2025年高考數(shù)學復習新題速遞之空間向量的應用（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學復習新題速遞之空間向量的應用（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?江西開學）已知圓臺的上、下底面的面積分別為4π，25π，側面積為35π，則該圓臺外接球的球心到上底面的距離為（）A．278 B．274 C．378 2．（2024?德州開學）已知正三棱臺ABC﹣A1B1C1的體積為283，AB=4，A1BA．12 B．1 C．2 D．3．（2024秋?濱城區(qū)校級月考）已知向量a→=(1，-4，3)，b→=(2，4x，y+1)分別是直線l1A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．44．（2024秋?遼寧月考）設x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（2，﹣4，2），且a→⊥c→，A．22 B．10 C．3 D．5．（2023秋?肇東市校級期末）已知A（1，0，1），n→=(1，0，1)是平面α的一個法向量，且B（﹣1，2，2）是平面A．23 B．26 C．2 D6．（2024?平湖市校級模擬）設x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，A．22 B．10 C．3 D．7．（2024春?射陽縣校級期末）已知a→=(2，-1，3)，A．103 B．﹣6 C．6 D．8．（2024春?惠農(nóng)區(qū)校級期末）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為l→=(2，m，1)，平面α的一個法向量為n→=(-1，2，A．2 B．2 C．22 D．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?余江區(qū)校級開學）已知平面四邊形ABCD中，AB=AD=BD=2，和BC＝CD＝1，將平面四邊形沿對角線BD翻折，得到四面體A1﹣BCDA．無論翻折到何處，A1C⊥DB B．四面體A1﹣BCD的體積的最大值為612C．當A1C＝1時，A1C與平面A1BD所成角的正弦值為23D．當A1C=3時，二面角B﹣A1D﹣（多選）10．（2024秋?香坊區(qū)校級月考）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點，點M是正方形ABB1A1內的動點，下列說法正確的是（）A．C1A⊥EF B．DD1與平面CD1EF所成角的正弦值為23C．存在點M使得C1M⊥平面CD1EF D．若C1M∥平面CD1EF，則M點的軌跡長度為2（多選）11．（2023秋?吳橋縣校級月考）下列給出的命題正確的是（）A．若直線l的方向向量為e→=(1，0，3)，平面α的法向量為B．兩個不重合的平面α，β的法向量分別是u→=(2，2，C．若{a→，bD．已知三棱錐O﹣ABC，點P為平面ABC上的一點，且OP→=（多選）12．（2023秋?福清市校級月考）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠ACB＝90°，AC=BC=12AA1=1A．點B到平面AA1C1C的距離為2 B．DC1→是平面C．點C到平面BDC1的距離為63D．BD=三．填空題（共4小題）13．（2024春?銅山區(qū)月考）如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，P是底面ABCD內的一點（包含邊界），且B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的取值范圍是．14．（2024?渾南區(qū)校級開學）若P是△ABC所在平面外一點，且△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA=6，則二面角P﹣BC﹣A的大小為15．（2024秋?三元區(qū)校級月考）已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u→=(-92，3，z)，向量v→16．（2024春?內蒙古月考）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=2AA1=27，AB=BC=21，P是線段A1B上一動點，則AP+PC1的最小值為四．解答題（共4小題）17．（2024?七星區(qū)校級模擬）如圖，幾何體PABCD中，△PBD和△CBD均為等邊三角形，平面ABD⊥平面PBD，AB=AD=5，BD=2（1）證明：PC與AM不是異面直線；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．18．（2024?遼寧開學）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為ΦP=1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi（i＝1，2，?，k，k≥3）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q（1）求三棱錐P﹣ABC在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，三棱錐P﹣ABC在頂點C處的離散曲率為38①求點A到平面PBC的距離；②點Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為306，求BQ19．（2024?福州開學）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，且AA1＝AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為C1D1，DD1的中點．（1）證明：AF∥平面A1EB．（2）求平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值．20．（2023秋?林芝市期末）已知空間向量a→（1）求|2a（2）若向量a→+2b→與

