2024屆遼寧省朝陽市建平縣高三上學期期末考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省朝陽市建平縣2024屆高三上學期期末數學試題一、選擇題1.已知復數滿足（為虛數單位），則在復平面內復數所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數在復平面內復數所對應的點為，位于第四象限.故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，則.故選：C.3.已知向量，若，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，解得，所以，所以故選：D.4.已知為偶函數，則實數（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因為為偶函數，所以，，，，即，則，即，則，即，故.故選：B.5.“函數的圖象關于對稱”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當函數的圖象關于對稱時，有，，得，，易知，所以“函數的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．6.“碳達峰”是指二氧化碳的排放不再增長，達到峰值之后開始下降；而“碳中和”是指企業(yè)?團體或個人通過植樹造林?節(jié)能減排等形式，抵消自身產生的二氧化碳排放量，實現二氧化碳“零排放”.某地區(qū)二氧化碳的排放量達到峰值（億噸）（）后開始下降，其二氧化碳的排放量（億噸）與時間（年）滿足函數關系式，若經過7年，二氧化碳的排放量為（億噸）.已知該地區(qū)近過植樹造林?節(jié)能減排等形式，能抵消自身產生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要能實現“碳中和”，至少需要經過（）（參考數據：）A.38年 B.42年 C.46年 D.48年【答案】B【解析】由題意，由題意，即，解得，令，即，故，即，可得，即，即該地區(qū)要能實現“碳中和”，至少需要經過42年.故選：B.7.如圖，在四棱錐中，，，平面，，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連接．由已知，，得．因為平面，所以，且，且平面，所以平面，平面，可得，同理可得．易證，所以，在中，，，所以，因為平面，平面，則,則．故選：D．8.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線與的漸近線在第一象限內交于點，記點關于軸的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】設，連接，與軸交于點，由對稱性可知，又，所以是正三角形，且.因為，所以，所以，所以，所以，又點在直線上，故，所以，所以.故選：B.二、選擇題9.某組數據方差的計算公式為，則（）A.樣本的容量是3 B.樣本的中位數是3C.樣本的眾數是3 D.樣本的平均數是3【答案】BCD【解析】依題意，樣本數據為，因此樣本容量為7，中位數為3，眾數為3，平均數，故A錯誤，BCD正確.故選：BCD10.設函數的最大值為1，最小值為-3，若的圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為，將的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A.B.在內恰有3個零點C.的圖象關于點對稱D.在上單調遞增【答案】BCD【解析】由題意知，解得，的最小正周期為，即，所以，故.由，得，所以當且僅當，即時，，故在內恰有3個零點，故A錯誤，B正確；由，得，所以，故C正確；由，得，所以在上單調遞增，故D正確.故選：BCD.11.已知拋物線的焦點為為拋物線上一點，且，過的直線交于兩點，是坐標原點，則（）A.拋物線的準線方程為B.的最小值為4C.若，則的面積為D.若，則的方程為【答案】BC【解析】由拋物線定義知，，所以，故的方程為，所以的準線方程為，故A錯誤；設（異于原點），又，，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為4，故B正確；設直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，所以，因為，易求得，所以的面積，故C正確；由以上可得，又，，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，解得，故直線的方程為，即或，故D錯誤.故選：BC12.已知，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由，可得，又，所以，解得.當時，，則，又，所以，所以此時，故A錯誤；令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，即，由知，所以，所以，故正確；由可得，可得（時取等號），因為，所以，所以，故C正確；因為，所以.令，則，令，所以，令，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增，所以1，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.若直線是曲線的一條切線，則實數______．【答案】【解析】由題可知，設的切點為，則切線斜率為，可得，解得．故答案為:.14.已知等比數列的前項和為，若，，則______．【答案】80【解析】由等比數列的性質可知，，，成等比數列，又，，所以，所以，，所以．故答案為：.15.現有3名男生，3名女生和2名老師站成一排照相，2名老師分別站兩端，且3名女生互不相鄰，則不同的站法為______．【答案】288【解析】根據題意，分3步進行：第一步，2名老師分別站兩端，有種站法；第二步，先安排3名男生，有種站法，男生排好后，有4個空位可選；第三步，將3名女生安排在4個空位中的3個，有種站法，所以不同的站法有．故答案為：28816.已知正方體的棱長為2，M為空間中任意一點，且，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為____________．【答案】【解析】如圖，因為，所以在一個平面內，點M的軌跡是以A，D為焦點的橢圓．又因為，所以該橢圓的長軸長為4，短軸長為，故點M的軌跡是以A，D為焦點的橢球表面．設AD的中點為L，要使三棱錐的體積最大，即到平面ABD的距離最大，所以當平面，且平面ABD時，三棱錐A-MBD的體積最大．此時由橢圓短半軸長知，且△MAD為等邊三角形，設其中心為S，三棱錐A-MBD的外接球的球心為O，△ABD的外心為K，連接OK，OB，OS，則，，所以球半徑，此時三棱錐A-MBD外接球的表面積．