2024-2025學(xué)年北京市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題1．已知直線與平行，則系數(shù)（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．3．在三棱錐中，等于（

）A． B． C． D．4．若過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或45．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，，則直線與平面所成角的大小為（

）A． B． C．6 D．7．已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．78．“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)，變化時(shí)，直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個(gè)正方形和兩個(gè)等腰直角三角形組成.若，，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播臺(tái)，理想方案是轉(zhuǎn)播臺(tái)距五邊形各頂點(diǎn)距離的平方和最小，圖中是的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺(tái)應(yīng)建在（

）A．處 B．處 C．處 D．處二、填空題11．直線與圓的位置關(guān)系是．12．已知圓與圓內(nèi)切，則.13．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上，則a＝.14．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.15．定義：若對(duì)平面點(diǎn)集中的任意一點(diǎn)，總存在正實(shí)數(shù)，使得集合，則稱為一個(gè)“開(kāi)集”．給出下列集合：①；②；③；④．其中為“開(kāi)集”的是．三、解答題16．已知直線：．(1)當(dāng)時(shí)，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后過(guò)原點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程；(2)求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；(3)當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，寫出此時(shí)直線的方程（直接寫出結(jié)果）．17．已知橢圓及直線．(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)；(3)求直線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC交BD于點(diǎn)O，，．點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，連接OE，OP．(1)求證：平面PCD；(2)若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為，再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求線段OP的長(zhǎng)．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．已知圓和圓，直線與圓相切于點(diǎn)，圓的圓心在射線上，圓過(guò)原點(diǎn)，且被直線截得的弦長(zhǎng)為．（1）求直線的方程；（2）求圓的方程．20．橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn).若四邊形為平行四邊形，求直線的方程.21．已知有限集X，Y，定義集合，表示集合X中的元素個(gè)數(shù).（1）若，求集合和，以及的值；（2）給定正整數(shù)n，集合，對(duì)于實(shí)數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合①求證：；②求的最小值.答案：題號(hào)12345678910答案BACACAAABA1．B【分析】由直線的平行關(guān)系可得，解之可得．【詳解】解：直線與直線平行，，解得．故選：．2．A【分析】根據(jù)垂直關(guān)系確定斜率，結(jié)合圓心坐標(biāo)并應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】由直線與直線垂直，故所求直線斜率為1，又經(jīng)過(guò)圓的圓心，故所求直線為，所以所求直線方程為.故選：A3．C【分析】應(yīng)用向量加減法法則化簡(jiǎn).【詳解】由.故選：C4．A【分析】根據(jù)斜率公式即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得.故選：A.5．C【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合，即可求解.【詳解】由條件可知，，，，所以，得，故選：C6．A【分析】根據(jù)線面角定義找到直線與平面所成角的平面角，結(jié)合已知求其大小.【詳解】由題設(shè)知，直三棱柱底面為等腰直角三角形，且，，若是中點(diǎn)，連接，則，且，由面面，面，面面，所以面，則直線與平面所成角為銳角，且面，則，由題意，在中，則，故.故選：A7．A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.8．A【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出a的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義解出.【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為1，設(shè)圓心到直線的距離為則，解得：或.由此可知，“”是“或”的充分不必要條件，故選：A.9．B【分析】將點(diǎn)代入直線方程中得出點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合圖像分析即可求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則表示圓心為，半徑為1的圓上的點(diǎn)，如圖：

