2024屆福建省高三下學(xué)期重點中學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省2024屆高三下學(xué)期重點中學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，所以，則，所以的虛部為，故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，即，由可得，則，即，故.故選：D.3.2024年中國載人航天工程將統(tǒng)籌推進空間站應(yīng)用與發(fā)展和載人月球探測兩大任務(wù)，其中，中國空間站應(yīng)用與發(fā)展階段各項工作正按計劃穩(wěn)步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，當(dāng)空間站運行周期增加1倍時，其圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.1.587 B.1.442C.0.587 D.0.442（）【答案】C【解析】空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，設(shè)，當(dāng)空間站運行周期增加1倍時，設(shè)此時半徑為，則，兩式相比得：，即，故，故圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是.故選：C.4.孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，是指一對素數(shù)，它們之間相差2，例如3和5，11和13.從不大于20的素數(shù)中任意選取2個，則這2個素數(shù)為孿生素數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不大于20的素數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19，一共8個素數(shù)，從中任意選取2個有，其中2個素數(shù)為孿生素數(shù)的4種；故概率為：.故選：C5.已知為坐標原點，點在軸正半軸上，點在第一象限，且，，點在第四象限，且，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，所以.又，，且，所以，所以，.所以.故選：B6.已知數(shù)列通項公式為，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時，恒成立，所以對恒成立，故，又當(dāng)時，為單調(diào)遞增的數(shù)列，故要使對任意，都有，則，即，解得，綜上可得，故選:C7.若函數(shù)在區(qū)間恰有2個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令,則等價于有兩個根，由于時，有兩個根；∴原題等價于與有一個公共點，如圖，則且，所以.故選：B.8.已知O為坐標原點A，B，C為橢圓E：上三點，且，，直線BC與x軸交于點D，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取BC的中點M，設(shè)Ax1,y1，，，，則∵A，C在橢圓E上，∴，兩式相減，得，即，∴．∵，∴，連接OM，則，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的離心率.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在正六邊形中，（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】CD【解析】,故A錯誤，連接相交于，相交于，則，為，的中點,由于,所以,故B錯誤，,故C正確，由于故故，所以在上的投影向量為，D正確，故選：CD10.如圖，在直三棱柱中，，，，點M為的中點，則（）A.直線與直線為異面直線B.線段上存在點N，使得平面C.點C到平面的距離為D.線段上存在點E，使得平面【答案】ACD【解析】選項A：顯然直線與直線為異面直線，故A正確．選項B：若平面，則由平面，可得．在直三棱柱中，，又，，平面，故平面，∴，故點與點重合，即．在矩形中，，，∴，∴不與垂直，故B錯誤．選項C：易知兩兩垂直，且，∴，∴，．設(shè)到平面的距離為d，則由，可得，解得，故C正確．選項D：如圖，連接，交于點，連接，交于點，連接，若平面，則．∵為中點，∴為的中點．記的中點為，連接，設(shè)與交于點，由，易知≌，得到，故，又，∴，則，故線段上存在點，使得平面，故D正確．故選：ACD.11.已知定義在的函數(shù)滿足：①對恒有；②對任意的正數(shù)，恒有．則下列結(jié)論中正確的有（）A.B.過點的切線方程C.對，不等式恒成立D.若為函數(shù)的極值點，則【答案】ACD【解析】恒有，，可設(shè)（其中C為常數(shù)），又對任意正數(shù)恒有，對任意的正數(shù)恒有，，，，即，對于A，由上式可得，故A正確；對于B，，設(shè)切點為，則切線斜率為，，化簡得，解，所以點就是切點，所以切線方程為，故B錯誤；對于C，令，，則，令，可得，，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，對恒成立，故C正確；對于D，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，且，，所以使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)的極小值點且滿足，，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為偶函數(shù)，則______．【答案】【解析】fx的定義域為，關(guān)于坐標原點對稱，,因為fx所以，得，解得.13.已知點，是拋物線C：上不同的兩點，，若C的焦點F到直線AB的距離為3，則直線AB斜率的絕對值為______.【答案】【解析】由題意知，直線AB的斜率一定不為0，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立得:，故，解得：，焦點到直線AB的距離為3，故，解得：,故直線AB斜率的絕對值：.14.已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.【答案】【解析】如圖根據(jù)題意，平面，所以即為與平面所成角，則，又因為，，所以，則,又，即三角形為直角三角形，取中點，則為三角形外接圓圓心，取中點，則，且，所以，即為三棱錐的外接球球心，其半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面積為，求的周長.