2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之拋物線（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之拋物線（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?江西月考）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F（3，0），P（2，t）是拋物線C上一點，則|PF|＝（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024秋?濮陽月考）已知點A(2p+1，3p+14)在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，則CA．4 B．5 C．2 D．23．（2024秋?新鄉(xiāng)月考）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，F(xiàn)A⊥FB，|FA|＝2|FB|，則l的斜率是（）A．±1 B．±2 C．±3 D4．（2024?珠海模擬）若拋物線x＝4y2上一點P到焦點的距離為1，則點P的橫坐標(biāo)是（）A．1516 B．1716 C．0 D5．（2023秋?龍鳳區(qū)校級期末）拋物線y=-14A．x=116 B．y＝1 C．x＝1 D6．（2024?興慶區(qū)校級一模）拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23=1相交于AA．2 B．4 C．6 D．87．（2024?煙臺二模）若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點到直線x＝﹣2的距離為4，則p的值為（）A．1 B．2 C．4 D．88．（2024?德陽一模）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，如圖．若將該大學(xué)的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線y＝ax2（a≠0）的一部分，且點A（2，﹣2）在該拋物線上，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A．(0，-12) B．（0，﹣1） C二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?蚌埠開學(xué)）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，線段AB的中點為M．過點A，B分別向C的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點P，Q，過點M向C的準(zhǔn)線作垂線，交拋物線于點T，交準(zhǔn)線于點N，O為坐標(biāo)原點，則（）A．以PQ為直徑的圓與直線l相切 B．|MT|＝|NT| C．當(dāng)|PF|＝|AF|時，點P，T，F(xiàn)共線 D．S△OAB＝S△PAB（多選）10．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點，過焦點F且傾斜角為θ的直線l與拋物線C交于M，N兩點（點M在第二象限），當(dāng)θ＝30°時，|MF|＝2，則下列說法正確的是（）A．p＝3 B．△MON的面積的最小值為92C．存在直線l，使得∠OMF+∠ONF＞90° D．分別過點M，N且與拋物線相切的兩條直線互相垂直（多選）11．（2024?貴州開學(xué)）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線l與圓M：x2+（y﹣4）2＝1相切，P為C上的動點，N是圓M上的動點，過P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點為F，則下列結(jié)論正確的是（）A．點F的坐標(biāo)為（1，0） B．|PN|+|PQ|的最小值為17 C．存在兩個P點，使得|PM|＝|PQ| D．若△PQF為正三角形，則圓M與直線PQ相交（多選）12．（2023秋?青銅峽市校級期末）頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點P（﹣4，﹣2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．x2＝﹣y B．x2＝﹣8y C．y2＝﹣8x D．y2＝﹣x三．填空題（共4小題）13．（2024?王益區(qū)校級模擬）已知M（3，0），拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A是直線l與x軸的交點，過拋物線上一點P作直線l的垂線，垂足為Q，直線PF與MQ相交于點N，若NA→+NP→=MN→，則△14．（2024?四川模擬）若拋物線y2＝﹣2px過點（﹣1，2），則該拋物線的焦點為．15．（2024?石阡縣模擬）已知點F為拋物線x＝my2（m＞0）的焦點，P(32，y0)為拋物線上一點，且|PF|＝316．（2024春?寶山區(qū)校級月考）拋物線y2＝2px（p＞0）過點P（3，3），則點P到拋物線準(zhǔn)線的距離為．四．解答題（共4小題）17．（2024?河南模擬）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P（x0，y0）是C上一點且|PF|2-|PF|=x02+x0（1）求拋物線C的方程；（2）①若l與C相切，且切點在第一象限，求切點的坐標(biāo)；②若l與C在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為A，B，且Q關(guān)于原點O的對稱點為R，證明：直線AR，BR的傾斜角之和為π．18．（2024春?東坡區(qū)期末）已知過點M（2，2）的直線l與拋物線C：x2＝2py（p＞0）交于A，B兩點，且當(dāng)l的斜率為1時，M恰為AB中點．（1）求p的值；（2）當(dāng)l經(jīng)過拋物線C的焦點時，求△OAB的面積．