由圖可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率得到最值，設(shè)，由圓與直線相切，故有圓心到直線的距離為半徑1，即，解得：，由圖分析得：直線的斜率的取值范圍是.故選：B.10．A【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)轉(zhuǎn)播臺(tái)建在處，可將表示為的形式，即，由此可確定當(dāng)且時(shí)距離平方和最小，由此可確定轉(zhuǎn)播臺(tái)位置.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)轉(zhuǎn)播臺(tái)建在處，則，當(dāng)且時(shí)，最小，轉(zhuǎn)播臺(tái)應(yīng)建在處.故選：A.11．相離【分析】確定圓心和半徑，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可得答案.【詳解】由的圓心為，半徑為1，圓心到的距離，所以直線與圓相離.故相離12．【分析】利用兩圓內(nèi)切的定義表達(dá)式即可求得.【詳解】由圓知圓心為半徑為由圓知圓心為,半徑為因兩圓內(nèi)切，故，即，解得：故13．-2【詳解】經(jīng)分析知，直線經(jīng)過(guò)圓C的圓心，而圓C的圓心坐標(biāo)為，所以有．14．【詳解】點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P′C＝＝.15．②④【分析】根據(jù)開(kāi)集的定義逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】①表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，則在該圓上任意取點(diǎn)，以任意正實(shí)數(shù)為半徑的圓面，均不滿足故①不是開(kāi)集；②，在平面點(diǎn)集中的任取一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)到直線的距離為，取，則滿足，故該集合是開(kāi)集；③，在曲線任意取點(diǎn)，以任意正實(shí)數(shù)為半徑的圓面，均不滿足，故該集合不是開(kāi)集；④，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點(diǎn)集中的任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為，取，則滿足，故該集合是開(kāi)集．故②④.本題屬于集合的新定義型問(wèn)題，考查學(xué)生即時(shí)掌握信息、解決問(wèn)題的能力，正確理解開(kāi)集的定義是解決本題的關(guān)鍵．16．(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）令是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，利用垂直和中點(diǎn)在直線上求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線方程；（2）將直線寫成，可求定點(diǎn)，即可證；（3）由題設(shè)易知，利用垂直及點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】（1）由題設(shè)，令是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，可得，故，由題意，反射光線過(guò)和原點(diǎn)，所以反射光線所在直線方程為.（2）由直線可改寫為，聯(lián)立，可得，將點(diǎn)代入原直線方程，顯然成立，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，得證.（3）當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，此時(shí)，由，則，故，整理得.17．(1)；(2)；(3)且.【分析】（1）聯(lián)立橢圓與直線得一元二次方程，利用求參數(shù)范圍；（2）根據(jù)題設(shè)條件求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求弦長(zhǎng)；（3）應(yīng)用韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo)，即可得軌跡方程.【詳解】（1）聯(lián)立直線與橢圓，可得，整理得，由直線與橢圓有公共點(diǎn)，故，可得.（2）由題設(shè)及（1），聯(lián)立直線與橢圓得，則或，而直線為，當(dāng)有，當(dāng)有，所以弦長(zhǎng)為.（3）由（1）有，令直線與橢圓交點(diǎn)為，所以，則，故中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，則，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，即且.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以是中點(diǎn)，因?yàn)镋是棱PA的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍼CD,平面PCD,所以平面PCD.（2）選擇條件①:因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以,所以設(shè)所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得所以取，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為,平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為,所以，所以所以，所以，因?yàn)?，所以，所?所以線段OP的長(zhǎng)為.選擇條件②:因?yàn)?在菱形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以,所以設(shè)所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得所以取，所以，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為,平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為,所以，所以所以，所以，因?yàn)?，所以，所?所以線段OP的長(zhǎng)為.19．（1）；（2）【分析】（1）由題可求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程即可；(2)設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，得出圓的方程.【詳解】（1）由題意知：直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為-1，故直線的方程為（2）根據(jù)題意設(shè)：的圓心坐標(biāo)為圓的半徑，圓心到直線的距離為，

解得：（舍）或．圓的半徑圓心圓的方程為20．(1)；(2)或【分析】（1）直接由頂點(diǎn)和離心率求出橢圓方程即可；（2）設(shè)，由表示出直線的斜率，進(jìn)而寫出直線的方程，聯(lián)立橢圓求出弦長(zhǎng)，由求出，即可求得直線的方程.【詳解】（1）由題意知：，則，故橢圓的方程為；（2）設(shè)，又，故，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，顯然，，則，又，由，可得，解得或，故直線的方程為或.21．（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①見(jiàn)解析；②【分析】（1）直接根據(jù)定義求解即可；（2）①分若A∪B中含有一個(gè)不在S中的元素和，且，兩種情況討論即可，當(dāng)，且時(shí)，可通過(guò)得證；②結(jié)合①知，討論若，或，得，若，且，設(shè)，，可證得的最小