2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量的應(yīng)用（2024年9月）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量的應(yīng)用（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?江西開學(xué)）已知圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為4π，25π，側(cè)面積為35π，則該圓臺(tái)外接球的球心到上底面的距離為（）A．278 B．274 C．378 2．（2024?德州開學(xué)）已知正三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1的體積為283，AB=4，A1BA．12 B．1 C．2 D．3．（2024秋?濱城區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，-4，3)，b→=(2，4x，y+1)分別是直線l1A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．44．（2024秋?遼寧月考）設(shè)x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（2，﹣4，2），且a→⊥c→，A．22 B．10 C．3 D．5．（2023秋?肇東市校級(jí)期末）已知A（1，0，1），n→=(1，0，1)是平面α的一個(gè)法向量，且B（﹣1，2，2）是平面A．23 B．26 C．2 D6．（2024?平湖市校級(jí)模擬）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，A．22 B．10 C．3 D．7．（2024春?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）已知a→=(2，-1，3)，A．103 B．﹣6 C．6 D．8．（2024春?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)期末）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為l→=(2，m，1)，平面α的一個(gè)法向量為n→=(-1，2，A．2 B．2 C．22 D．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?余江區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知平面四邊形ABCD中，AB=AD=BD=2，和BC＝CD＝1，將平面四邊形沿對(duì)角線BD翻折，得到四面體A1﹣BCDA．無(wú)論翻折到何處，A1C⊥DB B．四面體A1﹣BCD的體積的最大值為612C．當(dāng)A1C＝1時(shí)，A1C與平面A1BD所成角的正弦值為23D．當(dāng)A1C=3時(shí)，二面角B﹣A1D﹣（多選）10．（2024秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．C1A⊥EF B．DD1與平面CD1EF所成角的正弦值為23C．存在點(diǎn)M使得C1M⊥平面CD1EF D．若C1M∥平面CD1EF，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為2（多選）11．（2023秋?吳橋縣校級(jí)月考）下列給出的命題正確的是（）A．若直線l的方向向量為e→=(1，0，3)，平面α的法向量為B．兩個(gè)不重合的平面α，β的法向量分別是u→=(2，2，C．若{a→，bD．已知三棱錐O﹣ABC，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且OP→=（多選）12．（2023秋?福清市校級(jí)月考）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠ACB＝90°，AC=BC=12AA1=1A．點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離為2 B．DC1→是平面C．點(diǎn)C到平面BDC1的距離為63D．BD=三．填空題（共4小題）13．（2024春?銅山區(qū)月考）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且B1P⊥D1E，則線段B1P的長(zhǎng)度的取值范圍是．14．（2024?渾南區(qū)校級(jí)開學(xué)）若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=6，則二面角P﹣BC﹣A的大小為15．（2024秋?三元區(qū)校級(jí)月考）已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u→=(-92，3，z)，向量v→16．（2024春?內(nèi)蒙古月考）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=2AA1=27，AB=BC=21，P是線段A1B上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PC1的最小值為四．解答題（共4小題）17．（2024?七星區(qū)校級(jí)模擬）如圖，幾何體PABCD中，△PBD和△CBD均為等邊三角形，平面ABD⊥平面PBD，AB=AD=5，BD=2（1）證明：PC與AM不是異面直線；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．18．（2024?遼寧開學(xué)）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為ΦP=1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi（i＝1，2，?，k，k≥3）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q（1）求三棱錐P﹣ABC在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；（2）若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，三棱錐P﹣ABC在頂點(diǎn)C處的離散曲率為38①求點(diǎn)A到平面PBC的距離；②點(diǎn)Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為306，求BQ19．（2024?福州開學(xué)）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，且AA1＝AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為C1D1，DD1的中點(diǎn)．（1）證明：AF∥平面A1EB．（2）求平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值．20．（2023秋?林芝市期末）已知空間向量a→（1）求|2a（2）若向量a→+2b→與