19．（2024?湖北模擬）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），過焦點的直線l與拋物線C交于兩點A，B，當(dāng)直線l的傾斜角為π6時，|AB|＝16（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）記O為坐標(biāo)原點，直線x＝﹣2分別與直線OA，OB交于點M，N，求證：以MN為直徑的圓過定點，并求出定點坐標(biāo)．20．（2023秋?興慶區(qū)校級期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點M到焦點F的距離為5，點M到x軸的距離為6p．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點Q，過點Q作直線交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k1，k2.求k1+k2的值．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之拋物線（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?江西月考）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F（3，0），P（2，t）是拋物線C上一點，則|PF|＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo)可得p2=3，再由拋物線定義【解答】解：由焦點坐標(biāo)可知p2由拋物線定義可知|PF|=2+p故選：B．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．2．（2024秋?濮陽月考）已知點A(2p+1，3p+14)在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，則CA．4 B．5 C．2 D．2【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】根據(jù)A在拋物線上可求p的值，求出焦點坐標(biāo)后結(jié)合距離公式可得正確的選項．【解答】解：因為A在拋物線上，故(2p+1)2整理得到：4p2+4p+1=6解得p＝2或p=-14（舍），故焦點坐標(biāo)為（0故所求距離為12故選：D．【點評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．3．（2024秋?新鄉(xiāng)月考）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，F(xiàn)A⊥FB，|FA|＝2|FB|，則l的斜率是（）A．±1 B．±2 C．±3 D【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義得到如圖的拋物線，得到|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，可求得|AH|，做BH⊥AA1在直角三角形Rt△ABH中，可求得|BH|，結(jié)合斜率的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設(shè)點A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，BH⊥AA1，垂足為H．設(shè)|FA|＝2|FB|＝2a，a＞0，則|AB|=5而|AH|＝|AA1|﹣|BB1|＝|AF|﹣|BF|＝a，所以|BH|=|AB|l的斜率為|BH||AH|=2．同理，l的斜率小于0時，其斜率為﹣另一種可能的情形是l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，可知一交點為O，則FO⊥FA，可求得|FA|＝2|FO|＝p，可求得l斜率為|FA||FO|同理，l的斜率小于0時，其斜率為﹣2．故選：D．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，是中檔題．4．（2024?珠海模擬）若拋物線x＝4y2上一點P到焦點的距離為1，則點P的橫坐標(biāo)是（）A．1516 B．1716 C．0 D【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)焦半徑公式得到方程，求出答案．【解答】解：∵拋物線x＝4y2化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y2∴焦點坐標(biāo)為(116，由焦半徑可得xP+1故選：A．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．5．（2023秋?龍鳳區(qū)校級期末）拋物線y=-14A．x=116 B．y＝1 C．x＝1 D【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】B【分析】將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2＝﹣4y，由此求出p2=【解答】解：∵拋物線方程y=-14x2化簡，得x∴2p＝4，可得p2=因此拋物線的焦點坐標(biāo)為F（0，﹣1），準(zhǔn)線方程為y＝1．故選：B．【點評】本題給出拋物線的方程，求它的準(zhǔn)線方程．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?興慶區(qū)校級一模）拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23=1相交于AA．2 B．4 C．6 D．8【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】C【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形得到p的方程，求出p即可．