解：（1）由正弦定理得，則.（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長為.16.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對實體經(jīng)濟產(chǎn)生了一定影響．為了解實體經(jīng)濟的現(xiàn)狀，某研究機構(gòu)統(tǒng)計了一個大商場2018—2022年的線下銷售額如下：年份編號12345年份20182019202020212022銷售額（單位：萬元）1513146512021060860（1）由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于回歸方程，并預(yù)測2023年該商場的線下銷售額．參考公式及數(shù)據(jù)：，，解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，所以因為非常接近1，所以可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系（2）由已知數(shù)據(jù)可得，所以，所以，關(guān)于的回歸方程為令，則（萬元）所以預(yù)測2023年該商場的線下銷售額為706.7萬元．17.如圖，在四棱臺中，已知底面為正方形，M為的中點，，且平面，.（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求的長.解：（1）在棱臺中，易知，則四點共面，又平面，平面平面，平面，所以，因，底面為正方形，所以，因為平面，所以平面，因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）由（1）結(jié)論，可知側(cè)面底面，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)與底面夾角為，則，，，，，因為，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，所以則根據(jù)題意有，所以或，所以或.18.在平面直角坐標系xOy中，已知圓A：，點，點P為圓A上任意一點，線段BP的垂直平分線和半徑AP所在直線相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡為C.（1）求C的方程.（2）斜率存在且不為0的直線l與C交于M，N兩點，點D在C上.從下面①②③中任選兩個作為已知條件，證明另外一個成立.①軸；②直線l經(jīng)過點；③D，B，N三點共線.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.解：（1）由題意知，,,且點B-2,0則,故點Q的軌跡為是以為焦點，長軸的雙曲線，故，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)點，直線l的方程為：，聯(lián)立得：，化簡得：，且.若選擇①②證明③：軸，且點D在C上，則，直線l經(jīng)過點，故，即，此時,故,其中，，故，即，，所以D，B，N三點共線.若選擇①③證明②：軸，且點D在C上，則，由D，B，N三點共線，知，故，化簡得：，即，故直線l的方程為：，過定點.若選擇②③證明①：直線l經(jīng)過點，故，即，由D，B，N三點共線，知，故化簡得：，故直線和直線關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，故軸，19.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè).如果對任意，，求的取值范圍．解：（1）f(x)的定義域為(0，+)，.當(dāng)a≥0時，＞0，故f(x)在(0，+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時，＜0，故f(x)在(0，+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時，令＝0，解得x=.當(dāng)x∈(0，)時，＞0；x∈(，+)時，＜0，故f(x)（0，）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.（2）不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價于≥4x1－4x2，，即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x，則+4＝.于是≤＝≤0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故對任意x1，x2∈(0，+)，.福建省2024屆高三下學(xué)期重點中學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，所以，則，所以的虛部為，故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，即，由可得，則，即，故.故選：D.3.2024年中國載人航天工程將統(tǒng)籌推進空間站應(yīng)用與發(fā)展和載人月球探測兩大任務(wù)，其中，中國空間站應(yīng)用與發(fā)展階段各項工作正按計劃穩(wěn)步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，當(dāng)空間站運行周期增加1倍時，其圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.1.587 B.1.442C.0.587 D.0.442（）【答案】C【解析】空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，設(shè)，當(dāng)空間站運行周期增加1倍時，設(shè)此時半徑為，則，兩式相比得：，即，故，故圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是.故選：C.4.孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，是指一對素數(shù)，它們之間相差2，例如3和5，11和13.從不大于20的素數(shù)中任意選取2個，則這2個素數(shù)為孿生素數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不大于20的素數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19，一共8個素數(shù)，從中任意選取2個有，其中2個素數(shù)為孿生素數(shù)的4種；故概率為：.故選：C5.