2024-2025學(xué)年天津市高三上冊(cè)12月階段評(píng)估數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期12月階段評(píng)估數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題（每小題5分，共45分）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．“”是“直線與直線相互垂直”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的的圖象大致為（

）A． B．C． D．4．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，且兩兩垂直，是邊長(zhǎng)為的正三角形，則球的體積為（

）A． B． C． D．5．已知圓C：x2+y2+8x﹣m+2＝0與直線相交于A，B兩點(diǎn).若△ABC為正三角形，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．﹣10 B．﹣11 C．12 D．116．設(shè)函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象過(guò)點(diǎn)B．在上單調(diào)遞減C．的一個(gè)對(duì)稱中心是D．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象7．已知奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．已知雙曲線與拋物線y2＝2px（p＞0）的交點(diǎn)為A、B，A、B連線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且線段AB的長(zhǎng)等于雙曲線的虛軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為（

）A． B．3 C． D．29．已知函數(shù)，若方程有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．10．設(shè)為虛數(shù)單位，計(jì)算．11．已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則等于．12．若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為.13．已知M是拋物線圖象上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若，則．14．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為.15．平面四邊形ABCD滿足，，，則的值為．三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．在中，a，b，C為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足.（1）求角B的大??；（2）已知，，（i）求b及；（ii）求.17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，M，N分別為線段，上的點(diǎn)（不在端點(diǎn)）.（1）當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，，求證：面；（2）當(dāng)M為中點(diǎn)且N為中點(diǎn)時(shí)，求證：平面平面；（3）當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，是否存在M，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.18．已知橢圓的離心率，橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交于點(diǎn)，則軸上是否存在點(diǎn)，使得線段，且？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其中，①求數(shù)列的通項(xiàng)公式：②求.20．已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求曲線在處的切線方程(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)證明：．1．A根據(jù)集合的補(bǔ)集、并集運(yùn)算即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，故選：．本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．A【分析】直線與直線相互垂直得到，再利用充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，所以.所以時(shí)，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.故選：A方法點(diǎn)睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.3．A利用導(dǎo)數(shù)確定的正負(fù)可得結(jié)論．【詳解】，定義域?yàn)?，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，∴，即或時(shí)，，因此，排除BCD，故選：A．思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.4．C【分析】由三棱錐的結(jié)構(gòu)求出，由三棱錐與其外接球關(guān)系知球直徑等于（這個(gè)結(jié)論不清楚的學(xué)生可自行以為棱，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體再觀察）．【詳解】由題中條件易得，從而球的半徑，體積，故選：C．本題考查球的體積，解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和．5．A由題意求出圓心C的坐標(biāo)，由直線與圓相交，用圓的半徑和圓心到直線的距離和半個(gè)弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形求出弦長(zhǎng)，再由△ABC為正三角形，求出m的值.【詳解】圓C：x2+y2+8x﹣m+2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+4)2+y2＝14+m；則圓心C(﹣4，0)，半徑為（其中m＞﹣14）；所以圓心C到直線的距離為，在等邊三角形中得，，解得.故選：A.本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問題，解題方法是幾何法，即求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求弦長(zhǎng)．6．D【分析】由周期求出，再由對(duì)稱軸求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期是，所以，則，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；由，所以，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不是的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，所以能得到的圖象，故D正確.故選：D.7．B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，，再比較，，的大小關(guān)系，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】奇函數(shù)在上是減函數(shù)，則，所以，，因?yàn)?，，又，所以，所以，則，故.故選：B8．B【分析】由已知條件推導(dǎo)出，從而得到，把代入雙曲線，由此能求出雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線與拋物線的交點(diǎn)為、，、連線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且線段的長(zhǎng)等于雙曲線的虛軸長(zhǎng)，，即，，把代入雙曲線，得，整理得，，，．故選：B本題主要考查雙曲線的離心率的計(jì)算，考查雙曲線和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9．