2024-2025學(xué)年北京市順義區(qū)高二上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市順義區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共10小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．橢圓：的焦點坐標(biāo)為（

）A．， B．，C．， D．，3．如果直線與直線垂直，那么的值為（

）A． B． C． D．24．對于圓：，下列說法正確的為（

）A．點圓的內(nèi)部 B．圓的圓心為C．圓的半徑為 D．圓與直線相切5．已知甲、乙兩名同學(xué)在高二的6次數(shù)學(xué)周測的成績統(tǒng)計如圖，則下列說法不正確的是（

）A．甲的中位數(shù)低于乙的中位數(shù)B．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則C．甲成績的極差小于乙成績的極差D．甲成績比乙成績穩(wěn)定6．已知直線：和直線：，則與間的距離最短值為（

）A．1 B． C． D．27．已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．148．已知直線：，曲線：，則“與相切”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知點，，圓：，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．如圖，在棱長為1的正方體中，點是該正方體對角線上的動點，給出下列四個結(jié)論：①；

②面積的最小值是；③只存在唯一的點，使平面；

④當(dāng)時，平面平面．其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（本大題共5小題）11．過點且與直線平行的直線方程為．12．已知，兩組數(shù)據(jù)，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；組數(shù)據(jù)的方差為，若，兩組數(shù)據(jù)的方差相同，試寫出一個值．13．橢圓的離心率，過右焦點作直線交橢圓于A、兩點，是橢圓的左焦點，則的周長為．14．已知直線：與圓：交于A，兩點，當(dāng)最短時的值為．15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線：就是其中之一．給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；②曲線恰好經(jīng)過8個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；③曲線上任意一點到原點的距離的最小值為2；④曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共6小題）16．已知的頂點為，，，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程．17．如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，．(1)求直線與平面所成角的大?。?2)求點到平面的距離．18．圓（圓心為整數(shù)點）經(jīng)過，，且滿足_________①與直線相切

②經(jīng)過點C?2,0

③圓心在直線上．請從以上三個條件中選擇一個條件填到橫線上完成下列問題(1)求圓的方程；(2)過點的直線被圓截得的弦長為6，求直線的方程．19．科技發(fā)展日新月異，電動汽車受到越來越多消費者的青睞．以下是A，兩地區(qū)某年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，20年1月至12月A，兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月地區(qū)（單位：萬輛）29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2地區(qū)（單位：萬輛）7.88.88.18.39.210.19.79.910.49.48.910.1月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8月銷量比是指：該月A地區(qū)電動汽車市場的銷售量與地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）．(1)地區(qū)根據(jù)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟和人口情況制定了月銷售評價表月銷售量（萬輛）評價不合格合格良好優(yōu)秀特優(yōu)在該年1月至12月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取1個月，求該月銷售評價達到“優(yōu)秀”的概率；(2)從該年1月至6月中隨機抽取2個月，求在這2個月中月銷量比均超過6.0的概率；(3)記該年1月至12月A，兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）20．如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面，為中點．(1)平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在一點，使∥平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值．21．已知圓：與直線相切．(1)求出；(2)設(shè)點為直線上一動點，若在圓上存在點，使得，求的取值范圍；(3)若過點做兩條互相垂直的直線交圓于，兩點，判斷直線是否恒過定點，若存在定點，求出定點坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意知：，即，則直線的斜率，所以，又因為，所以.故選：C.2．【正確答案】B先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，判斷焦點位置，寫焦點坐標(biāo).【詳解】因為橢圓：，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為，解得，因為焦點在y軸上，所以焦點坐標(biāo)為，.故選：B本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．【正確答案】D【詳解】因為直線與直線垂直，則，解得.故選：D.4．【正確答案】A【詳解】對于A，將點代入圓C中，得，所以點圓C的內(nèi)部，故A正確；對于B，C，由，得，所以圓的圓心為，半徑為，故B，C錯誤；對于D，由圓心到直線的距離為，所以，即，所以圓與直線相離，故D錯誤.故選：A.5．【正確答案】A【詳解】對于A：由折線圖可知，甲的中位數(shù)大于90，乙同學(xué)的中位數(shù)小于90，所以甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)，故A錯誤；對于B，由折線圖可知，甲同學(xué)的平均成績高于乙同學(xué)的平均成績，B正確；對于C，由折線圖可知，甲成績的極差小于乙成績的極差，C正確；對于D，由折線圖可知，甲成績波動性小于乙成績的波動性，所以甲成績比乙成績穩(wěn)定，D正確.故選：A.6．【正確答案】C【詳解】因為直線：即為，可知直線與直線平行，則與間的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以與間的距離最短值為.故選：C.7．【正確答案】B【詳解】設(shè)圓心為，，則，可知點的軌跡為以為圓心，半徑的圓，且，即點O0,0在圓外，所以圓心到原點的距離的最小值為.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】易知曲線：可化為，表示圓心為，半徑的上半圓；易知直線可化為，當(dāng)時，圓心到直線的距離為，此時與下半圓相切，如下圖所示，不合題意，即必要性不成立；若與相切，可知，解得或；檢驗可知只有當(dāng)時，直線與相切，即可得，所以充分性不成立；所以“與相切”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D9．【正確答案】B【詳解】因為，可知點的軌跡是以為直徑的圓（除外），即圓心為，半徑的圓，且圓：的圓心為，半徑，由題意可知：圓與圓有公共點，則，即，且m>0，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.10．【正確答案】B【詳解】對于①：連接，