2025年高考數(shù)學復習新題速遞之空間向量的應用（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?江西開學）已知圓臺的上、下底面的面積分別為4π，25π，側面積為35π，則該圓臺外接球的球心到上底面的距離為（）A．278 B．274 C．378 【考點】點、線、面間的距離計算．【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺的幾何特征即可求解．【解答】解：依題意，記圓臺的上，下底面半徑分別為r1，r2，則有πr12=4π，πr22=25π，解得r1＝設圓臺的母線長為l，則π（r1+r2）l＝35π，解得l＝5，則圓臺的高h＝4，記外接球球心到上底面的距離為x，則有x2+22＝（x﹣4）2+52，解得x=37故選：C．【點評】本題考查空間距離的求解，屬基礎題．2．（2024?德州開學）已知正三棱臺ABC﹣A1B1C1的體積為283，AB=4，A1BA．12 B．1 C．2 D．【考點】幾何法求解直線與平面所成的角．【專題】轉化思想；轉化法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】C【分析】將正三棱臺ABC﹣A1B1C1補成正三棱錐P﹣ABC，A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，根據(jù)比例關系可得VP-ABC=323，進而可求正三棱錐【解答】解：將正三棱臺ABC﹣A1B1C1補成正三棱錐P﹣ABC，則A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，因為PA1PA可知VABC-則VP-ABC取底面ABC的中心為O，設正三棱錐P﹣ABC的高為d＝PO，則VP-ABC解得d=8又PO⊥底面ABC，且在△ABC中，AB＝4，由正弦定理得2AO=4所以PA與平面ABC所成角的正切值tan∠故選：C．【點評】本題考查線面角的計算，屬于中檔題．3．（2024秋?濱城區(qū)校級月考）已知向量a→=(1，-4，3)，b→=(2，4x，y+1)分別是直線l1A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4【考點】空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】C【分析】利用空間向量共線的充要條件計算即得．【解答】解：l1∥l2，則a→所以21=4x-4=y+13，解得x所以x+y＝3．故選：C．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．4．（2024秋?遼寧月考）設x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（2，﹣4，2），且a→⊥c→，A．22 B．10 C．3 D．【考點】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】計算題；方程思想；定義法；平面向量及應用；數(shù)學運算．【答案】C【分析】利用向量平行和向量垂直的性質列出方程組，求出x，y，再由平面向量坐標運算法則求出a→+b→，由此能求出【解答】解：設x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（且a→⊥c→，b→∴2x-4+2=012=y-4=1∴a→+b→=（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2∴|a→+b故選：C．【點評】本題考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐標運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5．（2023秋?肇東市校級期末）已知A（1，0，1），n→=(1，0，1)是平面α的一個法向量，且B（﹣1，2，2）是平面A．23 B．26 C．2 D【考點】空間中點到平面的距離．【專題】轉化思想；向量法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】D【分析】求出AB→【解答】解：由已知AB→=(-2，2，則點A到平面α的距離為|AB故選：D．【點評】本題考查利用向量法求解點到平面的距離，屬基礎題．6．（2024?平湖市校級模擬）設x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，A．22 B．10 C．3 D．【考點】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結合向量垂直、平行的性質，求出b→【解答】解：a→=(1，1，則a→?c→=x-4+2=0因為b→=(1，y，所以y＝﹣2，z＝1，所以b→所以2a所以|2a故選：D．【點評】本題主要考查向量共線、垂直的性質，屬于基礎題．7．（2024春?射陽縣校級期末）已知a→=(2，-1，3)，A．103 B．﹣6 C．6 D．【考點】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】A【分析】直接利用向量垂直的充要條件求出結果．【解答】解：由于a→=(2，-1，所以﹣8﹣2+3x＝0，解得x=10故選：A．【點評】本題考查的知識要點：向量垂直的充要條件，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．8．（2024春?惠農(nóng)區(qū)校級期末）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為l→=(2，m，1)，平面α的一個法向量為n→=(-1，2，A．2 B．2 C．22 D．【考點】空間向量語言表述線面的垂直、平行關系；平面中直線的方向向量和法向量；運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】C【分析】因為l∥α，所以l的方向向量與平面α的法向量垂直，再根據(jù)基本不等式，利用常數(shù)代換求解．【解答】解：依題意可得：l→?n所以12（2m+n）＝1所以1m又m＞0，n＞0，所以nm＞0所以nm當且僅當nm=2m所以1m+2n=12(22故選：C．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法及基本不等式的應用，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?余江區(qū)校級開學）已知平面四邊形ABCD中，AB=AD=BD=2，和BC＝CD＝1，將平面四邊形沿對角線BD翻折，得到四面體A1﹣BCDA．無論翻折到何處，A1C⊥DB B．四面體A1﹣BCD的體積的最大值為612C．當A1C＝1時，A1C與平面A1BD所成角的正弦值為23D．當A1C=3時，二面角B﹣A1D﹣【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角；棱錐的體積；直線與平面垂直．