2024-2025學(xué)年北京市高二上冊(cè)期中考練習(xí)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題(含解析)_第1頁(yè)
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2024-2025學(xué)年北京市高二上學(xué)期期中考練習(xí)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1.空間直角坐標(biāo)系中,,則(

)A. B. C. D.2.已知直線m,n,l,平面,下列正確的是(

)A.若,則與異面 B.若,則C.若,則 D.若,則3.在四面體中,點(diǎn)是AB靠近的三等分點(diǎn),記,則(

)A. B.C. D.4.若圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積時(shí),圓錐軸截面頂角的度數(shù)為(

)A. B. C. D.5.已知直線m,n,平面,那么“”是“”的(

)A.充分必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6.在空間直角坐標(biāo)系中,直線的方向向量,點(diǎn)在直線上,點(diǎn)到直線的距離是(

)A. B. C. D.7.一個(gè)正棱錐,其側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的,這個(gè)正棱錐可能是(

)A.正三棱錐 B.正四棱錐 C.正五棱錐 D.正六棱錐8.正三棱錐中,為棱PA的中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別在棱PB,PC上,三角形周長(zhǎng)的最小值為(

)A. B. C. D.9.歇山頂是中國(guó)古代建筑傳統(tǒng)屋頂之一,它有一條正脊、四條垂脊和四條戧脊,將歇山頂近似看成如圖中的多面體,其上部為直三棱柱,,四邊形為矩形,平面平面,且平面,平面,則正脊末端與戧脊末端兩點(diǎn)間距離為(

A.4 B. C. D.10.如圖,正四面體的棱長(zhǎng)2,過(guò)棱AB上任意一點(diǎn)做與AD,BC都平行的截面,將正四面體分成上下兩部分,記,截面上方部分的體積為,則函數(shù)的圖象大致為(

B.

C.

D.

二、填空題11.已知,則.12.已知平面,直線,給出三個(gè)語(yǔ)句:①,②,③.從這三個(gè)語(yǔ)句中選取兩個(gè)做條件,剩下一個(gè)做結(jié)論,構(gòu)成一個(gè)真命題,該命題是:若,則.(只需填寫序號(hào))13.如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,平面,點(diǎn)在四棱錐表面上,且,則與底面的夾角為;點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度是.14.如圖,在正方體內(nèi),正方形EFGH中心與正方體中心重合,從前面觀察如圖所示,若棱長(zhǎng),則正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為.15.如圖,是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界),平面于,,,,給出下列四個(gè)結(jié)論:①四棱錐的體積是定值;②設(shè)平面與平面交于,則;③四棱錐的表面積既有最小值又有最大值;④存在點(diǎn),使得四棱錐的四個(gè)側(cè)面兩兩垂直.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題16.已知空間四點(diǎn).(1)求和的值;(2)若點(diǎn)在平面ABC內(nèi),請(qǐng)直接寫出的值.17.如圖,在直四棱柱中,底面為梯形,,其中是的中點(diǎn),是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成角的余弦值.18.如圖,四棱錐P-ABCD中,平面.

(1)若,求證:平面平面PCD;(2)若AD=DC,PB中點(diǎn)為,試問(wèn)在棱CD上是否存在點(diǎn),使,若存在,指出點(diǎn)位置,若不存在說(shuō)明理由;(3)若與平面PBC成角大小,求DC邊長(zhǎng).四、單選題19.如圖,在直三棱柱中,,則直線與直線所成的角為(

)A. B. C. D.20.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為,其中分別是棱的中點(diǎn),則到平面的距離是(

A. B. C. D.21.如圖1,在矩形中,,點(diǎn)在AB邊上,且.如圖2,將沿直線DE向上折起至位置,連結(jié).記二面角的大小為,當(dāng)時(shí),下面四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.存在某個(gè)位置,使B.存在某個(gè)位置,使平面平面C.存在某個(gè)位置,直線與平面所成角為D.存在某個(gè)位置,使平面與平面的交線與平面DEC平行22.光導(dǎo)纖維作為光的傳輸工具,在現(xiàn)代通訊中有著及其重要的作用,光纖由內(nèi)部纖芯和外部包層組成(如圖1),在一定的條件下,光在纖芯中傳輸,傳輸原理是“光的全反射”,即“入射角等于反射角”(如圖2),在圖3中近似的展示了一束光線在一段較長(zhǎng)的圓柱形光纖中的傳輸路徑,其中圓面是與光纖軸垂直的纖芯截面,若與圓所在平面成角的大小為,則光線路徑在垂直于光纖軸的截面上的投影可能(