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量的應(yīng)用（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?江西開學(xué)）已知圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為4π，25π，側(cè)面積為35π，則該圓臺(tái)外接球的球心到上底面的距離為（）A．278 B．274 C．378 【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征即可求解．【解答】解：依題意，記圓臺(tái)的上，下底面半徑分別為r1，r2，則有πr12=4π，πr22=25π，解得r1＝設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，則π（r1+r2）l＝35π，解得l＝5，則圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝4，記外接球球心到上底面的距離為x，則有x2+22＝（x﹣4）2+52，解得x=37故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間距離的求解，屬基礎(chǔ)題．2．（2024?德州開學(xué)）已知正三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1的體積為283，AB=4，A1BA．12 B．1 C．2 D．【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】將正三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P﹣ABC，A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得VP-ABC=323，進(jìn)而可求正三棱錐【解答】解：將正三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P﹣ABC，則A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，因?yàn)镻A1PA可知VABC-則VP-ABC取底面ABC的中心為O，設(shè)正三棱錐P﹣ABC的高為d＝PO，則VP-ABC解得d=8又PO⊥底面ABC，且在△ABC中，AB＝4，由正弦定理得2AO=4所以PA與平面ABC所成角的正切值tan∠故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的計(jì)算，屬于中檔題．3．（2024秋?濱城區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，-4，3)，b→=(2，4x，y+1)分別是直線l1A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4【考點(diǎn)】空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用空間向量共線的充要條件計(jì)算即得．【解答】解：l1∥l2，則a→所以21=4x-4=y+13，解得x所以x+y＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?遼寧月考）設(shè)x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（2，﹣4，2），且a→⊥c→，A．22 B．10 C．3 D．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】利用向量平行和向量垂直的性質(zhì)列出方程組，求出x，y，再由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出a→+b→，由此能求出【解答】解：設(shè)x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（且a→⊥c→，b→∴2x-4+2=012=y-4=1∴a→+b→=（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2∴|a→+b故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（2023秋?肇東市校級(jí)期末）已知A（1，0，1），n→=(1，0，1)是平面α的一個(gè)法向量，且B（﹣1，2，2）是平面A．23 B．26 C．2 D【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】求出AB→【解答】解：由已知AB→=(-2，2，則點(diǎn)A到平面α的距離為|AB故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法求解點(diǎn)到平面的距離，屬基礎(chǔ)題．6．（2024?平湖市校級(jí)模擬）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，A．22 B．10 C．3 D．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直、平行的性質(zhì)，求出b→【解答】解：a→=(1，1，則a→?c→=x-4+2=0因?yàn)閎→=(1，y，所以y＝﹣2，z＝1，所以b→所以2a所以|2a故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024春?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）已知a→=(2，-1，3)，A．103 B．﹣6 C．6 D．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】直接利用向量垂直的充要條件求出結(jié)果．【解答】解：由于a→=(2，-1，所以﹣8﹣2+3x＝0，解得x=10故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024春?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)期末）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為l→=(2，m，1)，平面α的一個(gè)法向量為n→=(-1，2，A．2 B．2 C．22 D．【考點(diǎn)】空間向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系；平面中直線的方向向量和法向量；運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】因?yàn)閘∥α，所以l的方向向量與平面α的法向量垂直，再根據(jù)基本不等式，利用常數(shù)代換求解．【解答】解：依題意可得：l→?n所以12（2m+n）＝1所以1m又m＞0，n＞0，所以nm＞0所以nm當(dāng)且僅當(dāng)nm=2m所以1m+2n=12(22故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?