2024屆江蘇省常州市2高三上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市2024屆高三上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程解得或，得，不等式解得，得，所以.故選：A．2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的向量為，復數(shù)對應的向量為，那么向量對應的復數(shù)是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，，則對應復數(shù)1.故選：A．3.已知實數(shù)，滿足等式，下列三個關(guān)系式中可能成立的個數(shù)為（）①；②；③．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】當時，，③可能成立．，時，，，，，，，即，此時，①可能成立．當，時,，，，，，即，即，②不可能成立，即①③可能成立，故選：C．4.對任意實數(shù)，，，在下列命題中，真命題是（）A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充分條件 D.“”是“”的充分條件【答案】B【解析】對于A，若，則由，“”不是“”的必要條件，A錯．對于B，，“”是“”的必要條件，B對，對于C，若，則由，推不出，“”不是“”的充分條件對于D，當時，，即成立，此時不一定有成立，故“”不是“”的充分條件，D錯誤，故選：B．5.已知扇形的半徑為5，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，弧的中點為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．6.已知正三棱錐的側(cè)棱長為3，當該三棱錐的體積取得最大值時，點到平面的距離是（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】設(shè)底面邊長為，為的中心，則底面面積，，，，令，，，則時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，，即時，，到面距離，則，.故選：C．7.已知定義在上的函數(shù)的導數(shù)為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】構(gòu)建，則，因為，則，即，可知在上單調(diào)遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．8.已知圓的直徑長為8，與相離的直線垂直于直線，垂足為，且，圓上的兩點，到的距離分別為，，且．若，，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】方法一：如圖建系，，圓，，，，，同理，，是的兩根，，．方法二：以所在直線為軸，以中垂線所在直線為軸建系，設(shè)，，在上的射影分別為，，，，，在拋物線上運動，兩根為，，.故選：D．二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，，，，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有（）A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標準差【答案】BC【解析】對于A選項，不妨設(shè)，則樣本數(shù)據(jù)，，，的極差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，因為，則，故A錯誤；對于B選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，即，所以，樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，由可知，當時，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；對于C選項，當時，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，同理可知當時，中位數(shù)相等，當時，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為，同理可知當時，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；對于D選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的標準差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的標準差為，則，，因為，則，故，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標準差不可能相等，故D錯誤.故選：BC.10.對某城市進行氣象調(diào)查，發(fā)現(xiàn)從當天上午9：00開始計時的連續(xù)24小時中，溫度（單位：）與時間（單位：）近似地滿足函數(shù)關(guān)系，其中．已知當天開始計時時的溫度為，第二天凌晨3：00時溫度最低為，則（）A.B.當天下午3：00溫度最高C.溫度為是當天晚上7：00D.從當天晚上23：00到第二天清晨5：00溫度都不高于【答案】ABD【解析】時，，，第二天凌晨3：00最低為，此時，∴，∴，A對．，令即時取最大值，對應下午3：00，B對．，或10，上午11：00或下午7：00，C錯．時，，D對.故選：ABD．11.在棱長為2的正方體中，在線段上運動（包括端點），下列說法正確的有（）A.存在點，使得平面B.不存在點，使得直線與平面所成的角為C.的最小值為D.以為球心，為半徑的球體積最小時，被正方形截得的弧長是【答案】BCD【解析】方法一：如圖，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，，，，，，,，則，對于A，因為為正方體，所以，由三垂線定理得，，因，平面，所以平面，是平面一個法向量，假設(shè)面，則與共線矛盾，假設(shè)不成立，A錯．對于B，若存在，與所成角為，則或，或，，不滿足條件，假設(shè)不成立，B對．對于C，．表示與，距離之和，，，C對．對于D，，時最小，，，設(shè)截面小圓的圓心為，半徑為，則平面，所以，，因為，所以球與面為圓心，為半徑的圓弧，因為，所以在正方形內(nèi)軌跡為半圓，弧長，選項D正確；方法二：對于A，若平面，則，由三垂線定理知為中點，但此時不與垂直，故不存在這樣的，A不正確；對于B，同法一，B正確；對于C，可將面與面攤平，，C正確．對于D，球半徑最小值為到的距離，，，在面上的射影為，截面圓半徑，過作分別交，于，，，球被正方體截得的弧長是半圓弧，長為，D正確，故選：BCD．12.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C.若方程恰有一個實數(shù)根，則D.若，都有，則【答案】BD【解析】對于A，，不是關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，故B正確；對于C，時，，時，，且在上單調(diào)遞增，如時，只有一個根，故C錯誤；對于D，由時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以，，即求最小值，當時，，且，所以，．故D正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題．