【解答】解：拋物線的焦點坐標(biāo)為（0，p2準(zhǔn)線方程為：y=-準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得：x23解得x＝±3+p因為△ABF為等邊三角形，所以32|AB|＝p即有32?23+p解得p＝6．故選：C．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力，屬于中檔題．7．（2024?煙臺二模）若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點到直線x＝﹣2的距離為4，則p的值為（）A．1 B．2 C．4 D．8【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】由拋物線方程求出焦點坐標(biāo)后計算即可得．【解答】解：拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標(biāo)為(p2，0)，則有p2故選：C．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?德陽一模）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，如圖．若將該大學(xué)的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線y＝ax2（a≠0）的一部分，且點A（2，﹣2）在該拋物線上，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A．(0，-12) B．（0，﹣1） C【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】把點A的坐標(biāo)代入拋物線方程可得a的值，然后把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得p的值，從而可求拋物線的焦點坐標(biāo)．【解答】解：∵點A（2，﹣2）在拋物線上，∴﹣2＝a×22，∴a=-∴拋物線方程為y=-12x2，∴x2＝﹣2y，∴2p＝2∴焦點坐標(biāo)為（0，-1故選：A．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?蚌埠開學(xué)）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，線段AB的中點為M．過點A，B分別向C的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點P，Q，過點M向C的準(zhǔn)線作垂線，交拋物線于點T，交準(zhǔn)線于點N，O為坐標(biāo)原點，則（）A．以PQ為直徑的圓與直線l相切 B．|MT|＝|NT| C．當(dāng)|PF|＝|AF|時，點P，T，F(xiàn)共線 D．S△OAB＝S△PAB【考點】由直線與拋物線位置關(guān)系及公共點個數(shù)求解方程或參數(shù)．【專題】整體思想；設(shè)而不求法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】ABC【分析】設(shè)直線l的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，可得AB的中點M的坐標(biāo)，可得點M到準(zhǔn)線的距離，判斷出A的真假；求出S△OAB與S△PAB的大小，判斷出D的真假；求出|MT|＝|NT|，判斷出B的真假；求出FP→，F(xiàn)T→的坐標(biāo)，判斷出【解答】解：設(shè)直線l：x=ty+p2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y聯(lián)立x=ty+p2y2=2px，整可得：y2﹣2pty﹣∪則y1+y2＝2pt，y1?y所以P（-p2，y1），Q(-p2，y則FQ→?FP→=（﹣p，y1）?（﹣p，y2）＝p2+y1y2＝p2﹣p2FN→所以FQ⊥FP，F(xiàn)N⊥AB，所以以PQ為直徑的圓與直線l相切，故A正確；又|MT|=pt2+p2，|NT|=pt2+p2，所以O(shè)T→=(pt22，p)，所以S△OAB＝S△TAB不成立，故D錯誤；對C：如圖：當(dāng)|PF|＝|AF|時，因為|AP|＝|AF|，所以△APF為等邊三角形，又F(p2，0)，所以當(dāng)A(3p2，則M(5p6，-3所以FP→=(-p-3因為FP→=3FT→，所以點P，當(dāng)A(3p2，3p)時，同理可證點P，T故選：ABC．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點，過焦點F且傾斜角為θ的直線l與拋物線C交于M，N兩點（點M在第二象限），當(dāng)θ＝30°時，|MF|＝2，則下列說法正確的是（）A．p＝3 B．△MON的面積的最小值為92C．存在直線l，使得∠OMF+∠ONF＞90° D．分別過點M，N且與拋物線相切的兩條直線互相垂直【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合三角函數(shù)可求p＝3，通過設(shè)直線的方程為y=kx+32，與拋物線聯(lián)立則得到韋達(dá)定理式，而面積表達(dá)式S△MON=12×32【解答】解：作出如圖所示圖形：對A，由拋物線定義及題意得yM即yM+p2=2yM對B，p＝3，則F(0，32)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不合題意，設(shè)M（x1，y1），N（x2設(shè)直線l的方程為y=kx+3聯(lián)立拋物線x2＝2py得x2﹣6kx﹣9＝0，則x1+x2＝6k，x1x2＝﹣9，S△MON當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時等號成立，故B正確；對C，OM=(k故∠MON為鈍角，則不存在直線l，使得∠OMF+∠ONF＞90°，故C錯誤；對D，x2＝6y，即y=16x故在點M處的切線斜率為13x1，在點N故斜率之積為19x1故選：ABD．