2025屆高考數(shù)學二輪總復習專題5統(tǒng)計與概率第1講計數(shù)原理與概率課件

第1講計數(shù)原理與概率領(lǐng)航高考風向標通覽主干知識1.抽樣方法(1)對于簡單隨機抽樣,從容量為N的總體中抽取容量為n(1≤n<N)的樣本,則每個個體被抽到的概率都為

等可能性,公平性(2)分層隨機抽樣實際上就是按比例抽樣,即按各層個體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本數(shù)量.

2.統(tǒng)計中的五個數(shù)字特征(1)眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).(2)中位數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,將數(shù)據(jù)按大小排列,位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù),就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).(5)百分位數(shù):一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(6)從頻率分布直方圖中得出有關(guān)數(shù)據(jù)的方法.頻率頻率分布直方圖中橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸表示頻率比頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,各小長方形高的比也就是頻率比眾數(shù)的估計值頻率分布直方圖中最高小長方形底邊中點的橫坐標中位數(shù)的估計值頻率分布直方圖中中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等平均數(shù)的估計值頻率分布直方圖中每個小長方形的面積與小長方形底邊中點的橫坐標的乘積之和3.數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性(1)線性相關(guān):一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān),而且散點落在一條直線附近,我們就稱這兩個變量線性相關(guān).(2)經(jīng)驗回歸方程:若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系,有n個樣本數(shù)據(jù)

4.獨立性檢驗對于取值分別是{x1,x2}和{y1,y2}的分類變量X和Y,其2×2列聯(lián)表是:變量y1y2合計x1aba+bx2cdc+d合計a+cb+dn隨機變量

5.概率的計算公式(2)互斥事件的概率計算公式P(A∪B)=P(A)+P(B);(3)對立事件的概率計算公式P()=1-P(A);對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件(4)條件概率公式(5)全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意事件B?Ω,有P(B)P(Ai)P(B|Ai),我們稱這個公式為全概率公式.指的是對目標事件B有貢獻的全部原因微點撥

要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)在P(A|B)中,事件A,B發(fā)生有時間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時發(fā)生.(2)樣本空間不同,在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).6.離散型隨機變量的分布列(1)設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn(2)離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=1.(3)期望公式7.兩種特殊分布(1)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件(不放回),其中恰有X件次品,則P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.(2)二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).8.離散型隨機變量的方差公式

方差和標準差都是描述隨機變量的離散程度的量,方差或標準差越小,隨機變量的取值越集中;方差或標準差越大,隨機變量的取值越分散.9.期望與方差的性質(zhì)(1)離散型隨機變量期望的性質(zhì)①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),則E(X)=np;③若X服從兩點分布,則E(X)=p.(2)離散型隨機變量方差的性質(zhì)①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p);③若X服從兩點分布,則D(X)=p(1-p).10.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定,因此正態(tài)分布常記作N(μ,σ2).如果隨機變量X服從正態(tài)分布,則記為X~N(μ,σ2).滿足正態(tài)分注意是σ2,不是σ布的三個基本概率的值是①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(2)利用正態(tài)密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題是常見考法,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,曲線與x軸之間的面積為1.鏈高考1.(2023新高考Ⅱ,3)某學校為了了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生,則不同的抽樣結(jié)果有(

)D鏈高考2.(2023新高考Ⅰ,9)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則(

)A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于x1,x2,…,x6的標準差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差BD鏈高考3.(2024全國甲,理17,文18)某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造.升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗,數(shù)據(jù)如下:車間優(yōu)級品合格品不合格品合計甲車間2624050乙車間70282100合計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表:車間優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間

乙車間

依據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨立性檢驗,能否推斷甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?依據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,能否推斷甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5.設(shè)

為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果,則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù),能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后,該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了?α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解

(1)車間優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030零假設(shè)為H0:甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異.根據(jù)表中的數(shù)據(jù),因為3.841<χ2<6.635,所以依據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異,該推斷犯錯誤的概率不超過0.05;依據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,即甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異.鏈高考4.(2024天津,13)有A,B,C,D,E五種活動,甲、乙都要選擇三個活動參加,則甲選到A活動的概率為

;已知乙選了A活動,那么他再選擇B活動的概率為

.

鏈高考5.(2024北京,18)已知某險種的保費為0.4萬元,前3次出險每次賠付0.8萬元,第4次賠付0.6萬元.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣1000單,以頻率估計概率:(1)求隨機抽取一單,賠償不少于2次的概率;(2)(ⅰ)毛利潤是保費與賠償金額之差.設(shè)毛利潤為X萬元,估計X的數(shù)學期望;(ⅱ)若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%,已賠償過的增加20%.估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學期望.(ⅱ)設(shè)賠償金額為Y萬元,由(ⅰ)可知賠償金額的數(shù)學期望的估計值為E(Y)=0.4-E(X)=0.278.設(shè)保單下一保險期的保費為Z萬元,由題可知Z是一個離散型隨機變量,其可能的取值為0.384,0.48.用頻率估計概率,可知計值為E(Z)=0.384×0.8+0.48×0.2=0.403