故答案為：.四、解答題17.已知數列是遞增的等比數列，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.解：（1）因為數列是遞增的等比數列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.18.在中，內角的對邊分別為,且.（1）求角的大?。唬?）若點是線段上的一點，且的面積為，求的周長.解：（1）因為，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.（2）因為的面積為，所以，得.因為，所以，所以，所以在中，由余弦定理得，所以，所以，所以周長.19.如圖，在三棱錐中，是的中點，是的中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：過點作交于點，過點作交于點，則.因為是的中點，是的中點，所以，因為，所以，則，所以四邊形平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，，所以.設平面的法向量為，則即令，得，設直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20.由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長.在工業(yè)社會以前，鳥類平均每年滅絕一種，獸類平均每年滅絕一種，但是自工業(yè)社會以來，地球物種滅絕的速度已經超出自然滅絕率的倍.所以保護動物刻不容緩，全世界都在號召保護動物，動物保護的核心內容是禁止虐待、殘害任何動物，禁止獵殺和捕食野生動物，某動物保護機構為了調查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關聯(lián)”，從某市市民中隨機抽取名進行調查，得到統(tǒng)計數據如下表：保護動物意識強保護動物意識弱合計男性女性合計（1）根據以上數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為人們保護動物意識的強弱與性別有關聯(lián)？（2）將頻率視為概率，現從該市女性的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取人，共抽取次.記被抽取的人中“保護動物意識強”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數學期望.參考公式：，其中.附：解：（1）零假設為保護動物意識的強弱與性別無關聯(lián).由題意，，所以根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為保護動物意識的強弱與性別有關聯(lián).（2）由題意可知：在女性的市民中抽到人，抽中“保護動物意識強”的女性市民的概率為，所以的所有可能取值為、、、、，由題意可知，，，，，，，所以的分布列為所以.21.已知在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，離心率，為橢圓上任意一點，面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于，兩點，若弦長的取值范圍為，求的取值范圍．解：（1）由已知面積，所以當點為短軸頂點時，的面積最大為，又橢圓的離心率，且，解得，，所以橢圓的方程為；（2）設直線的方程為，，，由直線與圓相切，可得，得，聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，則，．所以，，因為的取值范圍為，則，解得，所以，因為，則，所以，所以的取值范圍為．22.已知函數.（1）若，求證：；（2）若，試判斷函數在區(qū)間上的零點的個數，并說明理由.（參考數據：）（1）證明：若，則，又，所以.令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，當且僅當時，等號成立，當時，，所以，即.（2）解：由題意知，令，所以，所以當時，，所以.令，所以，所以在上單調遞增，又，所以存在，使得，所以當時，，當時，，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以存在，使得，存在，使得.所以當時，，即，當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當且時，，所以在區(qū)間上有一個零點，在區(qū)間上有一個零點.綜上，函數在區(qū)間上恰有2個零點.遼寧省朝陽市建平縣2024屆高三上學期期末數學試題一、選擇題1.已知復數滿足（為虛數單位），則在復平面內復數所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數在復平面內復數所對應的點為，位于第四象限.故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，則.故選：C.3.已知向量，若，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，解得，所以，所以故選：D.4.已知為偶函數，則實數（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因為為偶函數，所以，，，，即，則，即，則，即，故.故選：B.5.“函數的圖象關于對稱”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當函數的圖象關于對稱時，有，，得，，易知，所以“函數的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．6.“碳達峰”是指二氧化碳的排放不再增長，達到峰值之后開始下降；而“碳中和”是指企業(yè)?團體或個人通過植樹造林?節(jié)能減排等形式，抵消自身產生的二氧化碳排放量，實現二氧化碳“零排放”.某地區(qū)二氧化碳的排放量達到峰值（億噸）（）后開始下降，其二氧化碳的排放量（億噸）與時間（年）滿足函數關系式，若經過7年，二氧化碳的排放量為（億噸）.已知該地區(qū)近過植樹造林?節(jié)能減排等形式，能抵消自身產生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要能實現“碳中和”，至少需要經過（）（參考數據：）A.38年 B.42年 C.46年 D.48年【答案】B【解析】由題意，由題意，即，解得，令，即，故，即，可得，即，即該地區(qū)要能實現“碳中和”，至少需要經過42年.故選：B.7.