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）11．（2024?貴州開學(xué)）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線l與圓M：x2+（y﹣4）2＝1相切，P為C上的動點，N是圓M上的動點，過P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點為F，則下列結(jié)論正確的是（）A．點F的坐標(biāo)為（1，0） B．|PN|+|PQ|的最小值為17 C．存在兩個P點，使得|PM|＝|PQ| D．若△PQF為正三角形，則圓M與直線PQ相交【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】由拋物線與圓的性質(zhì)，逐項計算，即可得出答案．【解答】解：對于A：準(zhǔn)線l為x=-p2與圓M：x2+（y﹣4）2可知p2=r＝1，可得p＝所以F（1，0），故A正確；對于B：根據(jù)|PQ|＝|PF|可得|PN|+|PQ|＝|PN|+|PF|，可確定最小值為|FM|﹣r=12+42-對于C：若|PM|＝|PQ|，則|PM|＝|PF|，做MF中垂線l1，根據(jù)題意知，M（0，4），F(xiàn)（1，0），設(shè)B為MF的中點，則可得B（12，2直線l1的斜率為14，根據(jù)點斜式可確定l1為y﹣2=14（與拋物線C：y2＝4x聯(lián)立得y2﹣16y+30＝0，Δ＝16×16﹣4×30＝136＞0，所以可知有兩個解，所以存在兩個點P，使得|PM|＝|PQ|，故C正確；對于D：根據(jù)△PFQ為正三角形，所以∠PQF＝60°，則∠AQF＝30°，且|FA|＝2，所以|QA|＝23，圓與y軸交于點（0，3），所以|QA|＝23＞3所以圓M與直線PQ相交，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查直線，圓，拋物線的位置關(guān)系，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．（多選）12．（2023秋?青銅峽市校級期末）頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點P（﹣4，﹣2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．x2＝﹣y B．x2＝﹣8y C．y2＝﹣8x D．y2＝﹣x【考點】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】BD【分析】分焦點在x軸上和y軸上兩種情況，利用待定系數(shù)法求解即可．【解答】解：若焦點在x軸上，設(shè)方程為y2＝ax（a≠0），將點P（﹣4，﹣2）的坐標(biāo)代入，得4＝﹣4a，解得a＝﹣1，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝﹣x；若焦點在y軸上，設(shè)方程為x2＝by（b≠0），將點P（﹣4，﹣2）的坐標(biāo)代入，得16＝﹣2a，解得a＝﹣8，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝﹣8y．故拋物線方程為y2＝﹣x或x2＝﹣8y．故選：BD．【點評】本題考查拋物線方程的求法，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2024?王益區(qū)校級模擬）已知M（3，0），拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A是直線l與x軸的交點，過拋物線上一點P作直線l的垂線，垂足為Q，直線PF與MQ相交于點N，若NA→+NP→=MN→，則△【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑；平面向量的數(shù)乘與線性運算．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】43【分析】先通過NA→+NP→=MN→得到N點位置，再通過△NMF∽△NQP得到線段PQ長度，設(shè)P（x0，y【解答】解：如圖，由NA→得NA→又因為F（1，0）為M（3，0），A（﹣1，0）的中點，所以NA→即N為PF的三等分點，且|NP|＝2|NF|，又因為PQ∥MF，所以△NMF∽△NQP，且|MF||PQ|所以|PQ|＝2|MF|＝4．不妨設(shè)P（x0，y0），且在第一象限，又p＝2，則|PQ|=x解得x0＝3，因為點P（x0，y0）在拋物線上，所以y0所以△AMN的面積S△AMN故答案為：43【點評】本題考查了向量的運算，重點考查了拋物線的性質(zhì)及三角形的面積公式，屬中檔題．14．（2024?四川模擬）若拋物線y2＝﹣2px過點（﹣1，2），則該拋物線的焦點為（﹣1，0）．【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】（﹣1，0）．【分析】將點代入拋物線方程，再結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：拋物線y2＝﹣2px過點（﹣1，2），則﹣2p?（﹣1）＝4，解得p＝2，故拋物線的焦點為（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?石阡縣模擬）已知點F為拋物線x＝my2（m＞0）的焦點，P(32，y0)為拋物線上一點，且|PF|＝3【考點】求拋物線的準(zhǔn)線方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】x=-【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解．【解答】解：由題意可得：拋物線方程為y2令1m則該拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），焦點坐標(biāo)為F(p由拋物線定義可得：|PF|=32+p2所以拋物線方程為y2＝6x，其準(zhǔn)線方程為x=-故答案為：x=-【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，準(zhǔn)線方程的求法，是基礎(chǔ)題．