2,所以保單下一保險期毛利潤的數(shù)學期望的估計值為E(Z)-E(Y)=0.125

2.鏈高考6.(2019浙江,7)設(shè)0<a<1,隨機變量X的分布列是則當a在(0,1)內(nèi)增大時,(

)A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大D鏈高考7.(2024新高考Ⅰ,9)為了解某種植區(qū)推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動出口后畝收入的樣本均值

=2.1,樣本方差s2=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(,s2),則(

)(若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8BC解析

由題意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7,∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,故A錯誤;P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,故B正確;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,故C正確,D錯誤.故選BC.考點一排列與組合問題例1(多選題)(2024山西晉中模擬)某中學的3名男生和2名女生參加數(shù)學競賽,比賽結(jié)束后,這5名同學排成一排合影留念,則下列說法正確的是(

)A.若要求2名女生相鄰,則這5名同學共有48種不同的排法B.若要求女生與男生相間排列,則這5名同學共有24種排法C.若要求2名女生互不相鄰,則這5名同學共有72種排法D.若要求男生甲不在排頭也不在排尾,則這5名同學共有72種排法ACD[對點訓練1](1)(2024浙江杭州二模)將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動,每名志愿者至少去一個社區(qū),每個社區(qū)至少1名志愿者,則不同的分配方法數(shù)是(

)A.300 B.240

C.150

D.50C(2)(多選題)(2024山東濰坊模擬)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列說法正確的是(

)A.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,那么不同的排法有24種B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種C.甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為82D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有20種ABD考點二二項式定理例2(1)(2024河北廊坊模擬)(n∈N*)的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項為(

)A.-160 B.-20 C.20 D.160A(2)(多選題)(2024廣東佛山模擬)若(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,則(

)A.a0=1B.a3=20C.2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0D.|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|ACD解析

將x=0代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(0-1)6=a0,解得a0=1,故A正確;(x-1)6的展開式的通項為Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3,所以a3=(-1)3=-20,故B錯誤;將x=2代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(2-1)6=a0+2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6,所以2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0,故C正確;將x=1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(1-1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,即a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,①將x=-1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(-1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64,②①+②得2(a0+a2+a4+a6)=64,所以a0+a2+a4+a6=32,①-②得2(a1+a3+a5)=-64,所以a1+a3+a5=-32,所以|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|,故D正確.故選ACD.[對點訓練2](1)(2024浙江金麗衢十二校一模)(1+x-y)5的展開式中含x2y的項的系數(shù)為(

)A.30 B.-30 C.10 D.-10B(2)(2024山東菏澤模擬)(x2+ax-1)(1-x)6的展開式中含x2的項的系數(shù)是-2,則實數(shù)a的值為(

)A.0 B.3 C.-1 D.-2D考點三古典概型例3“春雨驚春清谷天,夏滿芒夏暑相連;秋處露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中每句的開頭一字代表著季節(jié),每一句詩歌包含了這個季節(jié)中的6個節(jié)氣.若從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣,則這2個節(jié)氣恰好不在一個季節(jié)的概率為

.

解析

我們用A1,A2,…,A6表示春季的6個節(jié)氣,用B1,B2,…,B6表示夏季的6個節(jié)氣,用C1,C2,…,C6表示秋季的6個節(jié)氣,用D1,D2,…,D6表示冬季的6個節(jié)氣,則試驗的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),…,(A1,A6),(A1,B1),(A1,B2),…,(A1,B6),(A1,C1),(A1,C2),…,(A1,C6),(A1,D1),(A1,D2),…,(A1,D6),(A2,A3),(A2,A4),…,(A2,D6),(A3,A4),…,(A3,D6),…,(D5,D6)},共

=276(個)樣本點,且每個樣本點都是等可能的,所以這是一個古典概型.(方法一)設(shè)事件A=“這2個節(jié)氣恰好不在一個季節(jié)”,則A={(A1,B1),(A1,B2),…,(A1,D6),(A2,B1),(A2,B2),…,(A2,D6),…,(A6,D6),(B1,C1),(B1,C2),…,(B1,D6),…,(B6,D6),(C1,D1),(C1,D2),…,(C1,D6),…,(C6,D6)},(方法二)設(shè)事件A=“這2個節(jié)氣恰好不在一個季節(jié)”,B=“這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)”,則B={(A1,A2),(A1,A3),…,(A1,A6),(B1,B2),(B1,B3),…,(B1,B6),(C1,C2),(C1,C3),…,(C1,C6),(D1,D2),(D1,D3),…,(D1,D6)},延伸探究在本例條件下,若從24個節(jié)氣中任選3個節(jié)氣,求這3個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率.[對點訓練3](2023全國甲,文4)某校文藝部有4名學生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學生來自不同年級的概率為(

)解析

我們用A,B表示高一年級的2名學生,用C,D表示高二年級的兩名學生,則試驗的樣本空間Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6個樣本點,且每個樣本點都是等可能的,所以這是一個古典概型.設(shè)事件A=“這2名學生來自不同年級”,則A={(A,C),(A,D