【專題】轉化思想；轉化法；立體幾何；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】對于A，取線段BD的中點O，連接A1O，CO，由題意求證BD⊥平面A1OC即可判斷；對于B，當平面A1BD⊥平面BCD時，四面體A1﹣BCD的體積最大，求出A1O，BC⊥CD即可根據(jù)錐體體積公式計算得解；對于C，求證A1C，BC，CD兩兩互相垂直，并將四面體A1﹣BCD補成棱長為1的正方體，設C到平面A1BD的距離為d，由VC-A1BD=VA1-CBD即13S△A1BDd=13S△CBD?A1C求出d，則A1C與平面A1BD所成角的正弦值即為dAlC；對于D，求證A1B⊥BC，A1D⊥DC，將四面體A1﹣BCD補成棱長為1的正方體GBCD﹣A1B1C1D1，取A1D中點E，B1C中點F，求證A【解答】解：對于A，取線段BD的中點O，連接A1O，CO，∵△ABD是等邊三角形，在△BCD中，BC＝BD，∴A1O⊥BD，CO⊥BD，又A1O∩CO＝O，A1O、CO?平面A1OC，∴BD⊥平面A1OC，又∵A1C?平面A1OC，∴BD⊥A1C，即無論翻折到何處，A1C⊥DB，故A正確；對于B，當平面A1BD⊥平面BCD時，四面體A1﹣BCD的體積最大，又A1O⊥BD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，A1O?平面A1BD，所以A1O⊥平面BCD，又A1O=(2)2-(22即BC⊥CD，所以(VA1對于C，當A1C＝1時，A1C2所以A1C⊥BC，A1C⊥DC，又BC⊥CD，所以A1C，BC，CD兩兩互相垂直，且A1C＝BC＝CD＝1，將四面體A1﹣BCD補成棱長為1的正方體，設C到平面A1BD的距離為d，則由VC-A1得d=1所以A1C與平面A1BD所成角的正弦值為dAlC對于D，當A1C=3時，A所以A1B⊥BC，A1D⊥DC，將四面體A1﹣BCD補成棱長為1的正方體GBCD﹣A1B1C1D1，取A1D中點E，B1C中點F，則BF⊥B1C，A1D∥B1C，所以BF⊥A1D，又EF∥CD，CD⊥平面GDD1A1，A1D?平面GDD1A1，所以CD⊥A1D，所以EF⊥A1D，又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，所以A1D⊥平面BEF，又BE?平面BEF，所以BE⊥A1D，所以∠BEF是二面角B﹣A1D﹣C的平面角，又CD⊥平面BCC1B1，BF?平面BCC1B1，所以CD⊥BF，又B1C∩CD＝C，B1C、CD?平面A1B1CD，所以BF⊥平面A1B1CD，EF?平面A1B1CD，所以BF⊥EF，又BF=12+122=故BE=B所以cos∠則當A1C=3時，二面角B﹣A1D﹣C的余弦值為6故選：ABD．【點評】本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題．（多選）10．（2024秋?香坊區(qū)校級月考）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點，點M是正方形ABB1A1內的動點，下列說法正確的是（）A．C1A⊥EF B．DD1與平面CD1EF所成角的正弦值為23C．存在點M使得C1M⊥平面CD1EF D．若C1M∥平面CD1EF，則M點的軌跡長度為2【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】計算題；證明題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間角；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理判斷出A項的正誤；根據(jù)三棱錐的體積公式，計算出點D到平面CD1EF的距離，結合直線與平面所成角的定義判斷出B項的正誤；利用反證法判斷出C項的正誤；首先證出面面平行，然后確定點的軌跡，再計算得出軌跡長度，即可判斷出D項的正誤．【解答】解：對于A，連接A1B、AB1、AC1，正方形ABB1A1中，A1B⊥AB1，結合EF∥A1B可得EF⊥AB1，因為B1C1⊥平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，所以B1C1⊥EF，因為AB1∩B1C1＝B1，AB1、B1C1?平面AB1C1，所以EF⊥平面AB1C1，可得EF⊥C1A，故A項正確；對于B，延長D1E，交CF的延長線于G，可知點G在DA延長線上，且DA＝AG，則VD1-MDC=1設D到平面MCD1距離為d，由VD1-MDC所以DD1與平面CD1EF所成角的正弦值為dDD1對于C，若C1M⊥平面CD1EF，則C1M⊥D1E，可得C1M在平面A1D1DA內的射影垂直于D1E，C1在平面A1D1DA內的射影為D1，無論M在正方形ABB1A1內哪一點，都不可能有射影垂直D1E，故C項錯誤；對于D，如圖所示，取A1B1的中點H，BB1的中點G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF，則四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E，結合D1E?平面CD1E，C1G?平面CD1E，可得C1G∥平面CD1E．同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1E，因為C1H∩C1G＝C1，C1H、C1G?平面C1GH，所以平面C1GH∥平面CD1E，因為M點是正方形ABB1A1內的動點，若C1M∥平面CD1E，則點M在線段GH上，所以M點的軌跡長度為GH=12+故選：ABD．【點評】本題主要考查正方體的結構特征、線面垂直的判定與性質、線面平行與面面平行的判定定理、直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．（多選）11．（2023秋?吳橋縣校級月考）下列給出的命題正確的是（）A．若直線l的方向向量為e→=(1，0，3)，平面α的法向量為B．兩個不重合的平面α，β的法向量分別是u→=(2，2，C．若{a→，bD．已知三棱錐O﹣ABC，點P為平面ABC上的一點，且OP→=【考點】平面的法向量；命題的真假判斷與應用；空間向量基本定理、正交分解及坐標表示．【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】利用線面平行的向量關系求解選項A；利用面面垂直的向量表示求解選項B；利用基底的概念求解選項C；利用空間四點共面的定理求解選項D．【解答】解：對A，∵直線l的方向向量為e→=(1，0，∴e→?n→=-2+2=0，∴l(xiāng)∥α或對B，兩個不重合的平面α，β的法向量分別是u→u→?v→=-6+8-2=0，∴α對C，假設a→+b∴(1-若y＝1，則(x-1)b與{a若y≠1，則a→=x-1與{a∴假設不成立，即a→+∴{a→+對D，三棱錐O﹣ABC，點P為平面ABC上的一點，且OP→∵P為平面ABC上的一點，∴P，A，B，C四點共面，則由共面定理以及OP→12+m-n=1，∴m-故選：BCD．