2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上冊(cè)第四次素質(zhì)拓展數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上學(xué)期第四次素質(zhì)拓展數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知△ABC滿(mǎn)足2＝·＋·＋·，則△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形4．已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)，則b的值為（

）A．3 B． C．5 D．5．下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是：（

）①若，，為平面向量，則；②向量與垂直；③，，若與的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是④.記，則向量在向量上的投影向量為A．0 B．1 C．2 D．36．若一元二次不等式，的解集分別為、，、、、、、均不為0，、既不是也不是，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要7．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．定義域在R上的奇函數(shù).若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）.A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列不等式一定成立的有（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增11．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，三、填空題（本大題共3小題）12．已知是三角形的內(nèi)角，若，則．13．已知函數(shù)在處有極小值，則實(shí)數(shù)．14．圓與圓半徑分別為1和2，兩圓外切于點(diǎn)P，點(diǎn)A，B分別為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值，及取最小值時(shí)的x的值；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值.16．在平面四邊形中，.(1)求的長(zhǎng)；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.17．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.18．如圖，半圓的直徑為，為直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，，為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形.設(shè).(1)問(wèn)：在什么位置時(shí)，四邊形的面積最大，并求出面積的最大值.(2)克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求.(3)求面積的最大值.19．意大利畫(huà)家達(dá)芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線(xiàn)是什么?這就是著名的“懸鏈線(xiàn)問(wèn)題”，通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線(xiàn)可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類(lèi)比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系.(1)求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率；(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：(3)（i）證明：當(dāng)時(shí)，；（ii）證明.

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋裕?，，因?yàn)?，所以，故選：B2．【正確答案】C【詳解】根據(jù)函數(shù)過(guò)排除A;根據(jù)過(guò)排除B、D,故選C．3．【正確答案】C【詳解】由題意得，故∴，△ABC是直角三角形故選：C4．【正確答案】A【詳解】把代入直線(xiàn)中,得到,求導(dǎo)得：,所以,解得,把及代入曲線(xiàn)方程得：,則b的值為3.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】對(duì)于①，如，，，所以，，所以，而，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，故②正確；對(duì)于③，由題意，，且與不共線(xiàn)，即，解得且，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由，即，所以向量在向量上的投影向量為，故④正確.綜上，正確的為②④.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】若一元二次不等式，的解集分別為、，、、、、、均不為0，、既不是也不是，若，則，反之，若，則，例如，不等式的解集與不等式即的解集不一樣，因此“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．【正確答案】A【詳解】由題意可得,，，，．故A正確．考點(diǎn)：三角函數(shù)單調(diào)性．8．【正確答案】D【詳解】∵是定義域在R上的奇函數(shù)，∴，解得，檢驗(yàn)得時(shí)，是奇函數(shù)，∴，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得在R上為減函數(shù).由得，∴，即存在，使得，記，，則，，∵，∴，∴，∴，∴，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：D.9．【正確答案】AB【詳解】由，得，則，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，由基本不等式可得，由，等?hào)取不到，則，故B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．【正確答案】ACD【詳解】由圖可知：,且,故，，故，，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD11．【正確答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，由得，因?yàn)?，所以，兩邊取?duì)數(shù)得，，故，令，，故，由于在0,+∞上單調(diào)遞增，故，故，A正確；B選項(xiàng)，時(shí)，，故，故，令，，則，其中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)椴粏握{(diào)，故不一定等于，即不一定成立，B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)知，時(shí)，，，令，則有，不妨設(shè)，故，下面證明，先證不等式右邊，，令，即證，令，，則，故在上單調(diào)遞減，又，故，所以，即，，故，C正確；再證不等式左邊，，即證，令，即證，令，，則，故在1,+∞上單調(diào)遞減，又，故，故，即，所以，故，所以，D正確.故選：ACD12．【正確答案】【詳解】因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，則，且，即，所以，，可得，故.故答案為.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，而函?shù)在處有極小值，所以，故，解得或，當(dāng)時(shí)，，令f'x<0，，令f'故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在處有極大值，不符合題意，排除，當(dāng)時(shí)，，令f'x<0，，令f'故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在處有極小值，符合題意，故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖建系，圓，圓設(shè)，則，.故答案為.15．【正確答案】(1)當(dāng)，時(shí)，(2)【詳解】（1）由題意得，令得，，.（2）由將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到，再向右平移個(gè)單位，得到，則，，∵，∴，由得，∴，∴.16．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）在中，，由余弦定理可得，即，解得或；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，在中，因?yàn)?，所以，由，得，所以，所?17．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由且，當(dāng)，即，則，此時(shí)在上遞減；當(dāng)，即，則上，上，此時(shí)在上遞增，上遞減；綜上，時(shí)在上遞減；時(shí)在上遞增，在上遞減；（2）由（1）知：時(shí)，要證，即證，只需證在上恒成立，令且，則，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以，即在上恒成立，故時(shí)，得證.18．【正確答案】(1)時(shí)，四邊形的面積取得最大值為(2)(3)【詳解】（1）在中由余弦定理得，所以，，于是四邊形的面積為，當(dāng)，即時(shí)，四邊形的面積取得最大值為.（2）因?yàn)?，且為等邊三角形，，，所以，所以，即的最大值為，取等?hào)時(shí)，所以，不妨設(shè)，則，解得，所以，所以.（3）設(shè)，（，所以為銳角），在中，由正弦定理得，，，當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值為.19．【正確答案】(1)(2)(3)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1），則所以，可得在處的切線(xiàn)斜率為（2）令，則，下面證明：對(duì)任意恒成立,先證明：對(duì)任意.證明如下：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，繼續(xù)證明：對(duì)任意.證明如下：令，則，因此在0,+∞上單調(diào)遞增；所以，故當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，對(duì)，都有，函數(shù)Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則對(duì)，都有成立，不符合題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（