16．（2024春?寶山區(qū)校級月考）拋物線y2＝2px（p＞0）過點P（3，3），則點P到拋物線準(zhǔn)線的距離為154【考點】拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】154【分析】根據(jù)題意建立方程可求出拋物線方程，從而再根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得32＝2p×3，∴2p＝3，∴拋物線方程為y2＝3x，∴點P到拋物線準(zhǔn)線的距離為p2+3故答案為：154【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024?河南模擬）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P（x0，y0）是C上一點且|PF|2-|PF|=x02+x0（1）求拋物線C的方程；（2）①若l與C相切，且切點在第一象限，求切點的坐標(biāo)；②若l與C在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為A，B，且Q關(guān)于原點O的對稱點為R，證明：直線AR，BR的傾斜角之和為π．【考點】拋物線的定點及定值問題；根據(jù)拋物線上的點求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】整體思想；綜合法；向量與圓錐曲線；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）y2＝4x；（2）①(8，42【分析】（1）由|PF|2-|PF|=x02+x0化簡得|PF（2）①設(shè)切點坐標(biāo)為(t，2t)，通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程y-2t=1t(x-t)，將點Q（﹣8，0）代入即可；②設(shè)直線l的方程為x+8=ky(k＞0)，A(y124，y1)，B(y224，y【解答】（1）解：因為|PF|所以|PF|所以（|PF|+x0）（|PF|﹣x0）＝|PF|+x0，所以|PF|﹣x0＝1，又P是C上一點，所以|PF|=x所以p2解得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x．（2）解：①設(shè)切點坐標(biāo)為(t，因為y=2x所以y'切線的斜率為1t所以切線方程為y-將Q（﹣8，0）代入上式，得-2所以t＝8，所以切點坐標(biāo)為(8，②證明：由①得，直線AR，BR的斜率都存在，要證：直線AR，BR的傾斜角之和為π，只要證明：直線AR，BR的斜率之和為0．設(shè)直線l的方程為x+8=ky(k＞0)，A(y124，y1則kAR=y由x+8=kyy2=4x得y2﹣4ky+32所以y1+y2＝4k，y1y2＝32，又Δ＝16k2﹣128＞0，即k＞所以kAR即直線AR，BR的傾斜角之和為π．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題．18．（2024春?東坡區(qū)期末）已知過點M（2，2）的直線l與拋物線C：x2＝2py（p＞0）交于A，B兩點，且當(dāng)l的斜率為1時，M恰為AB中點．（1）求p的值；（2）當(dāng)l經(jīng)過拋物線C的焦點時，求△OAB的面積．【考點】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】對應(yīng)思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）2；（2）5．【分析】（1）由題意，結(jié)合題目所給信息得到直線l的方程，設(shè)出交點坐標(biāo)，代入拋物線方程中即可求解；（2）結(jié)合（1）中所得信息得到直線l的方程，將直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)l斜率為1時，可得直線l的方程為y＝x﹣2+2＝x，此時直線l恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，不妨設(shè)A（0，0），則B（4，4）為拋物線上的點，所以42＝2p×4，解得p＝2；（2）由（1）可知拋物線的焦點F（0，1），當(dāng)直線l經(jīng)過F時，直線l的方程為y=1聯(lián)立y=12x+1x2=4y，消去y并整理得x2﹣2不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達(dá)定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，則△OAB的面積S=1【點評】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力．19．（2024?湖北模擬）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），過焦點的直線l與拋物線C交于兩點A，B，當(dāng)直線l的傾斜角為π6時，|AB|＝16（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）記O為坐標(biāo)原點，直線x＝﹣2分別與直線OA，OB交于點M，N，求證：以MN為直徑的圓過定點，并求出定點坐標(biāo)．【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝﹣1．（2）證明見解析，定點坐標(biāo)為（2，0）和（﹣6，0）．【分析】（1）根據(jù)已知得出直線l的方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)過焦點的弦長公式，列出關(guān)系式，即可得出p；（2）設(shè)直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得出y1，y2的關(guān)系．