2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)曹楊二中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)曹楊二中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=|cosx|的最小正周期是(

)A.π2 B.π C.2π D.2.空間中，已知兩條直線m，n，其方向向量分別為a,b，則“?a,b?=π4”是“mA.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件3.在空間，已知直線l及不在l上兩個(gè)不重合的點(diǎn)A、B，過(guò)直線l做平面α，使得點(diǎn)A、B到平面α的距離相等，則這樣的平面α的個(gè)數(shù)不可能是(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)4.已知正三棱錐A?BCD的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，BC=3，側(cè)棱AB=23，點(diǎn)E在線段BD上，且DE=2BE.過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的取值范圍是(

)A.[2π,4π] B.[5π4,4π] C.[二、填空題：本題共11小題，共50分。5.已知i為虛數(shù)單位，計(jì)算：2+i1?2i=______．6.在△ABC中，若a=2，B=π3，且△ABC的面積為43，則c=7.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，則其體積為_(kāi)_____．8.已知m∈R，空間向量a=(3,1,1)，b=(0,2,m).若a⊥b，則m=9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a7=210.如圖，正方體ABCD?A1B1C11.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為

．12.已知t∈R，A、B、C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外任意一點(diǎn).若AP=?14OA+16OB+tOC，且A、B、13.如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水(未滿)，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四種說(shuō)法：

①水的部分始終呈棱柱狀；

②棱A1D1始終與水面EFGH平行；

③水面四邊形EFGH的面積不改變；

④當(dāng)E∈A14.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為22的等邊三角形，△BDC為直角三角形，D為直角頂點(diǎn)，∠DCB=60°，連接AD.當(dāng)二面角A?BC?D從0°變化到90°的過(guò)程中，線段AD在平面BCD上的投影掃過(guò)的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_____．15.小玲在一個(gè)棱長(zhǎng)為8cm的密封正方體盒子中，放入一個(gè)半徑為1cm的小球.無(wú)論她怎么搖動(dòng)盒子，小球在盒子中不能達(dá)到的空間體積為_(kāi)_____cm3.(結(jié)果中保留三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題14分)

已知i為虛數(shù)單位.設(shè)θ∈[0,π2]，復(fù)數(shù)z0=(3sinθ?cosθ)+(sinθ+cosθ)i．

(1)若z0的實(shí)部與虛部相等，求θ的大??；

(2)已知p，q∈R，θ=π2，若z17.(本小題14分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F(xiàn)分別為CC1、BC的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用空間向量方法解決如下問(wèn)題：

(1)求證：18.(本小題14分)

如圖所示的幾何體，是將體積為12π、底面半徑為2的圓柱沿著過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面切開(kāi)后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的，AB、BC為底面直徑，BE、CD為圓柱的母線，O1、O2、O2′分別為AB、BC、DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧AB的中點(diǎn)，G為弧BC的中點(diǎn)．

(1)求這個(gè)幾何體的表面積；

(2)求異面直線CF19.(本小題18分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，CD/?/AB，PA=1，AB=2，PD=BC=2.點(diǎn)E是棱PB上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：CD//平面PAB；

(2)試確定點(diǎn)E的位置，使得截面AEC把該四棱錐分成的兩個(gè)幾何體PADCE與EABC的體積比為2：1；

(3)記二面角P?BC?A的大小為α，二面角E?AC?B的大小為β.試確定點(diǎn)E的位置，使得20.(本小題18分)

設(shè)r∈N且r≥3，數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.定義：若{an}滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第r?1項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱(chēng){an}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”；

(1)若{an}為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求a1；

(2)若{an}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，證明：對(duì)任意正整數(shù)n，都有anSn≥a6S6；

(3)參考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.i

6.8

7.3

8.?2

9.26

10.6

11.60°

12.11213.①②④

14.315.80?5816.解：(1)由z0=(3sinθ?cosθ)+(sinθ+cosθ)i的實(shí)部與虛部相等，

得3sinθ?cosθ=sinθ+cosθ，即sinθ=cosθ，

∵θ∈[0,π2]，∴tanθ=1，

∴θ=π4；

(2)∵θ=π2，∴z0=(3sinθ?cosθ)+(sinθ+cosθ)i=3+i，

代入方程x2+px+q=017.(1)證明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知∠BAC=90°，

則AA1⊥AB，AA1⊥AC，AB⊥AC，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,0,0)，A(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，

∴A1B=(2,0,?2)，AC=(0,2,0)，

則A1B?AC=2×0+0×2?2×0=0，得A1B⊥AC，即A1B⊥AC；

(2)解：由(1)可得E(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，B1(2,0,2)，

∴18.解：(1)設(shè)圓柱的高為?，又圓柱的底面半徑r=2，

則有12π=4π?，解之得?=3，

將圓柱按題中方法切開(kāi)，再平移后接成封閉體后，

該幾何體的表面積比原來(lái)的圓柱表面積多了兩個(gè)軸截面矩形的面積，

因此它的表面積為S表=S圓柱表+2SBCDE=2π?2×3+2×π?22+2×4×3=20π+24；

(2)連接CF，在面BCF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BC，

以B為原點(diǎn)，分別以BT，BC，BE所在直線為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則C(0,4,0)，F(xiàn)(?2,?2,0)，G(2,2,0)，O2′(0,2,3)，

則19.解：(1)證明：因?yàn)镃D/?/AB，CD?平面PAB，AB?平面PAB，

所以CD/?/平面PAB；

(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，

又PA=1，PD=2，所以AD=PD2?PA2=1，

又AD⊥AB，CD/?/AB，AB=2，BC=2，

所以DC=2?(2)2?12=1，

所以SABCD=12×(1+2)×1=32，

所以VP?ABCD=13×32×1=12，

連接AC，所以S△ABC=12×1×2=1，

又使得截面AEC把該四棱錐分成的兩個(gè)幾何體PADCE與EABC的體積比為2：1，

所以VE?ABC=13VP?ABCD=16，

設(shè)三棱錐E?ABC的高為?，

則VE?ABC=13?S△ABC=13×1×?=16，

解得?=12，所以E到平面ABC的距離為12PA，

又點(diǎn)E是棱PB上的動(dòng)點(diǎn)，所以E為棱PB的中點(diǎn)，

即當(dāng)E為棱PB的中點(diǎn)時(shí)截面AEC把該四棱錐分成的兩個(gè)幾何體PADCE與EABC的體積比為2：1；

(3)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(0,2,0)，P(0,0,1)，

則PC=(1,1,?1)，PB=(0,2,?1)，

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥PCn⊥PB，則n?PC=x+y?z=0n?PB=2y?z=020.解：(1)由于{an}為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，

因此前3項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第2項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，

那么a2=a1+1，a3=a1+2，而且a3=2a2，所以a1=0．

(2)證明：由于{an}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，

因此前6項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，

所以a5=a1+4，a6=a1+5，并且a6=2a5，所以a1=?3，

根據(jù)等比，等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得：an=n?4,n≤62n?5,n≥7，

因此數(shù)列{an}前十項(xiàng)列舉為：?3，?2，?1，0，1，2，4，8，16，32，…，

所以{Sn}前十項(xiàng)列舉為：?3，?5，?6，?6，?5，?3，1，9，25，57，…，

因此{(lán)anSn}前十項(xiàng)列舉為：9，10，6，0，?5，?6，4，72，400，1824，…，

通過(guò)上述列舉可猜想對(duì)任意正整數(shù)n，有anSn≥a6S6，

再證明當(dāng)n≤10時(shí)，由數(shù)列{anSn}列舉可得anSn≥a6S