余江區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知平面四邊形ABCD中，AB=AD=BD=2，和BC＝CD＝1，將平面四邊形沿對(duì)角線BD翻折，得到四面體A1﹣BCDA．無(wú)論翻折到何處，A1C⊥DB B．四面體A1﹣BCD的體積的最大值為612C．當(dāng)A1C＝1時(shí)，A1C與平面A1BD所成角的正弦值為23D．當(dāng)A1C=3時(shí)，二面角B﹣A1D﹣【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；棱錐的體積；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABD【分析】對(duì)于A，取線段BD的中點(diǎn)O，連接A1O，CO，由題意求證BD⊥平面A1OC即可判斷；對(duì)于B，當(dāng)平面A1BD⊥平面BCD時(shí)，四面體A1﹣BCD的體積最大，求出A1O，BC⊥CD即可根據(jù)錐體體積公式計(jì)算得解；對(duì)于C，求證A1C，BC，CD兩兩互相垂直，并將四面體A1﹣BCD補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體，設(shè)C到平面A1BD的距離為d，由VC-A1BD=VA1-CBD即13S△A1BDd=13S△CBD?A1C求出d，則A1C與平面A1BD所成角的正弦值即為dAlC；對(duì)于D，求證A1B⊥BC，A1D⊥DC，將四面體A1﹣BCD補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體GBCD﹣A1B1C1D1，取A1D中點(diǎn)E，B1C中點(diǎn)F，求證A【解答】解：對(duì)于A，取線段BD的中點(diǎn)O，連接A1O，CO，∵△ABD是等邊三角形，在△BCD中，BC＝BD，∴A1O⊥BD，CO⊥BD，又A1O∩CO＝O，A1O、CO?平面A1OC，∴BD⊥平面A1OC，又∵A1C?平面A1OC，∴BD⊥A1C，即無(wú)論翻折到何處，A1C⊥DB，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)平面A1BD⊥平面BCD時(shí)，四面體A1﹣BCD的體積最大，又A1O⊥BD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，A1O?平面A1BD，所以A1O⊥平面BCD，又A1O=(2)2-(22即BC⊥CD，所以(VA1對(duì)于C，當(dāng)A1C＝1時(shí)，A1C2所以A1C⊥BC，A1C⊥DC，又BC⊥CD，所以A1C，BC，CD兩兩互相垂直，且A1C＝BC＝CD＝1，將四面體A1﹣BCD補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體，設(shè)C到平面A1BD的距離為d，則由VC-A1得d=1所以A1C與平面A1BD所成角的正弦值為dAlC對(duì)于D，當(dāng)A1C=3時(shí)，A所以A1B⊥BC，A1D⊥DC，將四面體A1﹣BCD補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體GBCD﹣A1B1C1D1，取A1D中點(diǎn)E，B1C中點(diǎn)F，則BF⊥B1C，A1D∥B1C，所以BF⊥A1D，又EF∥CD，CD⊥平面GDD1A1，A1D?平面GDD1A1，所以CD⊥A1D，所以EF⊥A1D，又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，所以A1D⊥平面BEF，又BE?平面BEF，所以BE⊥A1D，所以∠BEF是二面角B﹣A1D﹣C的平面角，又CD⊥平面BCC1B1，BF?平面BCC1B1，所以CD⊥BF，又B1C∩CD＝C，B1C、CD?平面A1B1CD，所以BF⊥平面A1B1CD，EF?平面A1B1CD，所以BF⊥EF，又BF=12+122=故BE=B所以cos∠則當(dāng)A1C=3時(shí)，二面角B﹣A1D﹣C的余弦值為6故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何綜合問(wèn)題，屬于中檔題．（多選）10．（2024秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．C1A⊥EF B．DD1與平面CD1EF所成角的正弦值為23C．存在點(diǎn)M使得C1M⊥平面CD1EF D．若C1M∥平面CD1EF，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為2【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】計(jì)算題；證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)三棱錐的體積公式，計(jì)算出點(diǎn)D到平面CD1EF的距離，結(jié)合直線與平面所成角的定義判斷出B項(xiàng)的正誤；利用反證法判斷出C項(xiàng)的正誤；首先證出面面平行，然后確定點(diǎn)的軌跡，再計(jì)算得出軌跡長(zhǎng)度，即可判斷出D項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于A，連接A1B、AB1、AC1，正方形ABB1A1中，A1B⊥AB1，結(jié)合EF∥A1B可得EF⊥AB1，因?yàn)锽1C1⊥平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，所以B1C1⊥EF，因?yàn)锳B1∩B1C1＝B1，AB1、B1C1?平面AB1C1，所以EF⊥平面AB1C1，可得EF⊥C1A，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，延長(zhǎng)D1E，交CF的延長(zhǎng)線于G，可知點(diǎn)G在DA延長(zhǎng)線上，且DA＝AG，則VD1-MDC=1設(shè)D到平面MCD1距離為d，由VD1-MDC所以DD1與平面CD1EF所成角的正弦值為dDD1對(duì)于C，若C1M⊥平面CD1EF，則C1M⊥D1E，可得C1M在平面A1D1DA內(nèi)的射影垂直于D1E，C1在平面A1D1DA內(nèi)的射影為D1，無(wú)論M在正方形ABB1A1內(nèi)哪一點(diǎn)，都不可能有射影垂直D1E，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖所示，取A1B1的中點(diǎn)H，BB1的中點(diǎn)G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF，則四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E，結(jié)合D1E?平面CD1E，C1G?平面CD1E，可得C1G∥平面CD1E．同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1E，因?yàn)镃1H∩C1G＝C1，C1H、C1G?