第二十六講　與圓有關(guān)的位置關(guān)系

第二十六講與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.(2024·廣州)如圖,☉O中,弦AB的長為43,點C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面內(nèi)有一點P,若OP=5,則點P與☉O的位置關(guān)系是(C)A.點P在☉O上 B.點P在☉O內(nèi)C.點P在☉O外 D.無法確定2.(2024·福建)如圖,已知點A,B在☉O上,∠AOB=72°,直線MN與☉O相切,切點為C,且C為AB的中點,則∠ACM等于(A)A.18° B.30°C.36° D.72°3.如圖,PA與☉O相切于點A,PO交☉O于點B,點C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,則CA的長為

1034.(2024·浙江)如圖,AB是☉O的直徑,AC與☉O相切,A為切點,連接BC.已知∠ACB=50°,則∠B的度數(shù)為40°.

5.如圖,AB與☉O相切于點C,AO=3,☉O的半徑為2,則AC的長為

5.

6.如圖,點A是☉O外一點,AB,AC分別與☉O相切于點B,C,點D在BDC⌒上已知∠A=50°,則∠D的度數(shù)是65°.

7.為了測量一個圓形光盤的半徑,小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上,并量出AB=4cm,則這張光盤的半徑是6.9cm.(精確到0.1cm.參考數(shù)據(jù):3≈1.73)

8.如圖,AB是☉O的直徑,D為☉O上一點,E為BD的中點,點C在BA的延長線上,且∠CDA=∠B.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的長.【解析】(1)連接OD,如圖所示:∵AB是直徑,∴∠BDA=90°,∴∠BDO+∠ADO=90°,又∵OB=OD,∠CDA=∠B,∴∠B=∠BDO=∠CDA,∴∠CDA+∠ADO=90°,∴OD⊥CD,且OD為☉O半徑,∴CD是☉O的切線;(2)連接OE,如圖所示:∵∠BDE=30°,∴∠BOE=2∠BDE=60°,又∵E為BD的中點,∴∠EOD=60°,∴△EOD為等邊三角形,∴ED=EO=OD=2,又∵∠BOD=∠BOE+∠EOD=120°,∴∠DOC=180°-∠BOD=180°-120°=60°,在Rt△DOC中,∠DOC=60°,OD=2,∴tan∠DOC=tan60°=CDOD=CD2=3,∴CD=29.(2024·包頭)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,點O在四邊形ABCD內(nèi)部,過點C作☉O的切線交AB的延長線于點P,連接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,則∠ADC的度數(shù)為105°.

10.(2024·泰安)如圖,AB是☉O的直徑,AH是☉O的切線,點C為☉O上任意一點,點D為AC的中點,連接BD交AC于點E,延長BD與AH相交于點F.若DF=1,tanB=12,則AE的長為

511.(2024·揚州)如圖,已知兩條平行線l1,l2,點A是l1上的定點,AB⊥l2于點B,點C,D分別是l1,l2上的動點,且滿足AC=BD,連接CD交線段AB于點E,BH⊥CD于點H,則當∠BAH最大時,sin∠BAH的值為

1312.(2024·武漢)如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AC與半圓O相切于點D,底邊BC與半圓O交于E,F兩點.(1)求證:AB與半圓O相切;(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.【解析】(1)連接OD,OA,作OH⊥AB于H,如圖,∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.∵AC與☉O相切于點D,∴OD⊥AC.而OH⊥AB,∴OH=OD,∴AB是☉O的切線.(2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,∴OD2+42=(OD+2)2,∴OD=3,∴OC=5,∴cosC=CDOC=4在Rt△OCA中,cosC=OCAC=4∴sin∠OAC=OCAC=413.如圖,在☉O中,AB是一條不過圓心O的弦,點C,D是AB的三等分點,直徑CE交AB于點F,連接AD交CF于點G,連接AC,過點C的切線交BA的延長線于點H.(1)求證:AD∥HC;(2)若OGGC=2,求tan∠FAG的值(3)連接BC交AD于點N,若☉O的半徑為5.下面三個問題,依次按照易、中、難排列.請根據(jù)自己的認知水平,選擇其中一道問題進行解答.①若OF=52,求BC的長②若AH=10,求△ANB的周長;③若HF·AB=88,求△BHC的面積.【解析】(1)∵點C,D是AB的三等分點,∴AC=CD=DB.由CE是☉O的直徑可得CE⊥AD,∵HC是☉O的切線,∴HC⊥CE,∴AD∥HC;(2)如圖1,連接AO,∵BD=CD,∴∠BAD=∠CAD,∵CE⊥AD,∴∠AGC=∠AGF=90°,∴△CAG≌△FAG(ASA),∴CG=FG,設(shè)CG=a,則FG=a,∵OGCG∴OG=2a,AO=CO=3a.在Rt△AOG中,AO2=AG2+OG2,∴(3a)2=AG2+(2a)2,∴AG=5a,∴tan∠FAG=FGAG=5∴tan∠FAG的值為55(3)①∵OF=52,OC=OA∴CF=52∴CG=FG=54∴OG=154∴AG=OA2-∵CE⊥AD,∴AD=2AG=57∵AC=CD=DB,∴AD=CB,∴BC=AD=57∴BC的長為57②如圖2,連接CD,∵AD∥HC,FG=CG,∴AH=AF,∵∠HCF=90°,∴AC=AH=AF=10,設(shè)CG=x,則FG=x,OG=5-x,由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2,即25-(5-x)2=10-x2,解得x=1,∴AG=3,AD=6,∵CD=DB,∴∠DAC=∠BCD,∵∠CDN=∠ADC,∴△CDN∽△ADC,∴NDCD=CD∴ND=CD2AD=53,∵∠BAD=∠DAC,∠ABN=∠ADC,∴△ANB∽△ACD,∴C△ANB=C△ACD×ANAC=(6+210)×13310=13∴△ANB的周長為13105+③如圖3,過點O作OM⊥AB于點M,則AM=MB=12AB設(shè)CG=x,則FG=x,OG=5-x,OF=5-2x,由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2,AF2=AG2+FG2=10x-x2+x2=10x,∵AD∥HC,FG=CG,∴AH=AF=12HF∴AG=12HC∴AF·AM=12HF·12AB=14HF·AB∵∠AGF=∠OMF=90°,∠AFG=∠OFM,∴△AFG∽△OFM,∴AFOF=FG∴AF·FM=OF·GF,∴AF·AM=AF·(AF+FM)=AF2+AF·FM=AF2+OF·GF=22,可得方程10x+x(5-2x)=22,解得x1=2,x2=5.