)B.C.D.五、填空題23.直二面角,則;三棱錐外接球的體積是.24.已知正方體的棱長(zhǎng)為為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括邊界),為棱上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)),則的最小值是.25.如圖,某一個(gè)自行車停放時(shí),車體由尺寸相同的前后輪和腳撐來(lái)支撐,前后輪的軸中心分別為,,與地面接觸點(diǎn)分別為,,腳撐一端固定在后輪軸中心處,另一端與地面接觸于點(diǎn),若,兩點(diǎn)間距離為厘米,車輪外徑(直徑)為厘米,腳撐長(zhǎng)度等于車輪半徑,,則后車輪所在平面與地面的夾角(即二面角)的余弦值為.26.將半徑為1的半圓弧等分,從半徑的一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)依次連接各個(gè)分點(diǎn)至半徑的另一個(gè)端點(diǎn),得到折線,將折線繞半徑MN所在直線旋轉(zhuǎn),得到旋轉(zhuǎn)體(時(shí),如圖所示),設(shè)所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③最大值為;④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.27.已知正方體的棱長(zhǎng)分別為中點(diǎn),從開始沿射線DF運(yùn)動(dòng),做平面,垂足為,給出下列四個(gè)結(jié)論:①平面與平面夾角先增大后減小;②B1N最大值為4,并且先增大后減小;③存在N使得;④存在唯一的使得.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.28.蜜蜂分泌蜂蠟筑巢,蜂巢由許多中空的柱狀體連接而成,其中柱狀體的一端為正六邊形開口,另一端由三個(gè)全等的菱形拼成類似錐形的底部(如圖1),蜜蜂這樣筑巢能夠使得蜂巢空間不變的條件下,所用蜂蠟最少,為了揭開蜜蜂筑巢的數(shù)學(xué)秘密,研學(xué)小組利用正六棱柱去研究中空的柱狀體.設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為,高為定值(大于底面邊長(zhǎng)),底面中心分別為(如圖2),現(xiàn)將延長(zhǎng)至,平面PFB,,分別與棱交于,,,得到中空的柱狀體(如圖3).(1)比大?。核弥锌盏闹鶢铙w的體積原正六棱柱體積;(填“>”,“<”或“=”)(2)當(dāng)中空的柱狀體表面積最小時(shí),的取值是.答案:題號(hào)12345678910答案CDDDCBAADD題號(hào)19202122答案CDDD1.C【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得.故選:C2.D【分析】利用線線,線面,面面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若,則與異面或,故A錯(cuò)誤;若,則或,故B錯(cuò)誤;若,當(dāng)時(shí),可得,若,可能有,故C錯(cuò)誤;若,設(shè),在內(nèi)作直線,則,又,所以,又,所以,所以,故D正確.故選:D.3.D【分析】結(jié)合圖形,利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】解:點(diǎn)是AB靠近的三等分點(diǎn),.故選:D.4.D【分析】設(shè)圓錐底面半徑為,母線長(zhǎng),則圓錐的高為,可得,進(jìn)而可求線與底面所成的角,進(jìn)而可求結(jié)論.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為,母線長(zhǎng),則圓錐的高為,由圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積,所以可得,所以,解得,設(shè)母線與底面所成的角為,所以,,所以圓錐軸截面頂角的度數(shù)為.故選:D.5.C【分析】由可以推出,但由不能推出,選出答案.【詳解】當(dāng)時(shí),由于,可以得到,充分性成立,但不能推出,因?yàn)榭赡茉趦?nèi),必要性不成立.故選:C6.B【分析】根據(jù)直線的方向向量為,取直線的一個(gè)單位方向向量為,計(jì)算,代入空間中點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為,所以取直線的一個(gè)單位方向向量為,由,,可得,所以,,所以.故選:B.7.A【分析】根據(jù)正棱錐性質(zhì)分別求得正三棱錐、正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)至少需是底面邊長(zhǎng)的倍數(shù),即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為,由正三角形性質(zhì)可得頂點(diǎn)到三角形中心的距離為,因此正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)要大于,即側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)的倍,易知,因此可能是正三棱錐,即A正確;設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,易知正方形對(duì)角線的一半為,因此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)要大于,即側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)的倍,易知,所以B錯(cuò)誤;以此類推可知正五棱錐、正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都大于底面邊長(zhǎng)的倍,即CD不合題意.故選:A8.A【分析】將正三棱錐的三個(gè)側(cè)面展開到同一平面內(nèi),連接,則的長(zhǎng)即為三角形周長(zhǎng)的最小值,由勾股定理求出答案.【詳解】如圖所示,將正三棱錐的三個(gè)側(cè)面展開到同一平面內(nèi),對(duì)應(yīng)于,點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn),連接,分別交于點(diǎn),故,則的長(zhǎng)即為三角形周長(zhǎng)的最小值,其中,,由勾股定理得.故選:A9.D【分析】根據(jù)正三棱柱性質(zhì)以及線面關(guān)系利用相似比以及勾股定理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意截取歇山頂右半部分作為示意圖,連接,延長(zhǎng)分別交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),如下圖所示:

由平面,平面所以可得,且平面,由正三棱柱性質(zhì)可得,且,又可得,利用勾股定理可得,可得.故選:D10.D【分析】根據(jù),求出函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)切線斜率的變化.【詳解】

設(shè)截面分別于交于點(diǎn),連接,取的中點(diǎn),連接,分別交于點(diǎn),交于點(diǎn),由于,平面,所以平面,而平面,所以,又平面,平面,平面平面,所以,同理,,,所以,則四邊形為矩形,平面平面,所以,則為的中點(diǎn),又,則,則,平面,所以平面,則點(diǎn)到平面的距離為,因?yàn)?,則,在中,,又,則,即,則,所以,而正四面體的高,所以,則,當(dāng)x∈0,1時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,則在0,1切線斜率增大,在切線斜率減小,故選擇圖象D.故選:D關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù),求出函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)切線斜率的變化,即可判斷出圖象.11.【分析】根據(jù)向量共線定理即可求得.【詳解】根據(jù)題意:,因?yàn)?,則,即,則,解得:,則.故答案為.12.②③①【分析】利用線面位置關(guān)系以及平行、垂直性質(zhì)判斷可得結(jié)論.【詳解】若①,②可得或,即①②推不出③;若①,③,可能出現(xiàn)的情況,因此①③推不出②;若②,③,可得①,即②③可以推出①.故②③;①13.【分析】由已知可得為與底面所成的角,求解即可;取的中點(diǎn),連接交于,連接,可證平面,可得點(diǎn)所形成的軌跡為線段,計(jì)算可求軌跡長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)槠矫?,所以為與底面所成的角,又底面為菱形,,,所以,在中,由余弦定理可得,在中,,所以;取的中點(diǎn),連接交于,連接,由底面為菱形,所以且為的中點(diǎn),所以,所以平面,平面,又平面,所以,又,平面,所以平面,又,點(diǎn)在四棱錐表面上,所以點(diǎn)所形成的軌跡為線段,由,,所以可得是等邊三角形,所以,易求得,,在中,由余弦定理可得,在中,由余弦定理可得,所以,易證,從而可得,所以點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度是.故;.14.【分析】依題意正棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為,高為,上底面邊長(zhǎng)為,從而求出上、下底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度,再由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】依題意可得正棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為,高為,在前面觀察圖形(如下圖所示)中可知即為上底面邊長(zhǎng),,則,作交于點(diǎn),則為的中點(diǎn),所以,則,所以上底面邊長(zhǎng)為,則下底面正方形的對(duì)角線為,上底面正方形的對(duì)角線為,所以正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為.故15.①②【分析】根據(jù)棱錐體積公式可求得①正確;根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證得②正確;根據(jù)垂直關(guān)系可用的長(zhǎng)度表示出各個(gè)側(cè)面的面積,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和的最值問(wèn)題,可知③錯(cuò)誤;以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn),利用向量法可說(shuō)明不存在,由此知④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①,,①正確;對(duì)于②,,平面,平面,平面,平面平面,平面,,②正確;對(duì)于③,取中點(diǎn),連接,平面,,,,又四邊形正方形,,,即三點(diǎn)共線;,,平面,又平面,;設(shè),則,,,;過(guò)作,分別交于點(diǎn),,,平面,又平面,,同理可得:;,,,又,四棱錐的表面積;的幾何意義表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和,關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為,,無(wú)最大值,即四棱錐的表面積有最小值,無(wú)最大值,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,以為坐標(biāo)原點(diǎn),正方向?yàn)檩S正方向,可建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,令,解得:,,;設(shè)平面的法向量,則,令,解得:,,;設(shè)平面的法向量,則,令,則,,;若四棱錐的四個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直,則平面,平面,平面兩兩互相垂直,,方程組無(wú)解,不存在點(diǎn),使得四棱錐的四個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直,④錯(cuò)誤.故①②.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解,求解四棱錐表面積最值的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)最值的求解,進(jìn)而通過(guò)其幾何意義進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問(wèn)題的求解.16.(1),(2)【分析】(1)利用向量的線性運(yùn)算可求得,利用,可求;(2)由已知可得,根據(jù)向量共面的充要條件得出方程組,求解即可得出答案.【詳解】(1)且,,,..即;(2)由(1)知,又,因?yàn)辄c(diǎn)在平面ABC內(nèi),共面,所以根據(jù)向量共面的充要條件可知,存在,使,所以,解得.17.(1)證明見解析(2)【分析】(1)連結(jié),設(shè),通過(guò)證明四邊形為平行四邊形,可得,可證結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法可求平面與平面所成角的余弦值.【詳解】(1)平面,證明如下:連結(jié),設(shè),由四棱柱,知四邊形為平行四邊形,所以為中點(diǎn),又是BC的中點(diǎn),所以,所以四邊形為平行四邊形,所以又平面平面,所以平面(2)因?yàn)橹彼睦庵?,所以平面ADC,又,所以兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)椋?,,設(shè)平面法向量,則,即,令,則,所以又平面法向量為,設(shè)平面與平面成角為,則.18.(1)證明見解析(2)不存在,理由見解析(3)【分析】(1)利用勾股定理以及線面垂直及面面垂直的判定定理證明可得結(jié)論;(2)利用空間向量的位置關(guān)系證明,建立空間直角坐標(biāo)系即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)線面角的向量求法得出表達(dá)式,解方程即可得出DC邊長(zhǎng).【詳解】(1)因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,所以,又,所以又平面PAD所以平面PAD,又平面PCD,所以平面平面PCD.(2)因?yàn)槠矫?,所以AP,AB,AC兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè),則,則設(shè),,假設(shè)存在滿足,因?yàn)榈葍r(jià)于,解得,所以不存在(3)因?yàn)椋裕?/p>

