第3講-光波在非線性介質(zhì)中傳播的基本方程

第3講光波在非線性介質(zhì)中傳播的基本方程(Wave-EquationDescriptionofNonlinearOpticalInteracion)

介質(zhì)在強(qiáng)激光作用下被極化，極化強(qiáng)度隨時(shí)間變化，作為場(chǎng)源產(chǎn)生輻射場(chǎng)，這些輻射場(chǎng)就是介質(zhì)中發(fā)生頻率轉(zhuǎn)換等各種光學(xué)現(xiàn)象的光電場(chǎng)。從麥克斯韋方程出發(fā)，可導(dǎo)出光電場(chǎng)在介質(zhì)中傳播的基本方程。麥克斯韋方程組回顧（ReviewofMaxwell’sEquations：(1)麥克斯韋方程組本構(gòu)方程由麥克斯韋方程組和本構(gòu)方程N(yùn)ofreecurrentsNofreechargesNonmagneticmedium

二階非線性光學(xué)效應(yīng)只能發(fā)生在非中心對(duì)稱的晶體材料中，研究光波在各向異性晶體中的線性光學(xué)傳播規(guī)律，便于以后討論三波相互作用的相位匹配條件。單色平面波復(fù)數(shù)形式的光電場(chǎng)強(qiáng)度表示為：光波的波矢k：這里，光波在晶體中傳播，由于色散，不同波長(zhǎng)有不同的折射率；由于光波在光學(xué)各向異性晶體中傳播，波矢值的大小與波法線的方向有關(guān)；同一傳播方向、同一波長(zhǎng)的光波在光學(xué)各向晶體中傳播，有兩個(gè)數(shù)值不同的波矢。我們先介紹晶體的介電常數(shù)張量：unit：cm-1光波在真空中傳播，，由，因此，

是一個(gè)對(duì)稱張量，相對(duì)介電張量也是對(duì)稱張量，經(jīng)主軸變換后的介電常數(shù)張量是對(duì)角矩陣，只有三個(gè)非零的對(duì)角元素。線性極化率張量介電常數(shù)張量上一講通過極化率的完全對(duì)易對(duì)稱性和時(shí)間反演對(duì)稱性，證明了線性極化率張量是一個(gè)對(duì)稱張量：相應(yīng)地定義三個(gè)主折射率nx,ny,nz,由麥斯斯韋關(guān)系：相當(dāng)于由晶體坐標(biāo)系變換到介電主軸坐標(biāo)系三斜、單斜和正交晶系屬于雙軸晶體(KTP,LBO、KNbO3)三方、四方和六方晶系屬于單軸晶體(LiNbO3,BBO、ZnGeP2)立方晶系各向同性（GaAs,YAG)雙軸晶體單軸晶體各向同性晶體七大晶系對(duì)應(yīng)的相對(duì)介電常數(shù)張量：拉普拉斯符號(hào)▽僅是針對(duì)笛卡爾坐標(biāo)的微分，用代替▽，用-iw

代替，其中e是波矢（光波波法線）單位矢量）。當(dāng)光波在晶體中傳播，先考慮線性極化，此時(shí)電位移矢量表示為,相對(duì)介電常數(shù)張量在介電主軸坐標(biāo)系中，電位移矢量寫成分量形式：*一般情況下，電位移矢量和電矢量

方向不同。線性極化條件下Ｍaxwell

方程為：線性極化條件下，電位移矢量振幅和電場(chǎng)強(qiáng)度振幅不是位移r和時(shí)間t的函數(shù)，變量r只在相位傳播項(xiàng)exp(-ik.r)中，時(shí)間變量t在振動(dòng)項(xiàng)exp(-iwt)中用到了微分后的方程為：根據(jù)矢量運(yùn)算：電位移矢量D

寫為：電位移矢量寫成分量形式：利用電位移矢量D和電矢量E

關(guān)系：波矢在坐標(biāo)軸x,y,z方向上的單位矢量描述晶體光學(xué)性質(zhì)的基本方程：點(diǎn)位移矢量分量Di

重寫為：kDEHSB

kD,H EB DH SE,H晶體中電位移矢量D，電矢量E、波矢k，坡印廷矢量S，及磁場(chǎng)強(qiáng)度H間的相互垂直關(guān)系電位移矢量D