B【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與曲線相切時(shí)的值，再對(duì)分類討論得到根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)因?yàn)椋瑒t切線的，得，切點(diǎn)為將切點(diǎn)代入直線，得當(dāng)時(shí)，令，即①當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)有一個(gè)實(shí)根，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件；③當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)根，此時(shí)要使有兩個(gè)實(shí)根，則且，即且.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題為分段函數(shù)，關(guān)鍵是先找到相切時(shí)的臨界位置，進(jìn)而討論根個(gè)數(shù).10．【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?所以.故11．【分析】首先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的定義得到，即可得解.【詳解】拋物線，即，所以準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，所以，解得.故12．【分析】由題意知直線過(guò)圓的圓心，由此得，再將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的最小值，從而利用點(diǎn)線距離公式可解.【詳解】由得，故圓心坐標(biāo)為,半徑，因?yàn)橹本€始終平分圓的周長(zhǎng)，所以直線過(guò)圓的圓心，把代入直線，得，而可看作是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離，因?yàn)榈街本€的距離為，所以的最小值為.故答案為.13．4【分析】先得出直線的傾斜角為,過(guò)點(diǎn)作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，為垂足，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為,結(jié)合拋物線的定義可得，從而得出答案.【詳解】由拋物線，則，，則直線的傾斜角為.過(guò)點(diǎn)作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，為垂足，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為由拋物線的定義可得即，所以故414．由，化簡(jiǎn)得，然后利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為最小值為：，故15．【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合向量的夾角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)和可得，，所以，設(shè)，則，，設(shè)，由，以及，可得，，則，，，則，則，所以.故16．（1）；（2）（i）；；（ii）.【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，結(jié)合，可得，根據(jù)范圍可求B的值.（2）（i）由已知利用余弦定理可求b及的值；（ii）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而利用二倍角公式可求，的值，根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式即可解得的值.【詳解】解：（1）∵，由正弦定理得，∴，，∵，且，∴，∵，∴.（2）（i）∵，，，∴，∴.（ii）∵，∴，，∴.此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題17．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，.【分析】（1）取中點(diǎn)E，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明面.（2）以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面平面.（3）假設(shè)存在存在，使得直線與平面所成角的正弦值為..推導(dǎo)出，求出平面的法向量，利用向量法能推導(dǎo)出，即可得解.【詳解】解：（1）證明：取中點(diǎn)E，連結(jié)，，∵在四棱錐中，平面，，，，M為中點(diǎn)，，∴，，∵，，∴平面平面，∵平面，∴面.（2）證明：以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量，∵，∴平面平面.（3）解：假設(shè)存在存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，.則，解得，，，∴，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，整理，得，解得（舍）或，∴存在M，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí)此題考查線面平行的判定和面面垂直的判定，考查線面角，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題18．（1）；（2）或．(1)由條件可得，解出的值，可得答案.，（2）由條件可知點(diǎn)在線段的中垂線上，當(dāng)時(shí)可求出，當(dāng)時(shí)，【詳解】（1）由題可知又∵橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大值為，即解得，，則∴橢圓的方程為（2）由條件可得由，可知點(diǎn)在線段的中垂線上，由題意知直線的斜率顯然存在設(shè)為．當(dāng)直線的斜率時(shí)，則．設(shè)．設(shè)為直線的方程為：，求出線段的中垂線，進(jìn)一步求出點(diǎn)坐標(biāo)，由可得答案.由，解得，又．當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)為直線的方程為：．聯(lián)立得：．有：，解得，即．的中點(diǎn)為，線段的中垂線為：，令，得．即．．解得，此時(shí)．綜上可得或．關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是先分析出點(diǎn)在線段的中垂線上，即點(diǎn)是線段的中垂線與軸的交點(diǎn),設(shè)為直線的方程為：,與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得出的中坐標(biāo)，進(jìn)一步求出線段的中垂線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題.19．（1），；（2）①，②.【分析】（1）設(shè)的公差為，的公比為，，由求出公比，求得，再化簡(jiǎn)，，求得；（2）①代入，化簡(jiǎn)可得；②由①得，則，用公式法計(jì)算和，用錯(cuò)位相減法計(jì)算，得到答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，，由，即，解得或3.∵，∴，∴.有，∴，又有，即，∴則，則.即，.（2）①，∴時(shí)，，∴，即，②由①得設(shè)，則，由此得∴得本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法求和，還考查了分析推理能力，運(yùn)算能力，難度較大.20．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線在切點(diǎn)處的切線方程；（2）求出函數(shù)在時(shí)的值域，可求實(shí)數(shù)的最大值；（3）依題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）函數(shù)，，，，，所以曲線在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為0，切線方程為.（2），因?yàn)椋?，則，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.，，所以函數(shù)的值域?yàn)?若不等式對(duì)任意恒成立