【點評】本題考查線面平行、面面垂直等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．（多選）12．（2023秋?福清市校級月考）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠ACB＝90°，AC=BC=12AA1=1A．點B到平面AA1C1C的距離為2 B．DC1→是平面C．點C到平面BDC1的距離為63D．BD=【考點】空間中點到平面的距離；平面的法向量．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，以{CA→，CB→，CC1→}為正交基底建立空間直角坐標系，得出A、【解答】解：因為在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，所以CA、CB、CC1兩兩垂直．以{CA→，根據(jù)AC＝BC＝1，CC1＝2，可得A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），D（1，0，1），C1（0，0，2），對于A，因為向量BC→為平面AA1C1C所以點B到平面AA1C1C的距離為BC＝1，故A項錯誤；對于B，因為DC所以DC1→可得DC1⊥BD，且DC1⊥CB，因為BD?平面BDC，CB?平面BDC，BD∩CB＝B，所以DC1⊥平面BDC，可知B項正確；對于C，設平面BDC1的法向量為n→由BC1→=(0，-1，2)，可得所以點C到平面BDC1的距離d=|BC→對于D，由|BD→|=故選：BCD．【點評】本題主要考查直三棱柱的性質、利用空間坐標系研究線面垂直、點到平面的距離求法等知識，考查了計算能力、空間想象能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024春?銅山區(qū)月考）如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，P是底面ABCD內的一點（包含邊界），且B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的取值范圍是[125【考點】點、線、面間的距離計算；棱柱的結構特征．【專題】轉化思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】[12【分析】首先利用向量垂直的坐標表示，求得點P的軌跡方程，再代入兩點間的距離公式，求線段長度的取值范圍．【解答】解：以D為原點，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則B1（4，4，4），E（2，4，0），D1（0，0，4）設P（x，y，0）（0≤x≤4，0≤y≤4），則PBED1→=(-2，-4，4)，又B1即﹣2（4﹣x）﹣4×（4﹣y）+4×4＝0，則x+2y﹣4＝0．當x＝0時，y＝2，設F（0，2，0），所以點P在底面ABCD內的軌跡為一條線段AF，所以|B1P→|=(4-x)2當y=45時，|B1P→|所以線段B1P的長度的取值范圍是[12故答案為：[12【點評】本題考查向量的應用，動點問題，屬于中檔題．14．（2024?渾南區(qū)校級開學）若P是△ABC所在平面外一點，且△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA=6，則二面角P﹣BC﹣A的大小為90°【考點】二面角的平面角及求法．【專題】轉化思想；定義法；空間角；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內容【分析】取BC的中點，連接PD，AD，由二面角的平面角的定義可得∠PDA為二面角P﹣BC﹣A的平面角，利用三角形的邊角關系求解即可．【解答】解：取BC的中點，連接PD，AD，因為△PBC和△ABC都是正三角形，所以PD⊥BC，AD⊥BC，則∠PDA為二面角P﹣BC﹣A的平面角，又PD＝AD=3，PA=則PD2+AD2＝PA2，所以∠PDA＝90°，則二面角P﹣BC﹣A的大小為90°．故答案為：90°．【點評】本題考查了空間角的求解，主要考查了二面角的求解，解題的關鍵是利用二面角的平面角的定義，確定出所要求解的角，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．15．（2024秋?三元區(qū)校級月考）已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u→=(-92，3，z)，向量v→【考點】平面的法向量；空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程．【專題】對應思想；定義法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】-3【分析】根據(jù)直線l與平面α垂直，可得直線l的方向向量與平面α的法向量平行即可．【解答】解：因為直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u→=(-92，則u→則u→則z=-故答案為：-3【點評】本題考查平面法向量相關計算知識，屬于基礎題．16．（2024春?內蒙古月考）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=2AA1=27，AB=BC=21，P是線段A1B上一動點，則AP+PC1的最小值為【考點】點、線、面間的距離計算；棱柱的結構特征．【專題】數(shù)形結合；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】7．【分析】連接BC1，以A1B所在直線為旋轉軸，將△A1BC1所在平面旋轉到與平面ABB1A1重合，設點C1的新位置為C′，則可得當A，P，C′三點共線時，AC′的長為AP+PC1的最小值，從而可求得其最小值．【解答】解：連接BC1，以A1B所在直線為旋轉軸，將△A1BC1所在平面旋轉到與平面ABB1A1重合，設點C1的新位置為C′，連接AC′，則有AP+PC1＝AP+PC′≥AC′，如圖所示．當A，P，C′三點共線時，AC′的長為AP+PC1的最小值，因為AA1=所以A1又A1C'=27，所以△A1BC′是邊長為2又tan∠所以∠ABA1由勾股定理得AC'故答案為：7．【點評】本題考查棱柱的結構特征，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024?