和波矢k

相互垂直：而上式描述了在晶體中傳播的光波法線（波矢）方向與相應(yīng)折射率和晶體的主介電常數(shù)之間的關(guān)系，稱為波法線的菲涅爾方程。或波法線菲涅爾方程光波波矢在相對(duì)介電主軸上的投影由平面光波在晶體中傳播的基本方程：或相當(dāng)于求解一個(gè)本征方程，其本征值為,本征矢為是一個(gè)3×3對(duì)稱方陣，本應(yīng)有三個(gè)相互正交的本征矢，而光波為橫波，光電場(chǎng)振動(dòng)方向通常在近似垂直于波法線的平面內(nèi)，因此晶體中有兩個(gè)可以傳播的本征矢。設(shè)本征方程的另一個(gè)本征值和電場(chǎng)本征矢分別為：和分別用一個(gè)電場(chǎng)本征矢標(biāo)量乘本征方程：交換m,n指標(biāo)得：相等上式重寫為：對(duì)稱張量相等上面兩式相減得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)m≠n00當(dāng)nm≠nn給定波矢k方向，各向異性晶體中兩個(gè)本征模的E、D、s方向結(jié)論：晶體中兩個(gè)自由傳播模的電位移矢量是正交的。當(dāng)考慮非線性極化時(shí)，極化強(qiáng)度分為線性極化項(xiàng)和非線性極化項(xiàng)：波動(dòng)方程重寫為：討論：Maxwell物質(zhì)方程中，對(duì)無自由電荷非線性介質(zhì)而我們根據(jù)光學(xué)各向異性晶體材料中，電位移矢量和電矢量關(guān)系：光波矢的方向e和電矢量E不垂直，即因此由得不到實(shí)際情況中，晶體中電位移矢量和電矢量偏離角比較小，波法線方向和電矢量基本垂直，如對(duì)BBO晶體，波法線和電矢量夾角大于85度；而且理論上討論的是橫截面無限大均勻平面波，因而可近似認(rèn)為：非線性光學(xué)耦合波方程(Wave-EquationofNonlinearOpticalInteraction：波動(dòng)方程寫為：非線性光學(xué)相互作用是多個(gè)光波之間耦合，考慮到色散，將介質(zhì)中的光電場(chǎng)合極化強(qiáng)度是多個(gè)光波場(chǎng)和極化強(qiáng)度的疊加，而每個(gè)單色波和作為其輻射源的極化強(qiáng)度滿足波動(dòng)方程。也就是說，介質(zhì)內(nèi)有幾種相互作用的光波存在，就有幾個(gè)相應(yīng)的波動(dòng)方程或非線性耦合波方程來描述。電場(chǎng)強(qiáng)度和極化強(qiáng)度是介質(zhì)內(nèi)它們各個(gè)頻率分量之和我們主要討論單色、振幅慢變化平面波情況，光波沿z方向傳播，光電場(chǎng)振幅在橫向方向上不變化（不是x或y的函數(shù)），只是笛卡爾坐標(biāo)z

的函數(shù)，光電場(chǎng)振幅慢變化，即不是時(shí)間的t

的函數(shù)，且介質(zhì)對(duì)相互作用的光波沒有吸收。單色平面波光電場(chǎng)：輻射頻率為wn的非線性極化強(qiáng)度表示為：～表示實(shí)數(shù)電場(chǎng)或極化場(chǎng)每一個(gè)頻率分量滿足波動(dòng)方程，由：在平面波條件下，電場(chǎng)強(qiáng)度只是z的函數(shù):方程兩邊對(duì)z和t求偏微分得：方程左邊方程右邊：線性極化條件下：得到：光電場(chǎng)振幅慢變化近似：在一個(gè)光波長(zhǎng)的范圍內(nèi)（），振幅的變化量很小，可以忽略該式就是平面光波在穩(wěn)態(tài)條件下的非線性耦合波方程，它是討論光波混頻的基本方程。當(dāng)脈沖激光作用到非線性介質(zhì)時(shí)，此時(shí)光電場(chǎng)是時(shí)間t的函數(shù)，穩(wěn)態(tài)條件對(duì)適用。（t為脈沖寬度，L為作用介質(zhì)的長(zhǎng)度）我們通常所用的調(diào)Q激光脈沖在納秒量級(jí)，而非線性光學(xué)晶體長(zhǎng)度一般長(zhǎng)度10mm，因而適用于穩(wěn)態(tài)條件的耦合波方程。二階非線性效應(yīng)穩(wěn)態(tài)耦合波方程對(duì)應(yīng)的極化強(qiáng)度：定義三波共線條件下的相位失配量：光電場(chǎng)矢量寫為單位矢量和電場(chǎng)幅度的乘積：耦合波方程(1)重寫為：上式是將方程左邊的電場(chǎng)單位矢量移到右邊得到二階非線性極化率與三個(gè)光電場(chǎng)單位矢量關(guān)系重寫為：：二階非線性效應(yīng)穩(wěn)態(tài)耦合波方程重寫為：定義二階有效非線性極化率二階非線性光學(xué)效應(yīng)三波混頻耦合波方程組：相位失配量曼利——羅關(guān)系能流密度及光強(qiáng)定義：光子通量定義為：unit:W/cm2unit:/cm2.s光子通量對(duì)z微分：耦合波方程（1）兩邊同乘以，并與方程（1）兩邊先復(fù)共軛再乘以，得到的兩個(gè)方程相加：