已知為坐標原點，點在軸正半軸上，點在第一象限，且，，點在第四象限，且，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，所以.又，，且，所以，所以，.所以.故選：B6.已知數(shù)列通項公式為，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時，恒成立，所以對恒成立，故，又當(dāng)時，為單調(diào)遞增的數(shù)列，故要使對任意，都有，則，即，解得，綜上可得，故選:C7.若函數(shù)在區(qū)間恰有2個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令,則等價于有兩個根，由于時，有兩個根；∴原題等價于與有一個公共點，如圖，則且，所以.故選：B.8.已知O為坐標原點A，B，C為橢圓E：上三點，且，，直線BC與x軸交于點D，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取BC的中點M，設(shè)Ax1,y1，，，，則∵A，C在橢圓E上，∴，兩式相減，得，即，∴．∵，∴，連接OM，則，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的離心率.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在正六邊形中，（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】CD【解析】,故A錯誤，連接相交于，相交于，則，為，的中點,由于,所以,故B錯誤，,故C正確，由于故故，所以在上的投影向量為，D正確，故選：CD10.如圖，在直三棱柱中，，，，點M為的中點，則（）A.直線與直線為異面直線B.線段上存在點N，使得平面C.點C到平面的距離為D.線段上存在點E，使得平面【答案】ACD【解析】選項A：顯然直線與直線為異面直線，故A正確．選項B：若平面，則由平面，可得．在直三棱柱中，，又，，平面，故平面，∴，故點與點重合，即．在矩形中，，，∴，∴不與垂直，故B錯誤．選項C：易知兩兩垂直，且，∴，∴，．設(shè)到平面的距離為d，則由，可得，解得，故C正確．選項D：如圖，連接，交于點，連接，交于點，連接，若平面，則．∵為中點，∴為的中點．記的中點為，連接，設(shè)與交于點，由，易知≌，得到，故，又，∴，則，故線段上存在點，使得平面，故D正確．故選：ACD.11.已知定義在的函數(shù)滿足：①對恒有；②對任意的正數(shù)，恒有．則下列結(jié)論中正確的有（）A.B.過點的切線方程C.對，不等式恒成立D.若為函數(shù)的極值點，則【答案】ACD【解析】恒有，，可設(shè)（其中C為常數(shù)），又對任意正數(shù)恒有，對任意的正數(shù)恒有，，，，即，對于A，由上式可得，故A正確；對于B，，設(shè)切點為，則切線斜率為，，化簡得，解，所以點就是切點，所以切線方程為，故B錯誤；對于C，令，，則，令，可得，，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，對恒成立，故C正確；對于D，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，且，，所以使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)的極小值點且滿足，，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為偶函數(shù)，則______．【答案】【解析】fx的定義域為，關(guān)于坐標原點對稱，,因為fx所以，得，解得.13.已知點，是拋物線C：上不同的兩點，，若C的焦點F到直線AB的距離為3，則直線AB斜率的絕對值為______.【答案】【解析】由題意知，直線AB的斜率一定不為0，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立得:，故，解得：，焦點到直線AB的距離為3，故，解得：,故直線AB斜率的絕對值：.14.已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.【答案】【解析】如圖根據(jù)題意，平面，所以即為與平面所成角，則，又因為，，所以，則,又，即三角形為直角三角形，取中點，則為三角形外接圓圓心，取中點，則，且，所以，即為三棱錐的外接球球心，其半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面積為，求的周長.解：（1）由正弦定理得，則.（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長為.16.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對實體經(jīng)濟產(chǎn)生了一定影響．為了解實體經(jīng)濟的現(xiàn)狀，某研究機構(gòu)統(tǒng)計了一個大商場2018—2022年的線下銷售額如下：年份編號12345年份20182019202020212022銷售額（單位：萬元）1513146512021060860（1）由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于回歸方程，并預(yù)測2023年該商場的線下銷售額．參考公式及數(shù)據(jù)：，，解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，所以因為非常接近1，所以可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系（2）由已知數(shù)據(jù)可得，所以，所以，關(guān)于的回歸方程為令，則（萬元）所以預(yù)測2023年該商場的線下銷售額為706.7萬元．17.如圖，在四棱臺中，已知底面為正方形，M為的中點，，且平面，.（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求的長.解：（1）在棱臺中，易知，則四點共面，又平面，平面平面，平面，所以，因，底面為正方形，所以，因為平面，所以平面，因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）由（1）結(jié)論，可知側(cè)面底面，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)與底面夾角為，則，，，，，因為，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，所以則根據(jù)題意有，所以或，所以或.18.在平面直角坐標系xOy中，已知圓A：