平面C1GH，所以平面C1GH∥平面CD1E，因?yàn)镸點(diǎn)是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若C1M∥平面CD1E，則點(diǎn)M在線段GH上，所以M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為GH=12+故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行與面面平行的判定定理、直線與平面所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．（多選）11．（2023秋?吳橋縣校級(jí)月考）下列給出的命題正確的是（）A．若直線l的方向向量為e→=(1，0，3)，平面α的法向量為B．兩個(gè)不重合的平面α，β的法向量分別是u→=(2，2，C．若{a→，bD．已知三棱錐O﹣ABC，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且OP→=【考點(diǎn)】平面的法向量；命題的真假判斷與應(yīng)用；空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】利用線面平行的向量關(guān)系求解選項(xiàng)A；利用面面垂直的向量表示求解選項(xiàng)B；利用基底的概念求解選項(xiàng)C；利用空間四點(diǎn)共面的定理求解選項(xiàng)D．【解答】解：對(duì)A，∵直線l的方向向量為e→=(1，0，∴e→?n→=-2+2=0，∴l(xiāng)∥α或?qū)，兩個(gè)不重合的平面α，β的法向量分別是u→u→?v→=-6+8-2=0，∴α對(duì)C，假設(shè)a→+b∴(1-若y＝1，則(x-1)b與{a若y≠1，則a→=x-1與{a∴假設(shè)不成立，即a→+∴{a→+對(duì)D，三棱錐O﹣ABC，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且OP→∵P為平面ABC上的一點(diǎn)，∴P，A，B，C四點(diǎn)共面，則由共面定理以及OP→12+m-n=1，∴m-故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、面面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）12．（2023秋?福清市校級(jí)月考）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠ACB＝90°，AC=BC=12AA1=1A．點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離為2 B．DC1→是平面C．點(diǎn)C到平面BDC1的距離為63D．BD=【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離；平面的法向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，以{CA→，CB→，CC1→}為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，得出A、【解答】解：因?yàn)樵谥比庵鵄BC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，所以CA、CB、CC1兩兩垂直．以{CA→，根據(jù)AC＝BC＝1，CC1＝2，可得A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），D（1，0，1），C1（0，0，2），對(duì)于A，因?yàn)橄蛄緽C→為平面AA1C1C所以點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離為BC＝1，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镈C所以DC1→可得DC1⊥BD，且DC1⊥CB，因?yàn)锽D?平面BDC，CB?平面BDC，BD∩CB＝B，所以DC1⊥平面BDC，可知B項(xiàng)正確；對(duì)于C，設(shè)平面BDC1的法向量為n→由BC1→=(0，-1，2)，可得所以點(diǎn)C到平面BDC1的距離d=|BC→對(duì)于D，由|BD→|=故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、利用空間坐標(biāo)系研究線面垂直、點(diǎn)到平面的距離求法等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、空間想象能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024春?銅山區(qū)月考）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且B1P⊥D1E，則線段B1P的長(zhǎng)度的取值范圍是[125【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】[12【分析】首先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)P的軌跡方程，再代入兩點(diǎn)間的距離公式，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．【解答】解：以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B1（4，4，4），E（2，4，0），D1（0，0，4）設(shè)P（x，y，0）（0≤x≤4，0≤y≤4），則PBED1→=(-2，-4，4)，又B1即﹣2（4﹣x）﹣4×（4﹣y）+4×4＝0，則x+2y﹣4＝0．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，設(shè)F（0，2，0），所以點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段AF，所以|B1P→|=(4-x)2當(dāng)y=45時(shí)，|B1P→|所以線段B1P的長(zhǎng)度的取值范圍是[12故答案為：[12【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的應(yīng)用，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．14．（2024?渾南區(qū)校級(jí)開學(xué)）若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=6，則二面角P﹣BC﹣A的大小為90°【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】取BC的中點(diǎn)，連接PD，AD，由二面角的平面角的定義可得∠PDA為二面角P﹣BC﹣A的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系求解即可．【解答】解：取BC的中點(diǎn)，連接PD，AD，因?yàn)椤鱌BC和△ABC都是正三角形，所以PD⊥BC，AD⊥BC，則∠PDA為二面角P﹣BC﹣A的平面角，又PD＝AD=3，PA=則PD2+AD2＝PA2，所以∠PDA＝90°，則二面角P﹣BC﹣A的大小為90°．