2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山海城市高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山海城市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．關(guān)于空間向量，以下說法錯(cuò)誤的是（

）A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．若，則與的夾角是銳角C．已知向量是不共面的向量，則也是不共面的向量D．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面3．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程是（

）A． B．C． D．5．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C．2 D．6．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．已知直線與橢圓相交于A，B，且AB的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知為拋物線上任意一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．10 C．4 D．8二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．方程與方程可表示同一直線C．經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為D．過兩點(diǎn)的直線都可用方程表示10．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線為C． D．點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離為411．在長(zhǎng)方體中，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則（

）A．若M為的中點(diǎn)，則三棱錐體積為定值B．存在點(diǎn)P使得C．當(dāng)時(shí)，平面截長(zhǎng)方體所得截面的面積為D．若Q為長(zhǎng)方體外接球上一點(diǎn)，，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．下列說法正確的是.①直線恒過定點(diǎn)②直線在軸上的截距為1③直線的傾斜角為④已知直線過點(diǎn)，且在軸上截距相等，則直線的方程為13．橢圓（）的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若直線與以為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于.14．已知拋物線、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若，則b＝.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C的圓心在y軸上，并且過原點(diǎn)和.(1)求圓C的方程；(2)若線段的端點(diǎn)，端點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.16．如圖，已知平面平面，為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，.(1)求二面角的余弦值；(2)線段QB上是否存在點(diǎn)M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.17．已知橢圓：（），離心率，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求該橢圓的方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0，且，求的面積.18．如圖，PC是圓臺(tái)的一條母線，是圓的內(nèi)接三角形，AB為圓的直徑，．

(1)證明：；(2)若圓臺(tái)的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．19．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（ⅰ）證明：以為直徑的圓必然經(jīng)過點(diǎn)．（ⅱ）求的取值范圍，并求當(dāng)取得最小值時(shí)的直線的方程．

答案1．【正確答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由題意可得，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為,故選：B2．【正確答案】B【詳解】選項(xiàng)A：根據(jù)共線向量的概念可知，空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，A說法正確；選項(xiàng)B：若，則與的夾角是銳角或與同向，即夾角為0，B說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：假設(shè)是共面向量，則存在使得，因?yàn)橄蛄渴遣还裁娴南蛄浚詿o解，則也是不共面的向量，C說法正確；選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共面，D說法正確；故選：B3．【正確答案】A【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程是.故選：D5．【正確答案】D【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離．因?yàn)椋?，即，解?故選：D.6．【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求得向量和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為2的正方體，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選B.

7．【正確答案】B【分析】利用過橢圓上兩點(diǎn)的直線方程為，結(jié)合中點(diǎn)及直線方程，化簡(jiǎn)得到，利用即可求解.【詳解】設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以①，，兩式相減，得，根據(jù)，上式可化簡(jiǎn)為，整理得，又，所以，即，所以.故選B.8．【正確答案】D【詳解】如圖，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).由題意可得的準(zhǔn)線方程為.因?yàn)?，所以，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最小值為.故選：D9．【正確答案】AD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，先求斜率，進(jìn)而可得傾斜角；對(duì)于B項(xiàng)，注意區(qū)分方程與方程的不同之處；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)直線l：，進(jìn)而可得截距，根據(jù)題意進(jìn)行求解即可；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)兩點(diǎn)式方程的變形進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，直線的斜率，傾斜角為，所以A正確；對(duì)于B項(xiàng)，表示過點(diǎn)斜率為k的直線，但不含點(diǎn)，而表示過點(diǎn)斜率為k的直線，且含點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，經(jīng)過點(diǎn)，斜率存在，設(shè)直線為，若在，軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，方程為直線兩點(diǎn)式方程的變形，可以表示經(jīng)過任意兩點(diǎn)Px1,y1、故選AD.10．【正確答案】ACD【詳解】雙曲線的離心率為，故A正確；雙曲線的漸近線為，故B錯(cuò)誤；由有相同焦點(diǎn)，即，即，故C正確；拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則，故或，所以P到的焦點(diǎn)的距離為4，故D正確．故選：ACD．11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镸為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，所以，所以面，則P到面的距離為定值，所以體積為定值，所以A正確．對(duì)于B：AP在平面的投影在線段上，若，又，且，所以平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危耘cBE不垂直，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C：平面與平面重合，平面與平面重合，所以延長(zhǎng)會(huì)與直線有交點(diǎn)N，因?yàn)?，又，所以，即N為點(diǎn)E，又平面平面，所以平面和平面的交線與平行，取中點(diǎn)F，則平面截長(zhǎng)方體所得截面為矩形，所以面積為，所以C正確．對(duì)于D：易知長(zhǎng)方體的外接球半徑為，球心是的中點(diǎn)O，由，得，，，則點(diǎn)P在球外，點(diǎn)E在球內(nèi)，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，即，所以，所以D正確．故選：ACD．12．【正確答案】①③【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所以，所以直線過定點(diǎn)，故①對(duì)；對(duì)于②，令x=0得y=?1，所以直線在軸上的截距為，故②錯(cuò)；對(duì)于③，直線可變形為，設(shè)其傾斜角為，所以斜率，因?yàn)?，所以，故③?duì)；對(duì)于④，當(dāng)直線的截距為0時(shí)，可設(shè)，代入可得，解得，此時(shí)直線，即；當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，因?yàn)橹本€在軸上的截距相等，可設(shè)，代入得，解得，此時(shí)直線，即，故④錯(cuò).故答案：①③13．【正確答案】【分析】求出直線的方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離得到方程，求出，求出離心率即可.【詳解】依題意，，，，所以直線的方程為：，又直線與以為圓心半徑為的圓相切，故，即，，方程兩邊同除以得，解得或，又橢圓的離心率，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖所示，因?yàn)閽佄锞€所以，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線，所以，因?yàn)?，所以即，化?jiǎn)得，又因?yàn)椋?lián)立解得故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓C方程：，由已知，解得，∴圓C的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)Mx,y，.∵，∴.整理得，，∵點(diǎn)B在圓C上，∴，∴點(diǎn)M的軌跡方程為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為.平面平面平面，平面平面，平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，過且平行的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為即令，則.又平面的法向量為，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖形知為銳角，，即二面角的余弦值為.（2）設(shè)，，.又平面的法向量為平面，∴，∴，，即.∴，故在線段上存在點(diǎn)，使平面，且的值是.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，解得，故橢圓C.（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，由，，得，，，即AP：，AQ：，聯(lián)立，解得或2（舍），故，聯(lián)立，解得或2（舍），故，又，，，故.18．【正確答案】(1)證明見詳解；(2).【詳解】（1）由題知，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由圓臺(tái)性質(zhì)可知，平面，且四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）圓臺(tái)的體積，其中，解得或(舍去).由（1）知兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得于是可取.設(shè)直線與平面的夾角為，則，故所求正弦值為.19．【正確答案】(1),曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓(2)（?。┳C明過程見解析（ⅱ），滿足題意的