13.已知雙曲線的標準方程為，則該雙曲線的焦距是__________．【答案】2【解析】由雙曲線方程可知，所以，，．故答案為：214.已知函數(shù)若，則實數(shù)的值為__________．【答案】【解析】，，．故答案為：15.如圖，以等腰直角三角形的直角邊為斜邊，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點為圓心，作一個圓心角是的圓弧；再以等腰直角三角形的直角邊為斜邊，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點為圓心，作一個圓心角是的圓弧；；按此規(guī)律操作，直至得到的直角三角形的直角頂點首次落到線段上，作出相應的圓弧后結(jié)束．若，則__________，所有圓弧的總長度為__________．【答案】8；【解析】根據(jù)題意，歸納可得每進行一次操作，線段以B為圓心，逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，所以，，即；，，以后每次操作，圓弧的半徑變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，則弧長變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，所以是以為首項，為等邊的等比?shù)列，則圓弧總長．故答案為：8；.16.已知二面角為，內(nèi)一條直線與所成角為，內(nèi)一條直線與所成角為，則直線與直線所成角的余弦值是__________．【答案】【解析】如圖，過上一點作交于點，交于點設(shè)，，，如圖，設(shè)，，，，，，，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的通項公式．解：（1），時，因為為等差數(shù)列，故也符合上式，，，．（2）由題意知為在區(qū)間中項的個數(shù)，令，，，，，.18.某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04．（1）求；（2）如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？說明：對任何一個正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，從而查標準正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.2232.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974解：（1），，，，，；（2），不合格的金屬棒有：根．19.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，邊上的高為，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）余弦定理得，，又，所以，代入，，或2．（2）由正弦定理得，又，，，，，，，，，，．20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，是的中點，是線段上一點，且//平面，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值．證明：（1）過作交于點，連接平面，平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，，，分別為，的中點，，，又，為的中點，，平面，平面，，又，平面，平面．解：（2）如圖建系，，，．，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，它們所成二面角為，，所以，，，．21.已知函數(shù)，曲線在點處切線方程為．（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，所以，由題有，即，解得所以，，當時，，所以，又當時，，所以，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由對恒成立，即對恒成立，令，所以對恒成立，則，令，則，當時，由于，，，所以，當且僅當時取等號，當時，，所以，所以區(qū)間上單調(diào)遞增，故，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以符合題意，當時，因為，則存在，使得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則時，，不合題意，綜上：的取值范圍為．22.已知橢圓的左焦點為，離心率為，，是上的相異兩點，．（1）若點，關(guān)于原點對稱，且，求的取值范圍；（2）若點，關(guān)于軸對稱，直線交于另一點，直線與軸的交點的橫坐標為1，過的直線交于，兩點．已知，求的取值范圍．解：（1）設(shè)，，，，，，，，，，，，即的取值范圍為．（2）設(shè)，，，方程：它過，①方程為：它過，②①②,，，而，，．橢圓方程：．①當斜率不為0時，設(shè)直線的方程為：，，，．②當斜率為0時，，，，的取值范圍為．江蘇省常州市2024屆高三上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程解得或，得，不等式解得，得，所以.故選：A．2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的向量為，復數(shù)對應的向量為，那么向量對應的復數(shù)是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，，則對應復數(shù)1.故選：A．3.已知實數(shù)，滿足等式，下列三個關(guān)系式中可能成立的個數(shù)為（）①；②；③．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】當時，，③可能成立．，時，，，，，，，即，此時，①可能成立．當，時,，，，，，即，即，②不可能成立，即①③可能成立，故選：C．4.對任意實數(shù)，，，在下列命題中，真命題是（）A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充分條件 D.“”是“”的充分條件【答案】B【解析】對于A，若，則由，“”不是“”的必要條件，A錯．對于B，，“”是“”的必要條件，B對，對于C，若，則由，推不出，“”不是“”的充分條件對于D，當時，，即成立，此時不一定有成立，故“”不是“”的充分條件，D錯誤，故選：B．5.已知扇形的半徑為5，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，弧的中點為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．6.已知正三棱錐的側(cè)棱長為3，當該三棱錐的體積取得最大值時，點到平面的距離是（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】設(shè)底面邊長為，為的中心，則底面面積，，，，令，，，則時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，，即時，，到面距離，則，.故選：C．7.已知定義在上的函數(shù)的導數(shù)為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】構(gòu)建，則，因為，則，即，可知在上單調(diào)遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．