故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間角的求解，主要考查了二面角的求解，解題的關(guān)鍵是利用二面角的平面角的定義，確定出所要求解的角，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．15．（2024秋?三元區(qū)校級(jí)月考）已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u→=(-92，3，z)，向量v→【考點(diǎn)】平面的法向量；空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】-3【分析】根據(jù)直線l與平面α垂直，可得直線l的方向向量與平面α的法向量平行即可．【解答】解：因?yàn)橹本€l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u→=(-92，則u→則u→則z=-故答案為：-3【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面法向量相關(guān)計(jì)算知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024春?內(nèi)蒙古月考）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=2AA1=27，AB=BC=21，P是線段A1B上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PC1的最小值為【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】7．【分析】連接BC1，以A1B所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將△A1BC1所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面ABB1A1重合，設(shè)點(diǎn)C1的新位置為C′，則可得當(dāng)A，P，C′三點(diǎn)共線時(shí)，AC′的長(zhǎng)為AP+PC1的最小值，從而可求得其最小值．【解答】解：連接BC1，以A1B所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將△A1BC1所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面ABB1A1重合，設(shè)點(diǎn)C1的新位置為C′，連接AC′，則有AP+PC1＝AP+PC′≥AC′，如圖所示．當(dāng)A，P，C′三點(diǎn)共線時(shí)，AC′的長(zhǎng)為AP+PC1的最小值，因?yàn)锳A1=所以A1又A1C'=27，所以△A1BC′是邊長(zhǎng)為2又tan∠所以∠ABA1由勾股定理得AC'故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024?七星區(qū)校級(jí)模擬）如圖，幾何體PABCD中，△PBD和△CBD均為等邊三角形，平面ABD⊥平面PBD，AB=AD=5，BD=2（1）證明：PC與AM不是異面直線；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）6513【分析】（1）想證明不是異面直線，就是要證明P，C，M，A這四點(diǎn)共面，根據(jù)線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合平面內(nèi)垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：連接CM，由AB＝AD，△PBD、△CBD為等邊三角形，M為BD中點(diǎn)，得AM⊥BD，PM⊥BD，CM⊥BD，又AM∩PM＝M，AM，PM?平面APM，則BD⊥平面APM，PA?平面APM，所以BD⊥PA；而CM∩PM＝M，CM，PM?平面CPM，所以BD⊥平面CPM，又PC?平面CPM，所以BD⊥PC，又PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，設(shè)平面PAC與直線BD交于點(diǎn)M′，則BD⊥AM′，顯然AM′?平面ABD，在平面ABD內(nèi)，過(guò)直線BD外一點(diǎn)A有且僅有一條直線與BD垂直，所以M與M′重合，即有P，A，M，C四點(diǎn)共面．所以PC與AM不是異面直線；（2）解：由（1）知，平面PAMC⊥平面BCD，在平面PAMC內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作Mz⊥MC，而平面PAMC∩平面BCD＝MC，則Mz⊥平面BCD，直線MB，MC，Mz兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，直線MB，MC，Mz分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由平面ABD⊥平面PBD，平面ABD∩平面PBD＝BD，AM?平面ABD，AM⊥平面PBD，而MP?平面PBD，所以AM⊥MP，由△PBD和△CBD均為等邊三角形，得PM=MC=PC=3，∠PMC=60°，由AB=AD=5，得于是P(0，則AB→設(shè)平面PBC的法向量為m→則m→?BP令y=3，得m因?yàn)閙→?AB→=3×1+3×3+1×（﹣1）＝|AB→|=所以cos＜m→，設(shè)直線AB與平面PBC夾角為θ，所以sinθ＝|cos＜cos＜m→，AB→所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為6513【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的證法及用空間向量的方法求線面所成的角的正弦值的值，屬于中檔題．18．（2024?遼寧開學(xué)）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為ΦP=1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi（i＝1，2，?，k，k≥3）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q（1）求三棱錐P﹣ABC在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；（2）若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，三棱錐P﹣ABC在頂點(diǎn)C處的離散曲率為38①求點(diǎn)A到平面PBC的距離；②點(diǎn)Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為306，求BQ【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離；幾何法求解直線與平面所成的角．