,設(shè),其中,又,,設(shè)平面PBC法向量,依題意,即令則,所以,因?yàn)镻D與平面PBC成角大小,所以或,即又,此方程組無(wú)解綜上可得.19.C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積求向量夾角,即可確定異面直線與直線所成的角.【詳解】,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,所以,又,所以,因此直線與直線所成的角為.故選:C.20.D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖,以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為,所以,因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn),所以,,,所以,,,設(shè)面的法向量為,到平面的距離是,所以,,令,解得,故為平面的一個(gè)法向量,由點(diǎn)到平面的距離公式得,故D正確.故選:D21.D【分析】根據(jù)面面垂直與線面垂直的性質(zhì)與判定,結(jié)合線面角的定義,逐項(xiàng)檢驗(yàn),可得答案.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),平面平面,因?yàn)槠矫嫫矫?,,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),由A可知平面,因?yàn)槠矫?,所以平面平面,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),由A可知平面,在矩形中,,已知直線與平面所成角等于,在中,,,則,可得,易知,故C正確;對(duì)于D,設(shè)平面平面,假設(shè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,所以,,由圖可知與不平行,則此與假設(shè)矛盾,故D錯(cuò)誤.故選:D.22.D【分析】過(guò)作圓于,連接,設(shè),圓的半徑為,,由已知可得,利用余弦定理可求得,從而可得結(jié)論.【詳解】過(guò)作圓于,連接,所以為直線與圓所在平面所成的角,與圓所在平面成角的大小為,則,又圓,所以,,所以,設(shè),因?yàn)闉辄c(diǎn)處的法線,則由反射定律可知,由,所以,所以,解得,設(shè),圓的半徑為,所以,,,在中,由余弦定理可得,解得,所以為等邊三角形,所以,所以光線路徑在垂直于光纖軸的截面上的投影可能故選:D.23.【分析】依題意中各線段長(zhǎng)度并根據(jù)面面垂直性質(zhì)以及線面垂直性質(zhì)可得,易得三棱錐外接球的球心在線段的中點(diǎn)處,求得外接球半徑可得體積.【詳解】取的中點(diǎn)為,連接,如下圖所示:由可知,可得,又的中點(diǎn)為可得,且又因?yàn)橹倍娼牵矫嫫矫?,所以平面;由平面,所以,由可得,所以,因此,可得;顯然點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等且為1,因此即為三棱錐外接球的球心;即三棱錐外接球的半徑為1,可得其體積為.故,24.【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量,求出的表達(dá)式,即可得到答案.【詳解】如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn),設(shè)點(diǎn),所以,因?yàn)辄c(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括邊界),為棱上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)),所以,因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,且,所以,顯然當(dāng)取最大值且時(shí),上述解析式的值最小,所以當(dāng)時(shí),的值最小,最小值為.