進(jìn)而表示出OA，OB的方程，求出M，N的坐標(biāo)，得出圓的方程．取m＝0，即可得出定點坐標(biāo)．【解答】解：（1）由已知可得，拋物線的焦點坐標(biāo)為F(p2，0)，直線聯(lián)立拋物線與直線的方程y=33(x-設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達(dá)定理可得x1+x2＝7p，所以|AB|＝x1+x2+p＝8p＝16，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝﹣1．（2）證明：設(shè)直線l：x＝my+1，聯(lián)立直線與拋物線的方程x=my+1y2=4x，可得y2﹣4my﹣4所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，又kOA=y所以M(-同理可得N(-設(shè)圓上任意一點為Q（x，y），則由QM→?QN整理可得(x+2)2令y＝0，可得x＝2或x＝﹣6，所以MN為直徑的圓過定點，定點坐標(biāo)為（2，0）和（﹣6，0）．【點評】直線或圓過定點問題，先根據(jù)已知表示出直線或圓的方程，令變參數(shù)為0，得出方程，求解即可得出求出定點的坐標(biāo)．20．（2023秋?興慶區(qū)校級期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點M到焦點F的距離為5，點M到x軸的距離為6p．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點Q，過點Q作直線交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k1，k2.求k1+k2的值．【考點】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點與準(zhǔn)線．【專題】整體思想；設(shè)而不求法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）y2＝8x；（2）k1+k2＝0．【分析】（1）由題意將M的縱坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得M的橫坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)可得M到焦點F的距離，由題意可得p的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）由（1）可得Q的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出直線FA，F(xiàn)B的斜率之和，將兩根之和及兩根之積代入，可得斜率之和為定值0．【解答】解：（1）由題意可得M的縱坐標(biāo)的絕對值為6p，所以yM2=2p?xM，所以xM即M（3，6p），由拋物線的方程可得，焦點F（p2，0），準(zhǔn)線方程為x=由拋物線的性質(zhì)可得|MF|＝xM+p2=3+p2=所以拋物線的方程為：y2＝8x；（2）由（1）可得準(zhǔn)線與x軸的交點Q（﹣2，0），焦點F坐標(biāo)（2，0），由題意可得直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為：x＝my﹣2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立x=my-2y2=8x，整理可得y2﹣8Δ＝64m2﹣64＞0，可得m2＞1，且y1+y2＝8m，y1y2＝16，可得k1+k2=y1所以k1+k2的值為0．【點評】本題考查拋物線的方程的求法及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．平面向量的數(shù)乘與線性運算【知識點的認(rèn)識】（1）實數(shù)與向量a→的積是一個向量，記作λa→，它的大小為|λa→|＝|λ||a→|，其方向與λ的正負(fù)有關(guān)．若|λa→|≠0，當(dāng)λ＞0時，λa→的方向與a→的方向相同，當(dāng)λ＜當(dāng)λ＝0時，λa→與a對于非零向量a、b，當(dāng)λ≠0時，有a→∥b→?a（2）向量數(shù)乘運算的法則①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一個線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果l→=λa→+2．直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由Ax+By+C=0x①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．3．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種種形式：（1）y2＝2px，焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（p2，0），（p（2）x2＝2py，焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，p2），（p四種形式相同點：形狀、大小相同；四種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．下面以兩種形式做簡單的介紹：標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0），焦點在x軸上x2＝2py（p＞0），焦點在y軸上圖形頂點（0，0）（0，0）對稱軸x軸焦點在x軸長上y軸焦點在y軸長上焦點（p2，0（0，p2焦距無無離心率e＝1e＝1準(zhǔn)線x=y=4．根據(jù)拋物線上的點求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】已知拋物線上的點（x1，y1），可以代入標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px或x2＝2py來求解p的值．【解題方