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）2；（2）①2；②23【分析】（1）根據(jù)所給定義表示出ΦP、ΦA(chǔ)、ΦB、ΦC，再相加即可；（2）①首先證明BC⊥平面PAC，則∠BCP=π2，再由ΦC，求出∠PCA，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PC于點(diǎn)M，即可證明AM⊥平面PCB，則點(diǎn)A到平面PCB的距離為線段AM的長(zhǎng)，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；②過(guò)點(diǎn)Q作QG//PA交AB于點(diǎn)G，連接CG，即可證明QG⊥平面ABC，則∠GCQ為直線CQ與平面ABC所成的角，設(shè)BQ=x(0＜x≤2【解答】解：（1）根據(jù)離散曲率的定義得：ΦΦA(chǔ)ΦBΦC所以ΦP（2）①因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，即∠BCP=又ΦC即38=1-1過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PC于點(diǎn)M，因?yàn)锽C⊥平面PAC，AM?平面PAC，所以BC⊥AM，又BC∩PC＝C，BC，PC?平面PCB，所以AM⊥平面PCB，所以點(diǎn)A到平面PCB的距離為線段AM的長(zhǎng)，在Rt△ACM中AM=ACsin∠即點(diǎn)A到平面PBC的距離為2；②過(guò)點(diǎn)Q作QG//PA交AB于點(diǎn)G，連接CG，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以QG⊥平面ABC，所以∠GCQ為直線CQ與平面ABC所成的角，依題意可得PA＝2，AB=22+所以sin∠PBA=PA設(shè)BQ=x(0＜x≤23在△BCG中，CG=B又cos∠GCQ=30所以tan∠所以tan∠GCQ=QGCG=33【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)到平面的距離的求法，屬于中檔題．19．（2024?福州開學(xué)）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，且AA1＝AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為C1D1，DD1的中點(diǎn)．（1）證明：AF∥平面A1EB．（2）求平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見解析；（2）33【分析】（1）不妨設(shè)AD＝1，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1EB的法向量m→的坐標(biāo)，由AF→?（2）求出平面A1B1B的法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得．【解答】（1）證明：不妨設(shè)AD＝1，則AA1＝AB＝2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1（1，0，2），B（1，2，0），E（0，1，2），A（1，0，0），F(xiàn)（0，0，1），D（0，0，0），所以A1E→=(-1，設(shè)m→=(x，y，則m→?A1E→=-x+y=0m→?A所以平面A1EB的一個(gè)法向量m→又AF→?m因?yàn)锳F?平面A1EB，所以AF∥平面A1EB；（2）解：因?yàn)镈A⊥平面AA1B1B，所以DA→=(1，0，0)是平面m→?DA→=1×1+1×0+1×0＝1，|m→|=12+所以cos＜m→，所以平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值為33【點(diǎn)評(píng)】本題考查用空間向量的方法證明線面的平行及兩根平面的夾角的余弦值，屬于中檔題．20．（2023秋?林芝市期末）已知空間向量a→（1）求|2a（2）若向量a→+2b→與【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；空間向量及其線性運(yùn)算；空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）310（2）k＝5．【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)公式求解即可．（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算公式，求解即可．【解答】解：（1）2a→-3（2）a→+2b由向量a→+2b→與則4（2k﹣3）+（﹣k﹣3）﹣10（﹣2k+12）＝0，解得：k＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．運(yùn)用基本不等式求最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2，并且在【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b+1的最大值是解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1+當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．3．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說(shuō)這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對(duì)于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對(duì)于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對(duì)于C：∵(-35，45)?（4，3對(duì)于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點(diǎn)評(píng)：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．4．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．5．棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱錐的體積可以通過(guò)底面面積B和高度h計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=1﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用棱錐體積計(jì)算．6．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類與a異面，也有無(wú)數(shù)條．7．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說(shuō)直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．8．空間向量及其線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移成為共面向量；⑤一般來(lái)說(shuō)，向量不能比較大小．1．