七星區(qū)校級模擬）如圖，幾何體PABCD中，△PBD和△CBD均為等邊三角形，平面ABD⊥平面PBD，AB=AD=5，BD=2（1）證明：PC與AM不是異面直線；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間角；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解析；（2）6513【分析】（1）想證明不是異面直線，就是要證明P，C，M，A這四點共面，根據(jù)線面垂直的判定定理、線面垂直的性質、等腰三角形的性質，結合平面內垂直的性質進行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結論，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可．【解答】（1）證明：連接CM，由AB＝AD，△PBD、△CBD為等邊三角形，M為BD中點，得AM⊥BD，PM⊥BD，CM⊥BD，又AM∩PM＝M，AM，PM?平面APM，則BD⊥平面APM，PA?平面APM，所以BD⊥PA；而CM∩PM＝M，CM，PM?平面CPM，所以BD⊥平面CPM，又PC?平面CPM，所以BD⊥PC，又PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，設平面PAC與直線BD交于點M′，則BD⊥AM′，顯然AM′?平面ABD，在平面ABD內，過直線BD外一點A有且僅有一條直線與BD垂直，所以M與M′重合，即有P，A，M，C四點共面．所以PC與AM不是異面直線；（2）解：由（1）知，平面PAMC⊥平面BCD，在平面PAMC內過點M作Mz⊥MC，而平面PAMC∩平面BCD＝MC，則Mz⊥平面BCD，直線MB，MC，Mz兩兩垂直，以M為原點，直線MB，MC，Mz分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由平面ABD⊥平面PBD，平面ABD∩平面PBD＝BD，AM?平面ABD，AM⊥平面PBD，而MP?平面PBD，所以AM⊥MP，由△PBD和△CBD均為等邊三角形，得PM=MC=PC=3，∠PMC=60°，由AB=AD=5，得于是P(0，則AB→設平面PBC的法向量為m→則m→?BP令y=3，得m因為m→?AB→=3×1+3×3+1×（﹣1）＝|AB→|=所以cos＜m→，設直線AB與平面PBC夾角為θ，所以sinθ＝|cos＜cos＜m→，AB→所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為6513【點評】本題考查異面直線的證法及用空間向量的方法求線面所成的角的正弦值的值，屬于中檔題．18．（2024?遼寧開學）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為ΦP=1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi（i＝1，2，?，k，k≥3）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q（1）求三棱錐P﹣ABC在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，三棱錐P﹣ABC在頂點C處的離散曲率為38①求點A到平面PBC的距離；②點Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為306，求BQ【考點】空間中點到平面的距離；幾何法求解直線與平面所成的角．【專題】數(shù)形結合；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）2；（2）①2；②23【分析】（1）根據(jù)所給定義表示出ΦP、ΦA、ΦB、ΦC，再相加即可；（2）①首先證明BC⊥平面PAC，則∠BCP=π2，再由ΦC，求出∠PCA，過點A作AM⊥PC于點M，即可證明AM⊥平面PCB，則點A到平面PCB的距離為線段AM的長，再由銳角三角函數(shù)計算可得；②過點Q作QG//PA交AB于點G，連接CG，即可證明QG⊥平面ABC，則∠GCQ為直線CQ與平面ABC所成的角，設BQ=x(0＜x≤2【解答】解：（1）根據(jù)離散曲率的定義得：ΦΦAΦBΦC所以ΦP（2）①因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，即∠BCP=又ΦC即38=1-1過點A作AM⊥PC于點M，因為BC⊥平面PAC，AM?平面PAC，所以BC⊥AM，又BC∩PC＝C，BC，PC?平面PCB，所以AM⊥平面PCB，所以點A到平面PCB的距離為線段AM的長，在Rt△ACM中AM=ACsin∠即點A到平面PBC的距離為2；②過點Q作QG//PA交AB于點G，連接CG，因為PA⊥平面ABC，所以QG⊥平面ABC，所以∠GCQ為直線CQ與平面ABC所成的角，依題意可得PA＝2，AB=22+所以sin∠PBA=PA設BQ=x(0＜x≤23在△BCG中，CG=B又cos∠GCQ=30所以tan∠所以tan∠GCQ=QGCG=33【點評】本題考查空間中點到平面的距離的求法，屬于中檔題．19．（2024?福州開學）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，且AA1＝AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為C1D1，DD1的中點．（1）證明：AF∥平面A1EB．（2）求平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值．【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間角；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解析；（2）33【分析】（1）不妨設AD＝1，建立空間直角坐標系，求出平面A1EB的法向量m→的坐標，由AF→?（2）求出平面A1B1B的法向量的坐標，利用空間向量法計算可得．【解答】（1）證明：不妨設AD＝1，則AA1＝AB＝2，如圖建立空間直角坐標系，則A1（1，0，2），B（1，2，0），E（0，1，2），A（1，0，0），F(xiàn)（0，0，1），D（0，0，0），所以A1E→=(-1，設m→=(x，y，則m→?A1E→=-x+y=0m→?A所以平面A1EB的一個法向量m→又AF→?m因為AF?平面A1EB，所以AF∥平面A1EB；（2）解：因為DA⊥平面AA1B1B，所以DA→=(1，0，0)是平面m→?DA→=1×1+1×0+1×0＝1，|m→|=12+所以cos＜m→，所以平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值為33【點評】本題考查用空間向量的方法證明線面的平行及兩根平面的夾角的余弦值，屬于中檔題．20．（2023秋?