2024-2025學(xué)年廣東省陽(yáng)江市高二上冊(cè)1月期末測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省陽(yáng)江市高二上學(xué)期1月期末測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，，故選：B2.已知，，，則的最小值為（）A. B.1 C.0 D.【正確答案】B【分析】由題設(shè)，且，應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選：B3.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A.9 B.3 C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)求出，即可求出函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，則，所以，則，所以.故選：A4.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1，另一個(gè)實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合已知作出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖則有，解得.故選：C.5.已知，則＝（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.【詳解】.故選：D6.已知向量，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、夾角公式求解.【詳解】，，，，，.故選：A7.某圓錐母線長(zhǎng)為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過(guò)該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A.4 B.2 C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，連接SO，得到，得到的夾角為90°時(shí)，的面積最大，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，連接SO，由圓錐的母線長(zhǎng)為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形可知圓錐的高，底面圓半徑為，設(shè)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，連接BC，OC，則，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，即最大時(shí)，即的夾角為90°時(shí)，的面積最大，此時(shí)的面積為8，且，取中點(diǎn)，連接，則，在直角中，可得，所以的面積為，設(shè)圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h，則由可得，即，解得，所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為．故選：D．8.已知是表面積為的球表面上的四點(diǎn)，球心為的內(nèi)心，且到平面的距離之比為，則四面體的體積為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)題意分析可知是邊長(zhǎng)為等邊三角形，點(diǎn)在底面的投影在直線上，建系，設(shè)，，利用空間向量結(jié)合點(diǎn)到面的距離可得，進(jìn)而可求體積.【詳解】由題意可知：球心既是的內(nèi)心，也是的外心，則為等邊三角形，設(shè)球的半徑為，則，解得，由正弦定理可得，即的邊長(zhǎng)為，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x相等，由對(duì)稱可知：點(diǎn)在底面的投影在直線上，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸所在直線，為y軸所在直線，過(guò)作底面的垂線為z軸所在直線，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，不妨設(shè)平面的法向量依次為，且，則O到平面的距離依次為，可得，整理得，因?yàn)?，設(shè)，，則，則，解得，則，解得，則，即點(diǎn)到底面的距離為，所以四面體的體積為.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.分析可知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)在底面的投影在直線上；2.巧妙設(shè)點(diǎn)或向量，方便分析計(jì)算.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.若，則面積的最大值為B.若，則面積的最大值為C.若角內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，且，則面積的最大值為3D.若為的中點(diǎn)，且，則面積的最大值為【正確答案】BCD【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面積公式可判斷AB；根據(jù)角平分線的性質(zhì)及余弦定理，結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷C，根據(jù)余弦定理結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷D.【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，，在和中，分別運(yùn)用正弦定理，得和.因?yàn)?，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為3，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，解得，則，所以，所以當(dāng)即時(shí)，，D正確.故選：BCD.方法點(diǎn)睛：本題以三角形中的邊角關(guān)系為背景設(shè)置了求三角形面積的最大值問(wèn)題．求解時(shí)，先運(yùn)用余弦定理求得邊角關(guān)系，再建立三角形的面積函數(shù)，進(jìn)而借助基本不等式或二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析探求出其最大值使得問(wèn)題獲解.10.已知函數(shù)，則（）A.是上的奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，的解集為C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椤菊_答案】ABD【分析】對(duì)于A，直接由奇函數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于B，直接分類討論解絕對(duì)值不等式即可判斷；對(duì)于C，舉出反例，推翻C選項(xiàng)；對(duì)于D，通過(guò)令換元法，然后再分類討論求出的值域即可判斷.【詳解】對(duì)于A，首先的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次，即是上的奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以或，解得或，即當(dāng)時(shí)，的解集為，故B正確；對(duì)于C，不妨取，此時(shí)，對(duì)，有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，即值域?yàn)?故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于AC選項(xiàng)的判斷比較常規(guī)，直接由定義即可判斷，對(duì)于B，注意分類討論解決速度最快了，對(duì)于D，通過(guò)換元令，這樣就不要分或進(jìn)行討論了.11.已知函數(shù)，則下列正確的有（）A.函數(shù)在上為增函數(shù) B.存在，使得C.函數(shù)的值域?yàn)?D.方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【正確答案】ABD【分析】首先去絕對(duì)值，依次判斷函數(shù)的單調(diào)性和值域，再求解的方程，再利用數(shù)形結(jié)合判斷D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，若，則，即，其中，所以方程存在實(shí)數(shù)根，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在和單調(diào)遞減，此時(shí)或，所以函數(shù)的值域是，故C錯(cuò)誤；D.由以上求值域的過(guò)程可知，和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，如圖畫出和，當(dāng)?shù)膱D象，兩函數(shù)圖象在區(qū)間只有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：ABD12.正方體棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)、分別滿足，其中，且，；在上，點(diǎn)在平面內(nèi)，則（）A.對(duì)于任意的，且，都有平面平面B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積不為定值C.若直線到平面的距離為，則直線與直線所成角正弦值最小為．D.的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】建空間直角坐標(biāo)系，用向量知識(shí)求解四個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，又，所以，所以對(duì)于任意的，且，都有平面平面，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，所以，又，點(diǎn)到平面的距離為又，又因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，,則因?yàn)橹本€到平面的距離為，所以平面，，設(shè)面為，則，令，則，所以所以，即，又，則，解得或，若，所以，，又，設(shè)直線與直線所成角為，所以當(dāng)最大時(shí)，最小，令，，在單調(diào)遞增，所以，，最大值為，所以最小為，所以直線與直線所成角正弦值最小為；若，所以，，根據(jù)對(duì)稱性可得最小為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)因?yàn)?