8.已知圓的直徑長為8，與相離的直線垂直于直線，垂足為，且，圓上的兩點，到的距離分別為，，且．若，，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】方法一：如圖建系，，圓，，，，，同理，，是的兩根，，．方法二：以所在直線為軸，以中垂線所在直線為軸建系，設(shè)，，在上的射影分別為，，，，，在拋物線上運動，兩根為，，.故選：D．二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，，，，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有（）A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標準差【答案】BC【解析】對于A選項，不妨設(shè)，則樣本數(shù)據(jù)，，，的極差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，因為，則，故A錯誤；對于B選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，即，所以，樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，由可知，當時，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；對于C選項，當時，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，同理可知當時，中位數(shù)相等，當時，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為，同理可知當時，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；對于D選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的標準差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的標準差為，則，，因為，則，故，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標準差不可能相等，故D錯誤.故選：BC.10.對某城市進行氣象調(diào)查，發(fā)現(xiàn)從當天上午9：00開始計時的連續(xù)24小時中，溫度（單位：）與時間（單位：）近似地滿足函數(shù)關(guān)系，其中．已知當天開始計時時的溫度為，第二天凌晨3：00時溫度最低為，則（）A.B.當天下午3：00溫度最高C.溫度為是當天晚上7：00D.從當天晚上23：00到第二天清晨5：00溫度都不高于【答案】ABD【解析】時，，，第二天凌晨3：00最低為，此時，∴，∴，A對．，令即時取最大值，對應下午3：00，B對．，或10，上午11：00或下午7：00，C錯．時，，D對.故選：ABD．11.在棱長為2的正方體中，在線段上運動（包括端點），下列說法正確的有（）A.存在點，使得平面B.不存在點，使得直線與平面所成的角為C.的最小值為D.以為球心，為半徑的球體積最小時，被正方形截得的弧長是【答案】BCD【解析】方法一：如圖，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，，，，，，,，則，對于A，因為為正方體，所以，由三垂線定理得，，因，平面，所以平面，是平面一個法向量，假設(shè)面，則與共線矛盾，假設(shè)不成立，A錯．對于B，若存在，與所成角為，則或，或，，不滿足條件，假設(shè)不成立，B對．對于C，．表示與，距離之和，，，C對．對于D，，時最小，，，設(shè)截面小圓的圓心為，半徑為，則平面，所以，，因為，所以球與面為圓心，為半徑的圓弧，因為，所以在正方形內(nèi)軌跡為半圓，弧長，選項D正確；方法二：對于A，若平面，則，由三垂線定理知為中點，但此時不與垂直，故不存在這樣的，A不正確；對于B，同法一，B正確；對于C，可將面與面攤平，，C正確．對于D，球半徑最小值為到的距離，，，在面上的射影為，截面圓半徑，過作分別交，于，，，球被正方體截得的弧長是半圓弧，長為，D正確，故選：BCD．12.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C.若方程恰有一個實數(shù)根，則D.若，都有，則【答案】BD【解析】對于A，，不是關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，故B正確；對于C，時，，時，，且在上單調(diào)遞增，如時，只有一個根，故C錯誤；對于D，由時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以，，即求最小值，當時，，且，所以，．故D正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題．13.已知雙曲線的標準方程為，則該雙曲線的焦距是__________．【答案】2【解析】由雙曲線方程可知，所以，，．故答案為：214.已知函數(shù)若，則實數(shù)的值為__________．【答案】【解析】，，．故答案為：15.如圖，以等腰直角三角形的直角邊為斜邊，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點為圓心，作一個圓心角是的圓?。辉僖缘妊苯侨切蔚闹苯沁厼樾边?，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點為圓心，作一個圓心角是的圓??；；按此規(guī)律操作，直至得到的直角三角形的直角頂點首次落到線段上，作出相應的圓弧后結(jié)束．若，則__________，所有圓弧的總長度為__________．【答案】8；【解析】根據(jù)題意，歸納可得每進行一次操作，線段以B為圓心，逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，所以，，即；，，以后每次操作，圓弧的半徑變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，則弧長變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，所以是以為首項，為等邊的等比?shù)列，則圓弧總長．故答案為：8；.16.已知二面角為，內(nèi)一條直線與所成角為，內(nèi)一條直線與所成角為，則直線與直線所成角的余弦值是__________．【答案】【解析】如圖，過上一點作交于點，交于點設(shè)，，，如圖，設(shè)，，，，，，，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的通項公式．解：（1），時，因為為等差數(shù)列，故也符合上式，，，．（2）由題意知為在區(qū)間中項的個數(shù)，令，，，，，.18.某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04．（1）求；（2）如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？說明：對任何一個正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，從而查標準正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.2232.42.52.62