在正方體中，平面，平面，則，又，平面，平面，則平面，又平面，則，故①正確；對于②：設(shè)交于，連接.由平面，得，所以，在中，當(dāng)時，最小，又，，，，此時，因此面積的最小值為，故②錯誤；對于③：連接，由①知，平面，又平面，所以，同理，因為，平面，平面，因此平面，當(dāng)點為直線與平面的交點時，平面，由于過一點A有且只有一個平面垂直于已知直線，于是過直線與直線垂直的平面有且只有一個，所以存在唯一的點，使平面，故③正確；對于④：當(dāng)時，在中，，，則，即，則，又，平面，平面，所以平面，即平面，由①同理可知，，且平面，平面，因此平面，則平面平面，故④正確，故選：B.11．【正確答案】【詳解】由直線方程，則可設(shè)其平行線的方程為，由平行線過，則，解得b=4，所以方程為，故答案為.12．【正確答案】210或15【詳解】組的平均數(shù)，組的平均數(shù)，則組的方差為，則組的方差為，解得或15.故2；10或15.13．【正確答案】16【詳解】由橢圓方程可知：，所以橢圓的離心率；所以的周長.故；16.14．【正確答案】1【詳解】因為直線：，即，可知直線過定點，圓：的圓心為，半徑，可知當(dāng)時，AB取到最短，此時.故答案為.15．【正確答案】①②④【詳解】對于①，將點代入可得，，依舊滿足該方程，故曲線E關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，即①正確；對于②，由可得，令，有，解得；令，有，解得；令，有，此時方程無整數(shù)解；令，有，解得；即曲線恰好經(jīng)過，共8個整點，即②正確；對于③，由②可知在曲線上，該點到原點的距離為，即③錯誤；對于④，將點代入可得，，可知曲線關(guān)于軸對稱，令點在曲線上，且該點在第一象限，則，即，故，令，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，整理可得，因式分解可得，由可知，即必有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故除了點在直線上以外，點都恒在直線的上方；直線與坐標(biāo)軸的交點為，則直線與坐標(biāo)軸圍成的面積為，可知曲線在第一象限部分與坐標(biāo)軸圍成的面積大于，再由曲線關(guān)于原點對稱且關(guān)于軸對稱，故可知曲線所圍成的區(qū)域的面積大于．可知④正確.故①②④16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以邊所在直線的方程為，即.（2）由（1）可知：直線的斜率，則高的斜率，所以高所在直線的方程，即.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）以點為原點，以向量為軸的方向向量，建立空間直角坐標(biāo)系，A0,0,0，，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則，即，可取法向量設(shè)直線與平面所成角為，所以,則，所以直線與平面所成角的大小為；（2）因為，則，由（2）可知，直線與平面所成角的大小為，所以點到平面的距離為.18．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為，的中點為，且，則線段的中垂線方程為，即，可設(shè)圓心，則.若選①：因為圓與直線相切，注意到位于直線的同側(cè)，則，解得，則，整理可得，解得或（舍去），即圓心，半徑，所以圓的方程為；若選②：因為圓經(jīng)過點，則，解得，即圓心，半徑，所以圓的方程為；若選③：因為圓心在直線上，則，解得，即圓心，半徑，所以圓的方程為.（2）因為直線l被圓C截得的弦長為6，則圓心到所求直線的距離為.當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l方程為，滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l為：，即，則，解得，此時直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)事件C為“該月銷售評價達到“優(yōu)秀””，B地區(qū)達到“優(yōu)秀”的月份為5月、6月、7月、8月、9月、10月、12月，共7個月，所以.（2）該年1月至6月中隨機抽取2個月，則樣本空間為，可得，設(shè)事件D為“這2個月中月銷量比均超過6.0的”，則，可得，所以.（3）A地區(qū)銷售量最低有29.4萬輛，最高有89.2萬輛，數(shù)據(jù)波動較大；相比之下B地區(qū)銷售量最低有7.8萬輛，最高有10.4萬輛，數(shù)據(jù)波動幅度較小，變化較為平穩(wěn)；故.20．【正確答案】(1)證明見詳解(2)(3)存在，【詳解】（1）因為，為中點，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得由題意可知：平面的法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）線段上是否存在一點，使