林芝市期末）已知空間向量a→（1）求|2a（2）若向量a→+2b→與【考點】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；空間向量及其線性運算；空間向量的數(shù)量積運算．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）310（2）k＝5．【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長公式求解即可．（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標計算公式，求解即可．【解答】解：（1）2a→-3（2）a→+2b由向量a→+2b→與則4（2k﹣3）+（﹣k﹣3）﹣10（﹣2k+12）＝0，解得：k＝5．【點評】本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內容是《課程標準》新增加的內容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2，并且在【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設計等．例如，求解一個代數(shù)式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b+1的最大值是解：因為正數(shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1+當且僅當a＝b=1故答案為：6．3．數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系【知識點的認識】向量是有方向的，那么在一個空間內，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1【解題方法點撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對于C：∵(-35，45)?（4，3對于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點評：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個點，主要性質就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關系并靈活運用．4．棱柱的結構特征【知識點的認識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側面．側棱：棱柱中兩個側面的公共邊叫做棱柱的側棱．頂點：棱柱的側面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結構特征棱柱1根據(jù)棱柱的結構特征，可知棱柱有以下性質：（1）側面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．5．棱錐的體積【知識點的認識】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為V=1﹣底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質計算．【命題方向】﹣棱錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計算棱錐的體積．﹣實際應用：如何在實際問題中應用棱錐體積計算．6．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質是：對于平面外的一條直線，只需在平面內找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質定理的實質是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結論是：a∥α，若b?α，則b與a的關系是：異面或平行．即平面α內的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．7．直線與平面垂直【知識點的認識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．8．空間向量及其線性運算【知識點的認識】1．空間向量：在空間內，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結合律．（1）交換律：a（2）結合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：A1（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ＞0時，λa→與②當λ＜0時，λa→與③當λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結合律：λ(μ注意：實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ±9．空間向量的數(shù)量積運算【知識點的認識】1．空間向量的夾角已知兩個非零向量a→、b→，在空間中任取一點O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λ（a（2）分配律：a→4．數(shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時，只能用符號a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結果是個實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當a→≠0→時，由a→?b→=0不能推出【解題方法點撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量表示為幾個已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點間的距離、證明垂直關系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運算法則的應用，任何有關數(shù)量積計算問題都離不開運算律的運用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點評：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎題．10．空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【知識點的認識】1．