2024-2025學(xué)年天津市南開(kāi)區(qū)高二上冊(cè)階段性數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市南開(kāi)區(qū)高二上學(xué)期階段性數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共10小題）1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.A．有的直線斜率不存在B．截距可以為負(fù)值C．若直線l的傾斜角為，且，則它的斜率D．若直線l的斜率為1，則它的傾斜角為2．過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角是（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，則等于（）.A． B． C． D．4．將直線l沿x軸正方向平移2個(gè)單位，再沿y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，又回到了原來(lái)的位置，則的斜率是（）A． B．4 C．1 D．5．已知空間向量，，若，則（

）A．1 B． C．2 D．6．過(guò)點(diǎn)A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝07．圓和圓的公切線方程是（

）A． B．或C． D．或8．如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱中，是與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．9．已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含10．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是．12．已知圓的圓心為點(diǎn)，一條直徑的端點(diǎn)分別在軸和軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．已知，，．若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)．14．設(shè)點(diǎn)，，若直線與線段AB沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是.15．空間四邊形中，，，，則與所成角的余弦值等于.三、解答題（本大題共5小題）16．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍．17．如圖，三棱柱，底面底面中，，，棱，分別是，的中點(diǎn).(1)求的模：(2)求的值；(3)求證.18．△ABC中，A(0,1)，AB邊上的高CD所在直線的方程為x＋2y－4＝0，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x＋y－3＝0.(1)求直線AB的方程；(2)求直線BC的方程；(3)求△BDE的面積．19．如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折成一個(gè)直二面角，且平面，.(1)若，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)求實(shí)數(shù)的值，使得二面角的大小為60°.20．已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】當(dāng)直線與軸垂直，斜率不存在，A正確；截距是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，可以為負(fù)，B正確；由斜率與傾斜角的關(guān)系知C正確；直線l的斜率為1，則它的傾斜角為，D錯(cuò)．故選：D．2．【正確答案】C【詳解】，的斜率為,故直線的傾斜角為，故選：C3．【正確答案】B【詳解】由題意，所以，故選：B．4．【正確答案】A【詳解】設(shè)直線l上任意一點(diǎn)，將直線l沿x軸正方向平移2個(gè)單位，則P點(diǎn)移動(dòng)后為，再沿y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，則點(diǎn)移動(dòng)后為．∵都在直線l上，∴直線l的斜率．故選：A．5．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所以，解得，所?故選A.6．【正確答案】D【分析】考慮直線是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其斜率為，故直線方程為y＝2x；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)（1，2）可得，解得a＝－1，故直線方程為x-y+1＝0.綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x-y+1＝0，故選：D.本題主要考查直線方程的截距式以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時(shí)，一定要注意討論直線的截距是否為零.7．【正確答案】A【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點(diǎn)，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.【詳解】解：，圓心，半徑，，圓心，半徑，因?yàn)椋詢蓤A相內(nèi)切，公共切線只有一條，因?yàn)閳A心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為，故公切線方程為，即．故選：A.8．【正確答案】A【詳解】.故選：A9．【正確答案】D【詳解】圓：，所以圓心，半徑為.由點(diǎn)到直線距離公式得：，且，所以.又圓的圓心，半徑為：1.所以，.由，所以兩圓內(nèi)含.故選：D10．【正確答案】A【分析】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖，又，所以，又由圓心到直線的距離可求出的最小值，進(jìn)而求解.【詳解】如下圖所示：

由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，又因?yàn)?，所以，所以，又圓心到直線的距離為，所以，所以不妨設(shè)，則，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，即當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直已知直線時(shí)，有最大值.故選：A.11．【正確答案】【詳解】由題意，設(shè)所求直線方程為：，因?yàn)檫^(guò)，所以，解得，從而所求直線方程為.故答案為.12．【正確答案】【詳解】設(shè)直徑的端點(diǎn)分別為，因?yàn)閳A的圓心為點(diǎn)，所以，解得，所以圓的半徑，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)椴黄叫校摇?、三向量共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使，所以，解得，故14．【正確答案】【詳解】易知直線過(guò)定點(diǎn)，是該直線的斜率，又，，由圖可知的取值范圍是．故．15．【正確答案】【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為.16．【正確答案】(1)見(jiàn)解析(2)[0，＋∞).【詳解】(1)證明：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)(－2,1)．(2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為1＋2k，要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則解得k的取值范圍是[0，＋∞).17．【正確答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由題意得,故．（2）依題意得,故,則（3）,,由于,故，即．18．【正確答案】（1）；（2）；（3）【詳解】試題分析：（1）由所在直線的方程求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出的直線方程；（2）先求出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫(xiě)出的直線方程；（3）由點(diǎn)到直線的距離求出到的距離，以及到的距離，計(jì)算即可或求出到的距離，計(jì)算.試題解析：(1)由已知得直線AB的斜率為2，∴AB邊所在的直線方程為y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.(2)由，得.即直線AB與直線BE的交點(diǎn)為B(，2)．設(shè)C(m，n)，則由已知條件得，解得，∴C(2,1)．∴BC邊所在直線的方程為＝，即2x＋3y－7＝0.(3)∵E是線段AC的中點(diǎn)，∴E(1,1)．∴|BE|＝＝，由，得.∴D(，)，∴D到BE的距離為d＝＝，∴S△BDE＝·d·|BE|＝.19．【正確答案】(1)（i）證明見(jiàn)解析，（ii）(2)【詳解】（1）（i）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的對(duì)角線相交于，由于則,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取時(shí)，，由于，故，又不在平面內(nèi)，所以平面；（ii）平面的一個(gè)法向量為，,設(shè)直線與平面所成角為，則（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有取時(shí)，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有取時(shí)，，由于二面角的大小為60°，故，即，解得，又，所以．20．【正確答案】（1）；（2）；（3）