，所以，，，所以，整理得，即所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)以為球心，半徑為2的球面上一點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，最小為，當(dāng)時(shí)，最大為所以的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為_(kāi)_____.【正確答案】##【分析】化簡(jiǎn)所求值的式子，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，.故14.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且有最小值，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)________．【正確答案】1（不唯一）【分析】分別畫出函數(shù)和的圖像，再根據(jù)條件求解.【詳解】設(shè)，分別繪制函數(shù)的大致圖像如下圖：其中有最小值，，沒(méi)有最小值，是它的漸近線，點(diǎn)在上，，，如上圖，當(dāng)時(shí)，不存在最小值，；故（不唯一）.15.三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球O上，點(diǎn)A在平面的射影是線段的中點(diǎn)，，則平面被球O截得的截面面積為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】求出球的半徑，由題目條件得到為等邊三角形，作出輔助線，找到球心的位置，并得到，求出截面面積，【詳解】設(shè)球O的半徑為，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)A在平面的射影是線段的中點(diǎn)，即⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，由三線合一可知，，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，故，，且球心O在平面上的投影為的中心，即，過(guò)點(diǎn)O作⊥平面于點(diǎn)，連接，故，則與平行，故，由勾股定理得，平面被球O截得的截面為圓，半徑為2，故面積為.故16.在四面體中，，，，且，，異面直線，所成的角為，則該四面體外接球的表面積為_(kāi)_____.【正確答案】或【分析】將四面體放到長(zhǎng)方體中，則在長(zhǎng)方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，由異面直線，所成的角為，即可大致確定的位置，利用對(duì)稱性以點(diǎn)在軸正方向時(shí)為例找出外接球球心位置并利用半徑得出等量關(guān)系，求得半徑大小后便可得出四面體外接球的表面積.【詳解】依題意，將四面體放到長(zhǎng)方體中，則在長(zhǎng)方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，因?yàn)楫惷嬷本€，所成的角為，，所以可得或，所以應(yīng)為圖中或，如下圖所示：由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)方向時(shí)，解法與或位置相同；可設(shè)的中點(diǎn)為，四面體外接球的球心為，球的半徑為，由題意可知，球心在過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的垂線上，且滿足，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，設(shè)，又，由，所以，或，解得或,所以或，即可知四面體外接球的表面積為或.故或方法點(diǎn)睛：在考查幾何體外接球問(wèn)題時(shí)，如果外接球球心的位置用幾何法不太容易確定，可采取分割補(bǔ)形法或坐標(biāo)法來(lái)確定其位置，進(jìn)而求得半徑.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且，，．求：（1）a的值；（2）和的面積．【正確答案】（1）（2）故，的面積為【分析】（1）應(yīng)用余弦定理列方程求值即可；（2）由同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，應(yīng)用正弦定理求，三角形面積公式求的面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，所以，由余弦定理得：，解得．?【小問(wèn)2詳解】由，則，由正弦定理得，又，得，．故，的面積為.18.某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)并分成五組：第一組[45，55），第二組[55，65），第三組[65，75），第四組[75，85），第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a、b的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第60百分位數(shù)（精確到0.1）；【正確答案】（1）（2）平均數(shù)為，第60百分位數(shù)【分析】（1）由三、四、五組的頻率之和為可求出值，再由所有頻率之和為求出值；（2）根據(jù)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形面積乘上小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和求解，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求解第60百分位數(shù)即可.【小問(wèn)1詳解】∵第三、四、五組的頻率之和為0.7，∴，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；【小問(wèn)2詳解】這100名候選者面試成績(jī)平均數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，故第60百分位數(shù)為.19.如圖，在所有棱長(zhǎng)都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．（1）證明：A1C1⊥B1C；（2）求直線BC與平面ABB1A1所成角的大?。菊_答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）利用勾股定理得出AC⊥B1C，異面直線所成角定義即得.（2）首先根據(jù)題意連接AB1，A1B，交于點(diǎn)O，連接BC1，連接CO，進(jìn)而證明CO⊥平面A1ABB1，再根據(jù)線面角的定義即得.【小問(wèn)1詳解】證明：連接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝，△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2，所以AC⊥B1C．又因?yàn)樵谌庵鵄BC－A1B1C1中，1，所以A1C1⊥B1C．【小問(wèn)2詳解】方法1連接AB1，A1B，交于點(diǎn)O，連接BC1，連接CO．在邊長(zhǎng)都為1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中點(diǎn)，又因?yàn)锽1C＝AC＝1，所以CO⊥AB1．因?yàn)樗倪呅蜝1BCC1邊長(zhǎng)都為1，所以B1C⊥BC1．由(1)知B1C⊥A1C1．又因?yàn)锳1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1．因?yàn)锳1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)都為1的四邊形A1ABB1中，A1B⊥AB1．又因?yàn)锳B1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C．因?yàn)镃O平面AB1C，所以CO⊥A1B．又因?yàn)锳1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．在邊長(zhǎng)都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因?yàn)锽C＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為．方法2取AB1中點(diǎn)O，連接BO，CO．在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1，在邊長(zhǎng)都為1的正方形A1ABB1中，BO＝，A1B＝．又因?yàn)锳C2＋B1C2＝A1B2，所以△ACB1為直角三角形，所以CO＝．在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2，所以CO⊥BO．又因?yàn)锳B1∩BO＝O，AB1，BO平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．在邊長(zhǎng)都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因?yàn)锽C＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為．20.已知直線，直線，設(shè)直線與的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線垂直的直線方程；（2）求以為直徑的圓的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】第一問(wèn)運(yùn)用直線垂直的定義得到斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程求解即可，第二問(wèn)通過(guò)聯(lián)立直線得到關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的半徑和圓心后用標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】易知的斜率為，故所求直線斜率是直線過(guò)