函數(shù)的解析式，并將它們聯(lián)立，求出方程組的解即可得出交點坐標．【解析】【解答】解：（1）∵圖象有一個交點的縱坐標為6；

∴y=6；代入兩函數(shù)解析式得：

；

∴解得：；

∴當m為5時；有一個交點的縱坐標為6；

（2）∵m=5；代入兩函數(shù)解析式得出：

；

求出兩函數(shù)的交點坐標為：

3x+5=；

解得：x1=，x2=-2；

∴將x=-2代入反比例函數(shù)解析式得：y==-1；

將x=代入反比例函數(shù)解析式得：y==6；

∴兩個交點的坐標分別為：（，6），（-2，-1）．19、略

【分析】【分析】利用差減法比較大?。⒂米帜副硎緮?shù)，再進行分式減法計算．【解析】【解答】解：先設5678901234=a；那么5678901235=a+1；

同樣設6789012345=x；那么67890123456=10x+6；

∴A-B=-=；

∵9ax-x=（9a-1）x＞0；

∴A-B＞0；

∴A＞B．

故答案是＞．20、略

【分析】【分析】按照實數(shù)的運算法則依次計算，注意（-2）-1=-，（π-3.5）0=1．【解析】【解答】解：原式=-+1-+4

=4．21、略

【分析】【分析】（1）方程左邊的多項式利用十字相乘法分解因式；然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）方程左邊的多項式利用十字相乘法分解因式；然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（3）將常數(shù)項移到右邊；開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用兩數(shù)的平方相等，兩數(shù)相等或互為相反數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：（1）3x2-32x-48=0；

分解因式得：（x-12）（3x+4）=0；

可得x-12=0或3x+4=0；

解得：x1=12，x2=-；

（2）4x2+x-3=0；

分解因式得：（4x-3）（x+1）=0；

可得4x-3=0=或x+1=0；

解得：x1=，x2=-1；

（3）（3x+1）2-4=0；

變形得：（3x+1）2=4；

開方得：3x+1=2或3x+1=-2；

解得：x1=，x2=-1；

（4）9（x-2）2=4（x+1）2；

開方得：3（x-2）=2（x+1）或3（x-2）=-2（x+1）；

解得：x1=8，x2=．22、略

【分析】【分析】利用差減法比較大小．并用字母表示數(shù)，再進行分式減法計算．【解析】【解答】解：先設5678901234=a；那么5678901235=a+1；

同樣設6789012345=x；那么67890123456=10x+6；

∴A-B=-=；

∵9ax-x=（9a-1）x＞0；

∴A-B＞0；

∴A＞B．

故答案是＞．23、略

【分析】【分析】過C、D作出梯形的兩高，構(gòu)造出兩直角三角形，利用勾股定理和三角函數(shù)值求得兩直角三角形的另2邊，再加上CD，即為AB長，根據(jù)∠A的任意三角函數(shù)值即可求得度數(shù)．【解析】【解答】解：作DE⊥AB于點E；CF⊥AB于點F；

則ED=CF=6；

因為BC的坡度i=1：3；

∴BF=18；

∵AD=16；

∴AE=≈14.83；

∴AB=AE+BF+CD≈37.8米；

∵sinA=6÷16=0.375；

∴∠A=22°1′．四、作圖題(共4題，共16分)24、略

【分析】【分析】作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽cA關于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設管道的最省費用為10000元．25、略

【分析】【分析】作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽cA關于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設管道的最省費用為10000元．26、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據(jù)題目中的程序語言，得出該程序是順序結(jié)構(gòu)，利用構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用，即可畫出流程圖．27、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】該函數(shù)是分段函數(shù)，當x取不同范圍內(nèi)的值時，函數(shù)解析式不同，因此當給出一個自變量x的值時，必須先判斷x的范圍，然后確定利用哪一段的解析式求函數(shù)值，因為函數(shù)解析式分了三段，所以判斷框需要兩個，即進行兩次判斷，于是，即可畫出相應的程序框圖．五、綜合題(共4題，共20分)28、略

【分析】【分析】（1）可先根據(jù)AB=OA得出B點的坐標；然后根據(jù)拋物線的解析式和A，B的坐標得出C，D兩點的坐標，再依據(jù)C點的坐標求出直線OC的解析式．進而可求出M點的坐標，然后根據(jù)C；D兩點的坐標求出直線CD的解析式進而求出D點的坐標，然后可根據(jù)這些點的坐標進行求解即可；

（2）（3）的解法同（1）完全一樣．【解析】【解答】解：（1）由已知可得點B的坐標為（2；0），點C坐標為（1，1），點D的坐標為（2，4）；

由點C坐標為（1；1）易得直線OC的函數(shù)解析式為y=x；

故點M的坐標為（2；2）；

所以S△CMD=1，S梯形ABMC=

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3；

即結(jié)論①成立．

設直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b；

則；

解得

所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3x-2．

由上述可得，點H的坐標為（0，-2），yH=-2

因為xC?xD=2；

所以xC?xD=-yH；

即結(jié)論②成立；

（2）（1）的結(jié)論仍然成立．

理由：當A的坐標（t；0）（t＞0）時，點B的坐標為（2t，0），點C坐標為（t，t2），點D的坐標為（2t，4t2）；

由點C坐標為（t；t2）易得直線OC的函數(shù)解析式為y=tx；

故點M的坐標為（2t；2t2）；

所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3；

即結(jié)論①成立．

設直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b；

則；

解得

所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3tx-2t2；

由上述可得，點H的坐標為（0，-2t2），yH=-2t2

因為xC?xD=2t2；

所以xC?xD=-yH；

即結(jié)論②成立；

（3）由題意，當二次函數(shù)的解析式為y=ax2（a＞0），且點A坐標為（t，0）（t＞0）時，點C坐標為（t，at2），點D坐標為（2t，4at2）；

設直線CD的解析式為y=kx+b；

則：；

解得

所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3atx-2at2，則點H的坐標為（0，-2at2），yH=-2at2．

因為xC?xD=2t2；

所以xC?xD=-yH．29、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；以及矩形性質(zhì)得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根據(jù)矩形的長為a，寬為b，可知時，一定能折出等邊三角形，當＜b＜a時；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，進而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等邊三角形

證明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜邊上的中線

∴PA=B′P；

∴∠EAB′=∠PB′A；

又∵PN∥AD；

∴∠B′AD=∠PB′A；

又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°；

∴∠EAB′=∠B′AD=30°；

易證∠AEF=60°；∴∠EAF=60°；

∴△AEF是等邊三角形；

（2）不一定；

設矩形的長為a，寬為b，可知時；一定