空間向量基本定理如果三個向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點O為原點，分別以e1→，e2→，e3其中，點O叫做原點，向量e1→，e24．空間向量的坐標表示對于空間任意一個向量p→，一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序實數(shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x，y【解題方法點撥】1．基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進行判斷．假設不能作為一個基底，看是否存在一對實數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標表示用坐標表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標系；（3）進行計算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計算；（4）確定結果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律進行．（2）若沒給定基底時，首先選擇基底．選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．11．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識點的認識】一、空間向量及其有關概念語言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對空間任意兩個向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序實數(shù)對（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個向量a→、b→、c不共面，那么對空間任一向量p→，存在有序實數(shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間一點P都存在唯一的三個有序實數(shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標運算1．兩個向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標運算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→?a1b1+a2b2+a3b3夾角公式cos＜a→，12．空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程【知識點的認識】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點A以及一個定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點的坐標寫出直線l的一個方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個平面α有無窮多個法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內，則有n→?④一個平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設：設出平面法向量的坐標為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個量（4）?。喝為任意一個數(shù)（當然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→1、空間直線的點向式方程或標準方程：設直線L過點M0（x0，y0，z0），s→=（m，n，p）是直線L的方向向量．設M（x，y，z）是直線L上任意一點，則M0M→=（x﹣x0，y﹣y0，z﹣zx-x改方程組稱為直線的點向式方程或標準方程（當m、n、p中有一個或兩個為零時，就理解為相應的分子為零）．若直線L的方程為x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面π的方程為Ax+By+Cz+D＝0，則直線L與平面π平行的充要條件是2、空間直線的參數(shù)方程：在直線方程x-x0mx=x這樣，空間直線上動點M的坐標x、y、z就都表達為變量t的函數(shù)．當t取遍所有實數(shù)值時，由所確定的點M（x，y，z）就描出來直線．形如（※）的方程稱為直線的參數(shù)方程，t為參數(shù)．13．平面的法向量【知識點的認識】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點A以及一個定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點的坐標寫出直線l的一個方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個平面α有無窮多個法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內，則有n→?④一個平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設：設出平面法向量的坐標為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個量（4）取：取u為任意一個數(shù)（當然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→14．直線與平面所成的角【知識點的認識】1、直線和平面所成的角，應分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內的射影轉化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉化和分類與整合的數(shù)學思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cos15．幾何法求解直線與平面所成的角【知識點的認識】1、直線和平面所成的角，應分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內的射影轉化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．【解題方法點撥】具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證