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長(zhǎng)度是a→的長(zhǎng)度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±9．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長(zhǎng)度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長(zhǎng)度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λ（a（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號(hào)a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)a→≠0→時(shí)，由a→?b→=0不能推出【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對(duì)非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時(shí)，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問(wèn)題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1分析：通過(guò)2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1→，e2→，e3其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x，y【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來(lái)．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒(méi)給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．11．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一、空間向量及其有關(guān)概念語(yǔ)言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個(gè)向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個(gè)向量a→、b→、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→?a1b1+a2b2+a3b3夾角公式cos＜a→，12．空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無(wú)窮多個(gè)方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個(gè)方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來(lái)刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面α有無(wú)窮多個(gè)法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內(nèi)，則有n→?④一個(gè)平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個(gè)量（4）?。喝為任意一個(gè)數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→1、空間直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)M0（x0，y0，z0），s→=（m，n，p）是直線L的方向向量．設(shè)M（x，y，z）是直線L上任意一點(diǎn)，則M0M→=（x﹣x0，y﹣y0，z﹣zx-x改方程組稱為直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程（當(dāng)m、n、p中有一個(gè)或兩個(gè)為零時(shí)，就理解為相應(yīng)的分子為零）．若直線L的方程為x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面π的方程為Ax+By+Cz+D＝0，則直線L與平面π平行的充要條件是2、空間直線的參數(shù)方程：在直線方程x-x0mx=x這樣，空間直線上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z就都表達(dá)為變量t的函數(shù)．當(dāng)t取遍所有實(shí)數(shù)值時(shí)，由所確定的點(diǎn)M（x，y，z）就描出來(lái)直線．形如（※）的方程稱為直線的參數(shù)方程，t為參數(shù)．13．平面的法向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無(wú)窮多個(gè)方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個(gè)方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來(lái)刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面α有無(wú)窮多個(gè)法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內(nèi)，則有n→?④一個(gè)平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個(gè)量（4）?。喝為任意一個(gè)數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→14．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問(wèn)題（平面問(wèn)題）來(lái)解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問(wèn)題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來(lái)定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線有無(wú)數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來(lái)定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對(duì)于已知的斜線來(lái)說(shuō)這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cos15．幾何法求解直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問(wèn)題（平面問(wèn)題）來(lái)解決的．【解題方法點(diǎn)撥】具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證