故答案為.25.【分析】根據(jù)二面角的平面角定義,作圖,利用線面垂直以及面面垂直的判定與性質(zhì),結(jié)合余弦和角公式以及直角三角形,可得答案.【詳解】由題意,在平面內(nèi)作交的延長(zhǎng)線于,在平面內(nèi)作,垂足為,連接,取線段的中點(diǎn)為,連接,作圖如下:因?yàn)?,,平面,,所以平面,因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?,因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?,,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,在與中,由題意可知,,,則全等于,所以,在中,由為中點(diǎn),則,由,則,在中,,則,可得,則,已知,在中,,由圖可得為二面角的平面角,則.故答案為.26.①②④【分析】將所求旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)化為圓錐與圓臺(tái)的表面積之和求解.利用誘導(dǎo)、二倍角與積化和差等公式,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)構(gòu)造直角三角形,分別求解弦長(zhǎng)(母線長(zhǎng))、各圓錐(臺(tái))的底面半徑,進(jìn)而求解化簡(jiǎn),再依選項(xiàng)分析判斷即可得.【詳解】由題意可知,所得旋轉(zhuǎn)體由上下兩圓錐與中間若干圓臺(tái)組成.如圖1,取的中點(diǎn),則,由題意可知,.在中,,則各圓錐與圓臺(tái)的母線長(zhǎng),如圖2,連接,同理可得,.設(shè)自上而下各底面圓半徑依次為,則;同理可得,,故所得旋轉(zhuǎn)體的表面積,故④正確;對(duì)①,當(dāng)時(shí),故①正確;對(duì)②,由,則,由已知,得,則,故,即故②正確;對(duì)③,由,可知,又當(dāng),則,故無(wú)最大值,即③錯(cuò)誤.故①②④.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決此題的關(guān)鍵有兩點(diǎn),一是利用割補(bǔ)法,將組合體體積轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體體積的和差來(lái)求解;二是表面積運(yùn)算求解中,通過(guò)積化和差公式的變形,進(jìn)而裂項(xiàng)相消達(dá)到化簡(jiǎn)求和目的.27.①②【分析】作出截面即可判斷①的正誤;確定點(diǎn)N的軌跡即可判斷②的正誤;若,則點(diǎn)平面,結(jié)合②的結(jié)論可得平面與平面重合,可判斷③的正誤;若,則點(diǎn)在以為直徑的球面上,球面與平面的交線為以為圓心,以為半徑的圓,結(jié)合點(diǎn)在以為直徑的圓上,再判斷與的大小即可判斷④的正誤.【詳解】解:對(duì)于①,取中點(diǎn),連接,設(shè),易證共面且平面平面,所以當(dāng)從開始沿射線DF運(yùn)動(dòng)時(shí)平面與平面夾角先增大后減小,當(dāng)平面與平面重合時(shí)兩面夾角為直角且最大,故①正確;對(duì)于②,取中點(diǎn),取中點(diǎn),連接,設(shè),,在正方形中,可證明,又因?yàn)槠矫?,所以,又因?yàn)椋云矫?,所以平面平面過(guò)點(diǎn)作,設(shè),所以平面平面,因?yàn)槠矫?,所以垂足在直線上且,當(dāng)從開始沿射線DF運(yùn)動(dòng),均在

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