如圖，在四棱錐中，，，平面，，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連接．由已知，，得．因為平面，所以，且，且平面，所以平面，平面，可得，同理可得．易證，所以，在中，，，所以，因為平面，平面，則,則．故選：D．8.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線與的漸近線在第一象限內交于點，記點關于軸的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】設，連接，與軸交于點，由對稱性可知，又，所以是正三角形，且.因為，所以，所以，所以，所以，又點在直線上，故，所以，所以.故選：B.二、選擇題9.某組數據方差的計算公式為，則（）A.樣本的容量是3 B.樣本的中位數是3C.樣本的眾數是3 D.樣本的平均數是3【答案】BCD【解析】依題意，樣本數據為，因此樣本容量為7，中位數為3，眾數為3，平均數，故A錯誤，BCD正確.故選：BCD10.設函數的最大值為1，最小值為-3，若的圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為，將的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A.B.在內恰有3個零點C.的圖象關于點對稱D.在上單調遞增【答案】BCD【解析】由題意知，解得，的最小正周期為，即，所以，故.由，得，所以當且僅當，即時，，故在內恰有3個零點，故A錯誤，B正確；由，得，所以，故C正確；由，得，所以在上單調遞增，故D正確.故選：BCD.11.已知拋物線的焦點為為拋物線上一點，且，過的直線交于兩點，是坐標原點，則（）A.拋物線的準線方程為B.的最小值為4C.若，則的面積為D.若，則的方程為【答案】BC【解析】由拋物線定義知，，所以，故的方程為，所以的準線方程為，故A錯誤；設（異于原點），又，，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為4，故B正確；設直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，所以，因為，易求得，所以的面積，故C正確；由以上可得，又，，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，解得，故直線的方程為，即或，故D錯誤.故選：BC12.已知，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由，可得，又，所以，解得.當時，，則，又，所以，所以此時，故A錯誤；令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，即，由知，所以，所以，故正確；由可得，可得（時取等號），因為，所以，所以，故C正確；因為，所以.令，則，令，所以，令，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增，所以1，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.若直線是曲線的一條切線，則實數______．【答案】【解析】由題可知，設的切點為，則切線斜率為，可得，解得．故答案為:.14.已知等比數列的前項和為，若，，則______．【答案】80【解析】由等比數列的性質可知，，，成等比數列，又，，所以，所以，，所以．故答案為：.15.現有3名男生，3名女生和2名老師站成一排照相，2名老師分別站兩端，且3名女生互不相鄰，則不同的站法為______．【答案】288【解析】根據題意，分3步進行：第一步，2名老師分別站兩端，有種站法；第二步，先安排3名男生，有種站法，男生排好后，有4個空位可選；第三步，將3名女生安排在4個空位中的3個，有種站法，所以不同的站法有．故答案為：28816.已知正方體的棱長為2，M為空間中任意一點，且，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為____________．【答案】【解析】如圖，因為，所以在一個平面內，點M的軌跡是以A，D為焦點的橢圓．又因為，所以該橢圓的長軸長為4，短軸長為，故點M的軌跡是以A，D為焦點的橢球表面．設AD的中點為L，要使三棱錐的體積最大，即到平面ABD的距離最大，所以當平面，且平面ABD時，三棱錐A-MBD的體積最大．此時由橢圓短半軸長知，且△MAD為等邊三角形，設其中心為S，三棱錐A-MBD的外接球的球心為O，△ABD的外心為K，連接OK，OB，OS，則，，所以球半徑，此時三棱錐A-MBD外接球的表面積．故答案為：.四、解答題17.已知數列是遞增的等比數列，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.解：（1）因為數列是遞增的等比數列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.18.在中，內角的對邊分別為,且.（1）求角的大??；（2）若點是線段上的一點，且的面積為，求的周長.解：（1）因為，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.（2）因為的面積為，所以，得.因為，所以，所以，所以在中，由余弦定理得，所以，所以，所以周長.19.如圖，在三棱錐中，是的中點，是的中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：過點作交于點，過點作交于點，則.因為是的中點，是的中點，所以，因為，所以，則，所以四邊形平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，，所以.設平面的法向量為，則即令，得，設直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20.由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長.在工業(yè)社會以前，鳥類平均每年滅絕一種，獸類平均每年滅絕一種，但是自工業(yè)社會以來，地球物種滅絕的速度已經超出自然滅絕率的倍.所以保護動物刻不容緩，全世界都在號召保護動物，動物保護的核心內容是禁止虐待、殘害任何動物，禁止獵殺和捕食野生動物，某動物保護機構為了調查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關聯(lián)”，從某市市民中隨機抽取名進行調查，得到統(tǒng)計數據如下表：保護動物意識強保護動物意識弱合計男性女性合計（1）根據以上數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能